《线性代数习题答案》PPT课件.ppt

一 选择题 1 n阶行列式等于 习题一 26页 A 1 B 1 n 1 C 0 D 1 B 2 行列式等于 A 1 B 2 C 0 D 1 C 3 方程组有解 C 二 填空题 1 4阶行列式等于 1 2 行列式中元素a11的代数余子式等于 6 3 中 x3的系数是 4 设a b为实数 则当a b 时 00 2 5 的第四行各元素余子式之和的等于 M41 M42 M43 M44 所以 第四行各元素余子式之和等于 28 A41 A42 A43 A44 三 解答题 1 设 试求A41 4A42 2A43的值 解A41 4A42 2A43 2 设 已知代数余子式A31 2 求A12 解由于A31 2 4x 2 所以 x 1 于是A12 9 3 计算下列行列式 1 D 解D 解 解按第一列展开 有 解按第一列展开 有 解n 1时 原式 1 1 n 2时 n 3时 让各列都减去第三列 则有 6 n 3 解 解 解 解 解 解 解构造n 1阶Vandermonde行列式 可见 Dn就是D的余子式Mn n 1 利用Vandermonde行列式结果有 将D按第n 1列展开则有 比较上两式中xn 1项系数可得 4 解下列方程式 解 1 由于 所以 x 4或x 2 2 由于 x 2 x2 2x 1 0 即 x 2 x 1 2 0 所以 x 2或x 1 解将行列式按第一行展开可见 此方程式是关于x的n 1次多项式方程 所以方程应该有n 1个解 而由行列式性质可见 当x ai时 行列式等于零 所以x ai i 1 2 n 1 是方程的n 1个解 所以方程共有n 1个解 分别为a1 a2 an 1 解将行列式2 n列都减去第1列可得 即 x 1 x 2 x n 2 x 0 所以方程共有n 1个解 分别为0 1 2 n 2 4 5 利用Laplace展开定理计算下列行列式 解按一 三行展开可得 解按一 二行展开 再按一 二行展开可得 6 用Cramer法则解下列方程组 解因为 而且 所以 方程组的解为 解因为 所以 方程组的解为 x1 1 x2 1 x3 0 x4 2 解由已知有x D1 D 1 所以 于是 7 已知线性方程组有唯一解 且x 1 求 解取 AB 0 3 AC 2 2 则有 9 证明点A 1 2 3 B 1 5 6 C 3 4 3 D 2 1 1 在同一平面上 并求出该平面的方程 8 求顶点分别为A 1 2 B 1 5 C 3 4 的三角形的面积 解由于 所以 点A B C D在同一平面上 即 x y z 2 10 求一二次多项式p2 x 使p2 1 6 p2 1 2 p2 2 3 过点A B C D的平面方程为 解令p2 x ax2 bx c 带人条件可得 解得 a 1 b 2 c 3 所以 p2 x x2 2x 3 1 设A B均为2阶矩阵 A B 分别为A B的伴随矩阵 若 A 2 B 3 则分块矩阵的伴随矩阵为 一 选择题 习题二 54页 B A B C D 解由于AA A E 2E BB B E 3E 所以有 所以 应选 B 2 设A为3阶矩阵 将A的第二列加到第一列得矩阵B 再交换B的第二行和第三行得单位矩阵 记 则A 解由已知有 AP1 B A P1P2 B P1 1P2 C P2P1 D P2P1 1 所以 A BP1 1 所以 应选 D D P2B E P2 1P1 1 P2P1 1 5 设F G都是4阶方阵 且 F 2 G 5 则 3FG 等于 3 设A是4阶方阵 且 A 8 B 1 2A 则 B D 4 设G是5阶的可逆方阵 且 G 1 G 是G的伴随矩阵 则有 C D 6 n阶矩阵A满足A2 O E为n阶单位矩阵 则 解由于 A E A E A2 E E 所以 A A E 0 但 A E 0 B A E 0 但 A E 0 A E A E E 1 所以 应选 D D C A E 0 且 A E 0 D A E 0 且 A E 0 二 填空题 2 设A aij 是3阶非零矩阵 A 是A的行列式 Aij是A的代数余子式 若aij Aij 0 i j 1 2 3 则 A 解由aij Aij 0可得 A AT 于是 AAT A E 所以 A AT A 3 因此 A 0或 A 1 又由于 A O 所以 AAT O 因此 A 0 所以 A 1 1 两边同取行列式 A的行列式相当于一个数kp36且和转置行列式相等 解因为 3 设 B P 1AP 其中P为三阶可逆矩阵 则B2004 2A2 所以 B2004 2A2 P 1A2004P 2A2 P 1E501P 2A2 E 2A2 4 设 1 2 3 均为4 1矩阵 A 1 2 3 B 1 2 3 且 A 2 B 3 则 A 3B 56 解 A 3B 2 1 2 2 2 3 3 8 1 2 3 3 8 1 2 3 1 2 3 3 8 A 3 B 56 5 若对任意n 1矩阵X 均有AX O 则A 解A AE A e1 e2 en Ae1 Ae2 Aen O O 三 解答题 1 设阶矩阵A B满足AB BA 试证明下列等式 证明 A B 2 A B A B A2 AB BA B2 A2 2AB B2 1 A B 2 A2 2AB B2 2 A2 B2 A B A B A B A B 证明 A B A B A2 AB BA B2 A2 B2 A B A B A2 AB BA B2 A2 B2 解令 则有 所以 z 0 x w 2 求与乘法可交换的所有矩阵 即与乘法可交换的所有矩阵为 所以A6 E E E A12 E 3 设 求A6及A11 解由于 A11 A 1 4 设 求 P 1AP n An n为正整数 解 P 1AP n P 1AnP 所以 解利用分块对角矩阵求逆公式可得 5 求下列矩阵的逆矩阵 解因为 所以 解法2由于 所以 A 1 4A E 于是 A 1 1 4A 6 已知X AX B 其中求矩阵X 解由X AX B可得 E A X B X E A 1B 所以 解由于A A A 1 aA 1 所以 A aA 1 an A 1 an 1 7 设A是n阶方阵 且 A a 0 求 A 8 设实方阵A O 且A AT 证明 A 0 证明由于AAT AA A E 记A aij n 则ai12 ai22 ain2 0 i 1 2 n 所以 A 0 由于A是实矩阵 所以有aij 0 i j 1 2 n 若 A 0 则有AAT O 即A O 矛盾 9 设A是n阶方阵 满足Am E 其中m是正整数 E为n阶单位矩阵 A 是A的伴随矩阵 证明 A m E 证明由于 Am A m E 1 所以 A 1 A m A mE A mAm A A m Em E 又由于A A A E E 所以有 解由已知可得 B A E 2E 所以 B A E 2E 4 又由于 A E 2 所以 B 2 10 设矩阵 且满足BA B 2E 求 B 11 设A B为3阶方阵 且 A 3 B 2 A 1 B 2 求 A B 1 解由于A A 1 B A B 1 B 所以 A A 1 B A B 1 B 于是 A B 1 3 证明 E A E A A2 Ak 1 E Ak E 12 设A为n阶方阵 若Ak 0 其中k为正整数 证明 E A 1 E A A2 Ak 1 E A A2 Ak 1 A A2 Ak 1 Ak 所以 E A 1 E A A2 Ak 1 13 若A B为n阶方阵 且E AB可逆 试证 证明 E BA E B E AB 1A E BA 1 E B E AB 1A 所以 E B E AB 1A BA BAB E AB 1A E B E AB 1 E AB E AB 1 A E B E AB E AB 1 E A E B E E A E E BA 1 E B E AB 1A 14 若A B为n阶方阵 且2A 1B B 4E E是n阶单位矩阵 试证 A 2E是可逆矩阵 证明由已知有 2B AB 4A A 2E B 4A 所以 A 2E B 4A 4n A 0 因此 A 2E是可逆矩阵 15 设A B C均是n阶方阵 如果C A CA B E AB 求证 B C E 证明由C A CA可得C A E A 1 由B E AB可得B E A 1 所以 B C E A 1 A E A 1 E A E A 1 E 16 设方阵A满足A2 A 3E O 证明A E和A 2E都可逆 并求 A E 1 证明由A2 A 3E O可得 A E A 2E E 所以 A E和A 2E都可逆 而且 A E 1 A 2E 17 对下列每一对矩阵A B 求一个可逆矩阵P 使得 PA B 解由于交换A的2 3行得B 所以 P E 2 3 解由于A的三行减二行2倍得B 所以P E 3 2 2 或P P 3 2 2 P 1 2 解由于将A的第一行2倍加到第三行 再交换1 2行得B 所以 P E 1 2 E 3 1 2 18 设A是3阶方阵 将A的第1列与第2列交换得B 再把B的第2列加到第3列得C 求满足AQ C的可逆矩阵Q 解由已知有 AE 1 2 B BE 2 3 1 C 所以有 AE 1 2 E 2 3 1 C 于是 Q E 1 2 E 2 3 1 用分块矩阵求 1 AB 2 BA 3 AB BA 4 A 1 19 设 解 20 设对角矩阵A diag a1 a2 an 其中ai aj i j 证明 与A可交换的矩阵一定是对角矩阵 证明设矩阵B bij 与矩阵A可交换 即AB BA 则 AB ij BA ij 即aibij bijaj 由于ai aj 所以bij 0 i j 所以 B是对角矩阵 21 某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为3岁 将其分成三个年龄组 第一组 0 1岁 第二组 1 2岁 第三组 2 3岁 动物从第二年龄组起开始繁殖后代 经过长期统计 第二组和第三组的繁殖率分别为4和3只 第一年龄和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为1 2和1 4 假设农场现有三个年龄段的动物各1000只 问2年后和3年后农场三个年龄组的动物各有多少只 解用xi yi zi分别表示第i年后三个年龄组动物只数 则 故 2年后为 2750 3500 125 3年后为 14375 1375 875 A 该向量组的任何部分组必线性相关 B 该向量组的任何部分组必线性无关 C 该向量组的秩小于m D 该向量组的极大线性无关组是唯一的 习题三 63页 2 已知向量组 1 2 m线性相关 则 C 一 选择题 A C B B A C 解因为 所以 向量组 1 3 4线性相关 1 设 则k 时 1 2 3 4线性相关 所以 k 5 13时 1 2 3 4线性相关 19 2 二 填空题 5 13 解由于 2 当k 时 向量 1 k 5 能由向量线性表示 解由于9 1 8 2 2 19 10 所以 2k 19线性相关 4 设向量组线性无关 则a b c必满足关系式 所以 R 1 2 3 4 4 abc 0 4 解由于 解由于 所以 abc 0 3 设 则秩 1 2 3 4 解 1 3 1 5 2 3 1 4 25 7 2 设向量组 1 2 3线性相关 2 3 4线性无关 问 1 1能否由 2 3线性表出 证明你的结论 2 4能否由 1 2 3线性表出 证明你的结论 三 解答题 2 1 2 11 1 解 1 由 2 3 4线性无关知 2 3线性无关 再由 1 2 3线性相关知 1可由 2 3线性表示 2 由 2 3 4线性无关知 4不能由 2 3线性表示 再由 1 知 4不能由 1 2 3线性表示 3 判断下列向量组的线性相关性 解令k1 1 1 0 k2 0 1 1 k3 3 0 0 0 即 2 2 0 0 0 1 2 0 2 1 解因为向量组是正交向量组 故线性无关 1 1 1 0 0 1 1 3 0 0 所以 k1 k2 k3 0 故 1 1 0 0 1 1 3 0 0 线性无关 解因为 4 1 0 0 2 5 0 1 0 3 4 0 0 1 4 7 2 3 4 11 12 3 4 5 2 6 2 2 1 3 6 3 3 9 4 1 5 6 所以 向量组的秩等于3 故向量组线性相关 解因为 所以 向量组的秩等于4 故向量组线性无关 4 求下列向量组的一个极大线性无关组 并把其余向量用极大线性无关组线性表示 解由于 而且有 所以 1 2 3是一个极大线性无关组 4 3 2 1 1 2 2 3 2 3 解由于 所以 1 2 4是一个极大线性无关组 而且有 3 3 1 2 5 2 1 2 解只当 1 2 3线性无关时 可由它们唯一表示 又由于 所以 当k 0且k 1时 可由 1 2 3唯一线性表示 5 设有三维向量 问k取何值时 可由 1 2 3线性表示 且表达式唯一 证明 1 如果有某个ki 0 则有 6 已知m个向量 1 2 m线性相关 但其中任意m 1个都线性无关 证明 1 如果存在等式k1 1 k2 2 km m 0 则这些系数k1 k2 km或者全为零 或者全不为零 2 如果存在两个等式k1 1 k2 2 km m 0 l1 1 l2 2 lm m 0 其中l1 0 则 k1 1 k2 2 ki 1 i 1 ki 1 i 1 km m 0 由于这m 1个向量线性无关 故这些系数全为零 所以 系数k1 k2 km或者全为零 或者全不为零 2 由于l1 0 由 1 知l1 l2 lm都不为零 2 如果存在两个等式k1 1 k2 2 km m 0 l1 1 l2 2 lm m 0 其中l1 0 则 如果k1 k2 km全为零 结论显然成立 如果k1 k2 km全不为零 则存在c 0 使得k1 cl1 由已知可得 k1 cl1 1 k2 cl2 2 km clm m 0 由于k1 cl1 0 由 1 知k2 cl2 0 km clm 0 即 k1 cl1 k2 cl2 km clm 所以有 证明因为0 1 1 i 1 j 0 m 0 而数0 1 1 0不全为零 7 证明 若存在 使 则向量组线性相关 所以 1 2 m线性相关 8 设向量组 1 2 3线性无关 问常数a b c满足什么条件时 a 1 2 b 2 3 c 3 1线性相关 解 所以 abc 1时 a 1 2 b 2 3 c 3 1线性相关 证明只证必要性 设 1 2 s线性相关 则存在不全为零的数k1 k2 ks 使得k1 1 k2 2 ks s 0 因此有k1 1 k2 2 ki i 0 即 9 证明 1 2 s 其中 1 0 线性相关的充要条件是至少有一个 i 1 i s 可被 1 2 i 1线性表示 由于 1 0 故k2 ks不全为零 于是存在i 1 i s 使 ki 0 但ki 1 ki 2 ks 0 所以 i 1 i s 可被 1 2 i 1线性表示 10 设 1 2 n线性无关 问向量组 1 2 2 3 n 1 n n 1是线性相关 还是线性无关 并给出证明 故 n为奇数时线性无关 n为偶数时线性相关 证明令k1 1 2 k2 2 3 kn n 1 0 则有 k1 kn 1 k1 k2 2 kn 1 kn n 0 所以 k1 kn k1 k2 k2 k3 kn 1 kn 0 11 设 i ai1 ai2 ain i 1 2 n 证明 向量组 1 2 n线性相关的充分必要条件是det aij 0 证明 1 2 n线性相关 R aij n det aij 0 12 设 1 2 n是一组n维向量 已知n维标准单位向量组能由它们线性表示 证明 1 2 n线性无关 证明 1 2 n与n维标准单位向量组等价 所以R 1 2 n n 故 1 2 n线性无关 证明充分性由10题可得 13 设 1 2 n是一组n维向量 证明 它们线性无关的充分必要条件是任一n维向量都可由它们线性表示 必要性 设 1 2 n线性无关 则对任一n维向量 由于 1 2 n 线性相关 所以 向量 可由向量组 1 2 n线性表示 14 将向量组 1 1 1 0 T 2 0 2 1 T 3 0 0 3 T正交规范化 解先正交化 取 1 1 1 1 0 T 再规范化 得 1 2 3就是所求的正交规范向量组 15 设 1 1 0 2 3 T 2 1 1 3 5 T 3 1 1 a 2 1 T 4 1 2 4 a 8 T 1 1 b 3 5 T 解由于 1 a b为何值时 不能由 1 2 3 4线性表示 2 a b为何值时 能由 1 2 3 4唯一线性表示 并求出表示式 1 当a 1 b 0时 不能由 1 2 3 4线性表示 2 当a 1时 能由 1 2 3 4唯一线性表示 由于 所以 16 设 1 1 1 1 1 T 2 3 1 1 3 T 1 2 0 1 1 T 2 3 1 2 0 T 3 1 1 0 2 T 证明向量组 1 2与向量组 1 2 3等价 证明由于 所以 R 1 2 1 2 3 R 1 2 R 1 2 3 2 因此 1 2和 1 2都是向量组 1 2 1 2 3的极大无关组 故 向量组 1 2与向量组 1 2 3等价 证明设向量组 1 2 s的秩为r 任取它的一个线性无关组 线性无关 17 证明 一个向量组的任一线性无关组都可以扩充为一个极大线性无关组 如果t r 则向量组中一定存在向量 j使 所以任一线性无关组都可以扩充为含有r个向量的线性无关组 也就是向量组的一个极大线性无关组 18 用初等变换化下列矩阵为阶梯形 并求其秩 解 可见 R A 3 解 可见 R A 2 2 解 可见 R A 2 解 可见 R A 3 解由于 所以 R A 19 已知三阶矩阵 讨论R A 的情形 20 求一个秩是4的方阵 它的两个行向量是 1 0 3 0 0 1 1 0 0 0 解可取为 可见 R A 4 21 证明两个矩阵和的秩不超过两个矩阵秩的和 即 证明记A的列向量为 1 2 n 其极大线性无关组为 1 2 r B的列向量为 1 2 n 其极大线性无关组为 1 2 s 则 1 2 n可由 1 2 r线性表示 1 2 n可由 1 2 s线性表示 于是有 R A B r s R A R B R A B R A R B 1 1 2 2 n n可由 1 2 r 1 2 s线性表示 所以 22 设A与B可乘且AB 0 证明 证法一由于 R A R B A的列数 所以 即 R A R B A的列数 证法二由于AB 0 故B的列向量都是A 0的解 记A的列数为 R A 则R B 于是 R A R B 23 设A为n阶方阵 且A2 A 证明 若A的秩为r 则A E的秩为n r 其中E是n阶单位矩阵 证明由A2 A可得A E A 0 A E A E 由A E A 0 可得R A R E A n 由A E A E 可得R A R E A R E n 于是 R A R E A n 即R A E n r 24 设A为n阶方阵 且A2 E 证明 R A E R A E n 证明由A2 E可得 A E A E 0 A E E A 2E 由 A E E A 0 可得R A E R E A n 由A E E A 2E 可得R A E R E A R 2E n 于是 R A E R E A n 证明因为R A r 所以存在n阶初等方阵P1 P2 Ps和m阶初等方阵Q1 Q2 Qt 使得 25 设n m阶矩阵A的秩为r 证明 存在秩为r的n r阶矩阵P及秩为r的r m阶矩阵Q 使A PQ 于是 则 A PQ 且P是n r阶矩阵 Q是r m阶矩阵 记 于是 R P R Q r 又由于P1 1 P2 1 Ps 1和Q1 1 Q2 1 Qt 1都是初等方阵 所以 解利用行列式性质 有 或 由于 26 设 其中 i i 1 2 3 是三维列向量 若 A 1 求 B 解 由已知有R 1 2 3 3 又由于 所以 a 1 a 1时 又由于 所以 有 解由于s1 2s2 所以L1 L2平行 又由于M1 M2 3 6 9 2 3S2 所以 L1 L2重合 28 试判断空间两直线 与的位置关系 习题四 97页 1 设A 1 2 3 4 是4阶矩阵 A 为A的伴随矩阵 若 1 0 1 0 T是Ax 0的一个基础解系 则A x 0的基础解系可为 一 选择题 解由已知可得R A 3 且 1 3 0 所以 R A 1 且 2 3 4线性无关 所以 2 3 4就是A x 0的一个基础解系 D 解因为R A m时 总有R A b m 方程有解 3 若齐次线性方程组Ax 0有无穷多解 则非齐次线性方程组Ax b A 必有无穷多解 B 可能有唯一解 C 必无解 D 有解时必有无穷多组解 解由已知有R A n 故D保证成立 B 2 若方程组Am nx b m n 对于任意m维列向量b都有解 则 D 4 若方程组Ax b中 方程个数少于未知量个数 则有 A Ax b一定有无穷多组解 B Ax b一定无解 C Ax 0必有非零解 D Ax 0只有零解 解因为R A m n 所以 Ax 0必有非零解 5 n元线性方程组Ax b有唯一解的充分必要条件 A R A n B A为方阵且 A 0 C R A b n D R A n 且b可由A的列向量组线性表示 解只有D保证有R A R A b n 方程有唯一解 C D 6 设A aij 是n阶方阵且 A 0 若A中某元素aij的代数余子式Aij 0 则Ax 0的基础解系中解向量个数是 A 1 B i C j D n 解因为 A 0 Aij 0 所以R A n 1 7 设A为n阶方阵 且R A n 1 1 2是非齐次方程组Ax 0的两个不同的解向量 则Ax 0的通解为 A k 1 B k 2 C k 1 2 D k1 1 k2 2 解由于R A n 1 Ax 0的基础解系只有一个解 A C 又由于 1 2是Ax 0的非零解 8 方程组Ax 0有非零解的充要条件是 A A的任意两列向量线性相关 B A的任意两列向量线性无关 C A中必有一列向量是其余列向量的线性组合 D A中任一列向量都是其余列向量的线性组合 解因为A的列向量组线性相关 C 9 方程组Ax 0只有零解的充分必要条件是 A A的行向量组线性无关 B A的列向量组线性无关 C A的行向量组线性相关 D A的列向量组线性相关 解Ax 0只有零解 R A n B C B 10 设A是m n矩阵 Ax 0是非齐次线性方程组Ax b对应的齐次线性方程组 那么 A 若Ax 0仅有零解 则Ax b有唯一解 B 若Ax 0有非零解 则Ax b有无穷多解 C 若Ax b有无穷多解 则Ax 0仅有零解 D 若Ax b有无穷多解 则Ax 0有非零解 11 设n阶行列式 A 0 对非齐次线性方程组Ax b 若D1 D2 Dn中 Dj是将 A 中第j列换为b后得到的行列式 至少有一个不等于零 则该方程组 A 无解 B 尚不能确定是否有解 C 有唯一解 D 有无穷多解 解由已知可得R A n R A b n 故无解 D A C 解由已知可得 2 1和 3 1是Ax 0的两个线性无关的解 于是R A 1 所以R A 1 于是 2 1和 3 1是Ax 0的基础解系 又由于 2 3 2是Ax 的解 故应选C 1 设A是m n矩阵 在齐次线性方程组Ax 0中 若R A r 则当 1 2 k是Ax 0的一个基础解系时k 当r 时 此方程组只有零解 二 填空题 2 若n元线性方程组有解 且其系数矩阵的秩为r 则当 时 方程组有唯一解 当 时 方程组有无穷多解 3 设A aij 3 3是实正交矩阵 且a11 1 b 1 0 0 T 则线性方程组Ax b的解是 解由已知可得 且A 1 AT n r n r n r n 1 0 0 T 4 设A为m阶方阵 存在非零的m n矩阵B 使AB O的充分必要条件是 5 设A为m n阶矩阵 存在两个不相等的n r阶矩阵B C使AB AC的充分必要条件是 解由于 R A m或 A 0或A不可逆 R A n 2 6 设方程组有无穷多个解 则a 三 解答题 解 1 求下列齐次线性方程组的一个基础解系 所以 方程组等价于 分别取 得一个基础解系为 解 所以 方程组等价于 分别取x3 1 x4 0和x3 0 x4 1得一个基础解系为 解 所以 方程组等价于 取x4 1得一个基础解系为 解 可见 R A 4 方程组只有零解 没有基础解系 解 2 求下列非齐次线性方程组的通解 同解方程组为 通解为 解由于 可见 R A R A 4 方程组有唯一解 方程组的解为 x 8 3 6 0 T 解 可见 R A R A 3 所以方程组无穷多解 通解为 解 可见 R A 3 R A 2 所以方程组无解 解因为 所以 1时 R A R A 2 方程组有解 通解为 3 问 为何值时 线性方程组有解 并求出通解 解由于 所以 1 a 0 5b 12 0时 不能由 1 2 3线性表示 2 a 5b 12 0时 能由 1 2 3线性表示 且表示式不唯一 3 a 0且a 5b 12 0时 能由 1 2 3唯一地线性表示 且由于 可知 表示式为 1 1 a 1 1 a 2 解法1因为 可知 6 4 1 0 T和 0 1 1 1 T都是第二个方程的解 也是第一个方程的解 带人第一个方程得 a 2 b 4 c 4 而且此时有 所以 两个方程组同解 解法2因为方程组同解 系数矩阵行向量组等价 记 则有向量组 1 2 3和 1 2 3等价 又由于 1 1 a 1 2 1 2 2 1 b 1 4 3 2 2 3 c 1 1 1 1 1 1 1 2 0 1 2 1 2 3 0 0 1 2 1 所以 a 2 b 4 c 4时 向量组 1 2 3和 1 2 3等价 因此 a 2 b 4 c 4时 两个方程组同解 证明因为B可逆 所以BA的行向量组与A的行向量组等价 7 A是n阶矩阵 证明 存在n阶非零矩阵B 使AB O的充分必要条件是 A 0 6 设A是m n矩阵 P是m n矩阵 B是m m矩阵 求证 若B可逆且BA的行向量都是方程组Px 0的解 则A的每个行向量也都是该方程组的解 所以 若BA的行向量都是方程组Px 0的解 则A的每个行向量也都是该方程组的解 证明 AB O B的列向量都是Ax 0的解 所以 存在n阶非零矩阵B 使AB O Ax 0有非零解 A 0 证明A AE A e1 e2 en O 8 假设A是m n阶矩阵 若对任意n维向量x 都有Ax 0 则A O 解由A b得 a c 又由于 所以 a c 1 2时 Ax 0的基础解系为 9 假设 如果 是方程组Ax b的一个解 试求Ax b的通解 1 1 3 1 0 T 2 1 2 0 2 T 此时 方程组的通解为 x k1 1 k2 2 k1 k2 R 当a c 1 2时 由于 所以 Ax 0的基础解系为 2 1 1 2 T 此时 方程组的通解为 x k k R 解由于 所以 a 2时 AX B有解且解不唯一 10 假设 如果矩阵方程AX B有解 但解不惟一 试确定参数a 证明必要性 设k1 1 k2 2 ks s是解 则 11 设 1 2 s是非齐次线性方程组Ax 的s个解 证明 k1 1 k2 2 ks s也是Ax 的解 k1 k2 ks 1 A k1 1 k2 2 ks s k1 k2 ks A k1 1 k2 2 ks s 所以 k1 1 k2 2 ks s也是解 k1 k2 ks k1 k2 ks 所以k1 k2 ks 1 充分性 若k1 k2 ks 1 则 解记A aij n 由已知ai1 ai2 ain 0 所以 12 设n阶矩阵A的各行元素之和都等于零 且R A n 1 求齐次线性方程组Ax 0的通解 1 1 1 T是方程组的一个解 又由于R A n 1 所以方程组的基础解系只含1个解 故齐次线性方程组的通解为 x c c是任意常数 13 设A是m n矩阵 B是n s矩阵 且AB 0 证明B的各列向量都是齐次线性方程组Ax 0的解 且R A R B n 证明记B 1 2 s 则由AB 0 得 A 1 2 s A 1 A 2 A s 0 即 A 1 A 2 A s 0 1 2 s都是Ax 0的解 设R A r 则齐次线性方程组Ax 0的基础解系中含有n r个解 又由于B的列向量都是Ax 0的解 故 R B n r 所以 R A R B n 证明由于 A 0 Akl 0 所以R A n 1 所以Ax 0的基础解系中仅含有一个解 又由于 Ak1 Ak2 Akn T 0 Akl 0 而且 14 设n阶矩阵A的行列式 A 0 且A中元素akl的代数余子式Akl 0 证明 Ak1 Ak2 Akn T是Ax 0的一个基础解系 A Ak1 Ak2 Akn T 0 0 0 T 0 即 Ak1 Ak2 Akn T是Ax 0的一个非零解 所以 Ak1 Ak2 Akn T是Ax 0的一个基础解系 解由于 1 2 3 4 可见 1 1 1 1 T就是方程组Ax 的一个解 15 已知四阶方阵A 1 2 3 4 1 2 3 4均为四维列向量 其中 2 3 4线性无关 1 2 2 3 如果 1 2 3 4 求线性方程组Ax 的通解 又由于R A 3 所以齐次方程组Ax 0的基础解系仅含一个向量 Ax 0就是x1 1 x2 2 x3 3 x4 4 0 所以 1 2 1 0 T就是Ax 0的一个解 Ax 的通解为 x 1 1 1 1 T c 1 2 1 0 T c R 16 已知3阶矩阵A的第一行是 a b c a b c不全为零 矩阵 k为常数 且AB 0 求线性方程组Ax 0的通解 解由于AB 0 所以R A R B 3 于是 当k 9时 R B 2 R A 1 Ax 0的解空间是2维的 而 1 2 3 T 3 6 k T恰是Ax 0的两个线性无关的解 故通解为 若R A 2 Ax 0的解空间是1维的 Ax 0的通解为 当k 9时 R B 1 此时R A 1或R A 2 若R A 1 由于a b c不全为零 Ax 0等价于 ax1 bx2 cx3 0 不妨设a 0 可得两个解 1 b a 0 T 2 c 0 a 通解为 解V1就是齐次线性方程组x1 x2 xn 0的解集合 17 问集合和集合是不是向量空间 对向量空间求一组基和维数 所以 V1是向量空间 维数是n 1 一组基为 V2就是非齐次线性方程组x1 x2 xn 1的解集合 所以 V2不是向量空间 1 求由基 1 2 3到基 1 2 3的过渡矩阵C 18 已知向量空间R3中向量 2 3 1 T 和 2 求向量 在基 1 2 3下的坐标x x1 x2 x3 T 解由于 1 2 3 C 1 2 3 E 所以 过渡矩阵为 向量 在基 1 2 3下的坐标为 x Cy 1 2 1 T 某仓库有A B C三种物品若干件 现按下述方案进行采购 购进原B物品件数30 和原C物品件数50 的A物品 购进原A物品件数30 的B物品 购进原B物品件数60 的C物品 若采购后仓库A B C三种物品件数分别为290 330 380 求采购前仓库A B C三种物品的件数 解设采购前仓库A B C三种物品的件数为想x y z 则有 解得 x 100 y 300 z 200 习题五 117页 1 n阶方阵A能与对角矩阵相似的充分必要条件是 A A是实对称矩阵 B A的n个特征值互不相等 C A具有n个线性无关的特征向量 D A的特征向量两两正交 一 选择题 2 n阶矩阵A具有n个不同特征值是A与对角矩阵相似的 A 充分必要条件 B 充分而非必要条件 C 必要而非充分条件 D 即非充分也非必分条件 B C 3 设n阶方阵A与某对角矩阵相似 则 A 方阵A的秩等于n B 方阵A有n个不同的特征值 C 方阵A一定是对称矩阵 D 方阵A有n个线性无关的特征向量 矩阵与相似的充要条件为 A a 0 b 2 B a 0 b为任意常数 C a 2 b 0 D a 2 b为任意常数 B D 6 A为4阶对称矩阵 且A2 A O R A 3 则A相似于 D B 设A为3阶矩阵 P为3阶可逆矩阵 且 则 1 设3维列向量 满足 T 2 其中 T为 的转置 则矩阵 T的非零特征值为 二 填空题 解由于R T R 1 所以 0至少是矩阵 T的二重特征值 故非零特征值最多只有一个 2 又由于 T T 2 所以 2是矩阵 T的一个特征值 或记A T 则有A2 T T 2A 可得A的特征值只能是0或2 一般的 设 是n维列向量 则矩阵A T的n个特征值为 T 0 0 0 2 已知四阶矩阵A相似于B A的特征值为2 3 4 5 E为四阶单位矩阵 则 B E 3 设A为n阶矩阵 A 0 A 为A的伴随矩阵 E为n阶单位矩阵 若A有特征值 则 A 2 E必有特征值 24 解由于 A 2 E A 2A 2 E A 2 2 1 4 n阶矩阵A的元素全为1 则A的n个特征值是 n 0 0 5 设A是n阶方阵 A 为A的伴随矩阵 A 5 则方阵B AA 的特征值是 特征向量是 解因为B AA 5E 5 任意n维非零列向量 1 求下列矩阵的特征值和特征向量 解A的特征多项式为 1 2 2 1 2 2 所以A的特征值为 1 2 1 3 2 对 1 2 1 解方程 E A x 0 由于 三 解答题 所以k1 1 k2 2 k1k2 0 是属于 1 2 1的全部特征向量 对 3 2 解方程 2E A x 0 由于 得同解方程x1 2x2 0 基础解系为 1 0 0 1 T 2 2 1 0 T 得方程组 2E A x 0的基础解系为 3 1 1 1 T 所以k 3 k 0 是属于 3 2的全部特征向量 解A的特征多项式为 2 1 1 1 2 1 所以A的特征值为 1 2 1 3 1 对 1 2 1 解方程 E A x 0 由于 所以k1 1 k2 2 k1k2 0 是属于 1 2 1的全部特征向量 对 3 1 解方程 E A x 0 由于 得同解方程x1 x3 0 基础解系为 1 0 1 0 T 2 1 0 1 T 得方程组 E A x 0的基础解系为 3 1 0 1 T 所以k 3 k 0 是属于 3 2的全部特征向量 解因为A是三角方阵 所以A的特征值为 1 1 2 1 3 3 2 对 1 1 解方程 E A x 0 由于 所以 解方程 E A x 0的一个基础解系为 1 1 0 0 0 T 对 2 1 解方程 E A x 0 由于 所以 方程 E A x 0的一个基础解系为 2 3 2 0 0 T 由于 所以 方程 2E A x 0的一个基础解系为 3 4 1 1 0 T 解矩阵A的特征多项式为 解方程 4E A x 0 由于 所以A的特征值为 1 2 3 4 4 2 8 16 4 3 得方程组 4E A x 0的基础解系为 1 1 1 T 所以k k 0 是属于 4的全部特征向量 2 上题中的哪些矩阵能与对角矩阵相似 在能与对角矩阵相似时 求出所用的相似变换矩阵和对角矩阵 解 1 2 中矩阵A能与对角矩阵相似 3 求正交相似变换矩阵 将下列实对称矩阵化为对角矩阵 解A的特征多项式为 3 2 1 4 2 4 2 2 4 5 2 1 5 所以A的特征值为 1 2 2 1 3 5 由于 于是 方程组 2E A x 0的一个基础解系为 1 2 1 2 T 所以得属于 1 2的单位特征向量 1 2 3 1 3 2 3 T 于是 方程组 E A x 0的一个基础解系为 2 1 2 2 T 所以得属于 2 1的单位特征向量 2 1 3 2 3 2 3 T 由于 于是 方程组 5E A x 0的一个基础解系为 3 2 2 1 T 所以得属于 3 5的单位特征向量 3 2 3 2 3 1 3 T 所以 正交相似变换矩阵可取为 且有 QTAQ diag 2 1 5 解A的特征多项式为 4 2 2 8 4 2 2 所以 矩阵A的特征值为 1 2 4 3 2 由于 于是 方程组 4E A x 0的一个基础解系可取为 又由于 所以得属于 3 2的单位特征向量 故可取 解A的特征多项式为 4 2 4 2 4 4 2 2 6 所以A的特征值为 1 2 4 3 2 4 6 由于 所以属于 1 2 4的特征向量可取为 又由 故属于 3 2的特征向量可取为 且有QTAQ diag 4 4 2 6 由于 所以得属于 4 6的单位特征向量 4 T 所以 正交相似变换矩阵可取为 解 1 由已知有 A E 0 又由于 4 设 1是矩阵的特征值 求 1 t的值 2 对应于 1的所有特征向量 所以 t可以取任何值 2 属于 1的所有特征向量为 k 0 2 1 T k R 6 设A是n n 1 阶非零矩阵 且有正整数k使Ak 0 证明A不能与对角矩阵相似 5 设A2 E 证明A的特征值只能是1或 1 证明设 是A的特征值 是属于 的特征向量 则 E A2 AA A 2 即 2 1 0 由于 0 故 2 1 所以 等于1或 1 证明设A能与对角矩阵 相似 即存在P使P 1AP 由A是非零矩阵知 是非零矩阵 于是 k是非零矩阵 但是 k P 1AkP 0 矛盾 所以A不能与对角矩阵相似 7 设An阶矩阵 证明A和AT有相同特征值 证明因为 E A E A T E AT 所以A和AT有相同特征多项式 于是有相同特征值 1 0 1 2 0 2 0 8 设 1 2是矩阵A的两个不等的特征值 1 2分别是属于 1 2的向量 证明 1 2不是A的特征向量 证明设 1 2是属于特征值 0的特征向量 则 0 1 2 A 1 2 A 1 A 2 1 1 2 2 即 9 设A与B相似 证明 1 A B 2 AT与BT相似 3 A是可逆矩阵当且仅当B是可逆矩阵 且A 1与B 1相似 证明 1 设A P 1BP 则 A P 1BP P 1 B P B 2 因为A P 1BP 所以AT PTBT PT 1 Q 1BTQ Q PT 1 3 由 1 知A是可逆矩阵当且仅当B是可逆矩阵 而且由 由于 1 2线性无关 所以 1 0 2 0 0 矛盾 A P 1BP 可得A 1 P 1B 1P 所以A 1与B 1相似 解设P1 1AP1 B P2 1CP2 D 记 10 设A B都是n阶方阵 且 A 0 证明AB与BA相似 证明取P A可逆 有P 1ABP BA 故AB与BA相似 于是有 11 设A与B相似 C与D相似 证明与相似 所以与相似 解由已知i是A的特征值 i是相应的特征向量 设三阶矩阵A满足A i i i i 1 2 3 其中 试求矩阵A 取 得 则有A P P 1 即 解因为2A E的特征值为2k 1 k 1 2 n 13 设n阶矩阵A的特征值为1 2 n 试求 2A E 所以有 14 证明n阶方阵A可逆的充要条件是它不以0为其特征值 证明A可逆 detA 0 det 0E A 0 0不是A的特征值 解设 是矩阵A属于特征值 的特征向量 即A 于是有 0 故有A 1 1 即1 是A 1的一个特征值 15 已知 是n阶可逆矩阵A的一个特征值 试确定A 1和A 的一个特征值 而A A A 1 A 所以 A 是A 的一个特征值 16 设3阶实对称矩阵A的特征值 1 6 2 3 3 1 1 1 1 T是属于特征值 1 6的一个特征向量 求A 解设矩阵A的属于特征值 2 3 3的特征向量为 x1 x2 x3 T 则 与 1正交 所以有x1 x2 x3 0 所以属于特征值 2 3 3的特征向量可取为 2 1 1 0 T 3 1 0 1 T 记P 1 2 3 则有 所以有 17 设2阶矩阵A的特征值为1 5 对应的特征向量分别为 1 1 T 2 1 T 求A 解由已知有 所以有 解由A与B相似 得A的特征值为1 1 1 即x 1 y 1 1 求x和y的值 2 求可逆矩阵P 使得P 1AP B 18 设矩阵A与B相似 其中 由于 可得属于特征值 1的特征向量为 1 1 0 0 T 又由于 所以 可取矩阵 所以 属于特征值1的特征向量可取为 2 1 1 0 T 3 1 0 1 T 满足 P 1AP B 解由于 19 设矩阵的特征方程有一个二重根 求a的值 并讨论A是否可相似对角化 可见 当a 2时 A的特征值为 1 2 2 3 6 当a 2 3时 A的特征值为 1 2 2 3 4 所以 a 2或a 2 3 可见 R A 2E 1 所以存在两个线性无关的特征向量 当a 2 3时 对特征值 2 3 4 由于 当a 2时 对特征值 1 2 2 由于 因此 矩阵A有三个线性无关的特征向量 A可相似对角化 可见 R A 2E 2 无两个线性无关的特征向量 不能对角化 即 a 2时 A可相似对角化 a 2 3时 A不能相似对角化 20 设A B都是n阶实对称矩阵 证明A与B相似的充分必要条件是A B有相同的特征值 证明必要性显然 下面证明充分性 若A与B特征值相同 则A B与同一个对角矩阵相似 由相似的传递性知A与B相似 证明由A2 A知 A的特征值只能是1和0 21 设A2 A 证明A能与对角矩阵相似 所以 R A R E A n R A R E A n 而由A2 A还有 A E A 0 A E A E 于是 R A R E A n 若记 R A r 则R E A n r 所以 特征值0有n r个线性无关特征向量 特征值1有r个线性无关特征向量 于是 矩阵A有n个线性无关特征向量 故A与对角矩阵相似 22 设A B均是n阶方阵 且R A R B n 证明A B有公共的特征向量 证明由于R A R B n 所以方程组Ax 0与Bx 0有公共的解向量 而方程组Ax 0的解向量都是A属于特征值0的特征向量 于是 矩阵A与B有公共的特征向量 解 1 由可得 23已知A为3阶实对称矩阵 R A 2 且 求 1 A的特征值和特征向量 2 矩阵A 所以 1 1 2 1是A的两个特征值 而且 1 1 0 1 T是属于特征值 1的特征向量 k 1 k 0 是属于特征值 1的所有特征向量 又由于R A 2 所以 3 0是A的特征值 2 1 0 1 T是属于特征值1的特征向量 k 2 k 0 是属于特征值1的所有特征向量 由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交 所以 属于特征值0的特征向量必与 1 2正交 解方程组 x1 x3 0 x1 x3 0得 3 0 1 0 T是属于特征值0的特征向量 k 3 k 0 是属于特征值0的所有特征向量 2 由于 1 2 3相互正交 将其单位化得 构造正交矩阵 得 A Q QT 24 假定n阶可逆矩阵A的任意一行中n个元素的和都是a 试证 a是A的特征值 且 1 1 1 T是对应于 a的特征向量 又问此时A 1的每行元素之和为多少 证明由于 所以 a是A的特征值 1 1 1 T是相应的特征向量 由于A可逆 所以a 0 而且有A 1 1 1 1 T a 1 1 1 1 T 所以 A 1的每行元素之和为1 a 25 设某地区每年有20 的农村居民移居城市 有10 的城市居民移居农村 假设该地区总人口数不变 且上述人口迁移规律也不变 若该地区现有农村人口200万 城市人口100万 问该地区十年后农村和城市人口各是多少 解设k年后农村和城市人口分别是xk yk 则有 于是有 所以 十年后农村和城市人口分别为 25 设某地区每年有20 的农村居民移居城市 有10 的城市居民移居农村 假设该地区总人口数不变 且上述人口迁移规律也不变 若该地区现有农村人口200万 城市人口100万 问该地区十年后农村和城市人口各是多少 解设k年后农村和城市人口分别是xk yk 则有 于是有xk yk xk 1 yk 1 x0 y0 300 所以 所以有 所以 习题六 136页 解因为 一 选择题 D 2 二次型的标准形可能是 解因为 A 所以 f是正定二次型 应选A C 解由于的顺序主子式D1 0 所以 A既不正定 也不负定 故选C 也可以求出A的特征值 1 1 2得到相应结论 B 解由于 所以 A的秩为2 故选B 或由得到结果 解按定义应填 二 填空题 解由定义可得 2 二次型的矩阵是 1 矩阵对应的二次型是 解由于 3 二次型的秩为 所以 f的矩阵为 所以 R A 2 f的秩为2 2 解由于 A 1 TAA 1 A 1 所以做变换x A 1y 4 设A是实对称可逆矩阵 则将f xTAx化为f yTA 1y的线性变换为 5 设n阶实对称矩阵A的特征值分别为1 2 n 则当t 时 tE A是正定的 解tE A的特征值分别为t 1 t 2 t n 所以 t n x A 1y n 解由于的特征值为6 0 0 或R A 1 6 已知二次型经正交变换x Py可化为标准形f 6y12 则a 2 解由已知可得A的三个特征值为0 0 3 7 设二次型f xTAx的秩为1 A中行元素之和为3 则f在正交变换x Qy下的标准型为 所以 f在正交变换下的标准形为 f 3y12或f 3y22或f 3y32 f 3yi2 i 1 2 3 三 解答题 解二次型的矩阵为 1 用正交变换化下列二次型为标准形 并给出正交变换 1 2x12 5x22 5x32 4x1x2 4x1x3 8x2x3 A的特征多项式为 1 2 11 10 1 2 10 A的特征值为 1 2 1 3 10 由于 属于 1 2 1的特征向量可取为 属于 3 10的特征向量可取为 再由 所以 得正交矩阵 Q 1 2 3 作正交变换x Qy 即 二次型 变成标准形 解二次型的矩阵为 A的特征多项式为 2 3x12 3x22 6x32 8x1x2 4x1x3 4x2x3 y12 y22 10y32 矩阵A的特征值为 1 2 7 3 2 属于特征值 1 2 7的特征向量可取为 由于 7 2 5 14 7 2 2 再由 属于 3 2的特征向量可取为 所以 得正交矩阵 Q 1 2 3 作正交变换x Qy 即 二次型 变成标准形 7y12 7y22 2y32 解二次型的矩阵为 3 2x1x2 2x3x4 A的特征多项式为 2 1 2 1 2 1 2 A的特征值为 1 2 1 3 4 1 属于 1 2 1的特征向量可取为 由于 又由 所以 得正交矩阵 Q 1 2 3 4 作正交变换x Qy 即 二次型 变成标准形 y12 y22 y32 y42 属于 3 4 1的特征向量可取为 解二次型的矩阵为 4 x12 4x22 4x32 4x1x2 4x1x3 8x2x3 A的特征多项式为 2 9 2 9 A的特征值为 1 2 0 3 9 由于 属于 1 2 0的特征向量可取为 又由 属于 3 9的特征向量可取为 所以 得正交矩阵 Q 1 2 3 作正交变换x Qy 即 二次型 变成标准形 9y32 解 x12 2x22 2x1x2 2x1x3 2 用配方法化下列二次型为标准形 并给出所用可逆变换 1 x12 2x22 2x1x2 2x1x3 只要作可逆线性变换 化成标准形 y12 y22 2y32 x12 2x1x2 2x1x3 x22 x32 2x2x3 x22 x32 2x2x3 x1 x2 x3 2 x22 2x2x3 x32 2x32 x1 x2 x3 2 x2 x3 2 2x32 解 x12 x32 2x1x2 2x2x3 2 x12 x32 2x1x2 2x2x3 只要作可逆线性变换 化成标准形 x12 2x1x2 x22 x22 x32 2x2x3 x1 x2 2 x22 2x2x3 x32 x1 x2 2 x2 x3 2 y12 y22 解先作可逆线性变换 3 x1x2 x1x3 x2x3 化成标准形 x1x2 x1x3 x2x3 y12 y22 2y1y3 y12 2y1y3 y32 y22 y32 y1 y3 2 y22 y32 z12 z22 z32 只要作可逆线性变换 解 x12 4x1x2 4x1x3 2x1x4 4x22 4x32 x42 8x2x3 4 x12 2x22 x42 4x1x2 4x1x3 2x1x4 2x2x3 只要作可逆线性变换 2x2x4 2x3x4 4x2x4 4x3x4 2x22 4x32 6x2x3 2x2x4 2x3x4 x1 2x2 2x3 x4 2 2 x22 3x2x