《不定积分算法》PPT课件.ppt

教学目的 不定积分换元法教学重点 凑微分法教学难点 第二类换元法 第二讲换元法 主视图 问题 解决方法 利用复合函数 设置中间变量 过程 令 换元 换元以后再还原 求导数验证结果 凑微分法 第一类换元公式 凑微分法 说明 使用此公式的关键在于将 定理1 难 易 凑微分法 证明 公式 说明 当积分 不便计算时 可考虑将 g x 化为 的形式 那么 例1求 解 一 解 二 解 三 例题 例2求 解 一般地 例题 例3求 解 例题 例4求 解 例题 例5求 解 例题 例6求 解 例题 例7求 解 例题 例8求 解 例题 例9 求 解 原式 例题 例10 求 解 原式 解 原式 例11 例题 例12求 解 例题 例13求 解 说明 当被积函数是三角函数相乘时 拆开奇次项去凑微分 例题 例14求 解 例题 例15 求 解 一 例题 解 二 类似地可推出 例题 思考 以下几种形式的积分 如何用凑微分法求积 思考 解 例16设求 令 例题 例17求 解 换元积分法技巧性强 需要多作练习 不断归纳 积累经验 才能灵活运用 例题 通过以上例题 可以归纳出如下一般凑微分形式 凑微分公式 凑微分公式 回主视图 问题 解决方法 改变中间变量的设置方法 过程 令 再用 凑微分 难 易 第二类换元法 证 只要证右端的导数等于左端的被积函数 定理2 由复合函数与反函数的导数 有 第二类换元法 第二类积分换元公式 注 1 保证代换x t 的单调连续 有反函数 代换x t 一起换 利用第二类换元法求不定积分的关键在于选择适当的变量代换 第二类换元法常用于求无理函数的积分 注意 被积函数含有根式 解 注 一般地说 当被积函数含有形如 的根号时 可作代换 有理根式积分 于是 该例可利用凑微分法求解 而且更简洁 例题 被积函数含有 或 例18 求 解 被积函数含有 为此可令 化去根式 此时 于是 二次根式 由于 故 故 也可用图解法 右图 直接得到 例题 例19求 解 令 例题 例20 求 解 令 例题 例18求 解 令 例题 说明 3 以上几例所使用的均为三角代换 三角代换的目的是化掉根式 一般规律如下 当被积函数中含有 可令 可令 可令 说明 积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的 需根据被积函数的情况来定 说明 2 三角代换很繁琐 令 解 例题 例20求 解 令 例题 说明 3 当分母的阶较高时 可采用倒代换 令 解 例题 例22求 解 令 分母的阶较高 例题 倒代换 例题 本节得到的一些积分结果常作公式使用 扩充积分公式 习题4 2 1 填空 习题 3 设 求 4 求下列不定积分 1 2 3 4 8 7 6 5 9 10 习题 5 写出计算下列积分时所需之变换 1 2 4 3 6 求下列不定积分 4 3 2 1 习题 回主视图