D19连续函数的运算和性质.ppt

一 连续函数的运算法则 第九节 二 初等函数的连续性 连续函数的运算与 初等函数的连续性 第一章 在其定义域内连续 一 连续函数的运算法则 定理1 在某点连续的有限个函数经有限次和 差 积 利用极限的四则运算法则证明 商 分母不为0 运算 结果仍是一个在该点连续的函数 例如 定理2严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数 例如 反三角函数在其定义域内皆连续 在 上连续 其反函数 在 上也连续单调递增 又如 单调递增 定理3 意义 1 极限符号可以与函数符号互换 例1 解 求 解 原式 例2 求 解 原式 说明 若 则有 定理4 例如 二 初等函数的连续性 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续 一切初等函数在定义区间内连续 例如 的连续区间为 端点为单侧连续 的连续区间为 的定义域为 因此它无连续点 而 例3 设 解 讨论复合函数 的连续性 故此时连续 而 故 x 1为第一类间断点 在点x 1不连续 三 如何找间断点 1 初等函数 求定义域 各子区间的边界点 2 分段函数 讨论分段点 1 x 在x0是否处有定义 逐步研究 注意 1 初等函数在其定义区间内连续 2 分段函数在其定义域内不一定连续 是可去间断点 是无穷远间断点 是可去间断点 一 最值定理 二 介值定理 闭区间上连续函数的性质 注意 若函数在开区间上连续 结论不一定成立 一 最值定理 定理1 在闭区间上连续的函数 即 设 则 使 值和最小值 或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大 点 例如 无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如 二 介值定理 由定理1可知有 证 设 上有界 定理2 零点定理 至少有一点 且 使 推论在闭区间上连续的函数在该区间上有界 定理3 介值定理 设 且 则对A与B之间的任一数C 一点 证 作辅助函数 则 且 故由零点定理知 至少有一点 使 即 推论 在闭区间上的连续函数 使 至少有 必取得介于最小值与 最大值之间的任何值 例1 证明方程 一个根 证 显然 又 故据零点定理 至少存在一点 使 即 说明 内必有方程的根 取 的中点 内必有方程的根 可用此法求近似根 二分法 在区间 内至少有 则 则 内容小结 例2 证 由零点定理 内容小结 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数的四则运算结果仍连续 连续函数的反函数连续 连续函数的复合函数连续 初等函数在定义区间内连续 说明 分段函数在界点处是否连续需讨论其左 右连续性 内容小结 在 上达到最大值与最小值 上可取最大与最小值之间的任何值 4 当 时 使 必存在 上有界 在 在 证明至少存在 使 提示 令 则 易证 1 设 一点 习题课 思考与练习 2 至少有一个不超过4的 证 证明 令 且 根据零点定理 原命题得证 内至少存在一点 在开区间 显然 正根