九年级数学下册24.5三角形的内切圆课件新版沪科版.ppt

24 5三角形的内切圆 九年级 下册 初中数学 回顾反思 从圆外一点可以引圆的两条切线 它们的切线长相等 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 切线长定理 如图 一张三角形的铁皮 如何在它上面截下一块圆形的用料 并且使圆的面积尽可能大呢 I D 思考 三角形的内切圆 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 三角形的内心 三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点 它到三角形三边的距离相等 概念介绍 已知 如图 O是Rt ABC的内切圆 C是直角 三边长分别是a b c 求 O的半径r Rt 的三边长与其内切圆半径间的关系 探究 1 求直角三角形内切圆的半径 P43习题25 6第5题 解 1 如图 O是Rt ABC的内切圆 13 求直角三角形内切圆的半径 AD AF CE CF BD BE a b c AF FC CE BE AD BD CE CF 2CE S AOB S BOC S AOC 1 2ab 1 2ra 1 2rb 1 2rc 2 连接OA OB OC 则S ABC 解 1 如图 O是Rt ABC的内切圆 13 求直角三角形内切圆的半径 AD AF CE CF BD BE a b c AF FC CE BE AD BD CE CF 2CE S AOB S BOC S AOC 1 2ab 1 2ra 1 2rb 1 2rc 2 连接OA OB OC 则S ABC 2 求一般三角形内切圆的半径 已知 如图 ABC的面积为S 三边长分别为a b c 求内切圆 O的半径r 已知 如图 ABC的面积为S 三边长分别为a b c 求内切圆 O的半径r 解 连接OA OB OC 则 S ABC S AOB S BOC S AOC S 1 2ra 1 2rb 1 2rc 例 如图 ABC中 ABC 43 ACB 61 点I是 ABC的内心 求 BIC的度数 A I C B 例题讲解 变式 ABC中 A 40 点I是 ABC的内心 求 BIC的度数 BIC 90 A 因为I是 ABC的内心 所以IB IC平分 ABC ACB 在 IBC中 BIC 1800 IBC ICB 1800 ABC ACB 2 1800 430 610 2 1280因而 BIC为1280 解 连接IB IC 例2 已知 ABC是 O外切三角形 切点为D E F 若BC 14cm AC 9cm AB 13cm 求AF BD CE A B C D E F x x y y z z 解 设AF Xcm BD Ycm CE Zcm则AE AF Xcm DC BD Ycm AE EC Zcm 依题意得方程组 14 小练习 1 边长为3 4 5的三角形的内切圆的半径为 2 边长为5 5 6的三角形的内切圆的半径为 3 已知 ABC的面积S 4cm 周长等于10cm 求内切圆 O的半径r 1 如图 ABC的内切圆 O与BC CA AB分别相切于点D E F 且AB 9cm BC 14cm CA 13cm 求AF BD CE的长 x 13 x x 13 x 9 x 9 x 例题分析 2 ABC的内切圆半径为r ABC的周长为l 求 ABC的面积 提示 设内心为O 连接OA OB OC O A C B r r r 若 ABC的内切圆半径为r 周长为l 则S ABC lr 例题分析 知识拓展 一 直角三角形的外接圆与内切圆 1 直角三角形外接圆的圆心 外心 在 半径为 a b c 斜边中点 斜边的一半 知识拓展 3 Rt ABC中 C 90 a 3 b 4 则内切圆的半径是 1 4 直角三角形的外接圆半径为5cm 内切圆半径为1cm 则此三角形的周长是 22cm 2 直角三角形内切圆的圆心 内心 在 半径r 三角形内部 回顾反思 1 切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线 它们的切线长相等 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 回顾反思 2 三角形的内切圆 内心 内心的性质 1 如图 一圆内切于四边形ABCD 且AB 16 CD 10 则四边形的周长为 A 50 B 52 C 54 D 56 课堂练习 B 2 已知 如图 PA PB是 O的两条切线 A B为切点 直线OP交 O于点D E 交AB于C 1 写出图中所有的垂直关系 2 如果PA 4cm PD 2cm 求半径OA的长 课堂练习 解 1 OA PA OB PB PE AB 2 设半径为r 则PA2 PDXPE PD PD 2r 解得 OA r 3 3 试一试 如图 ABC中 C 90 AC 6 BC 8 三角形三边与 O均相切 切点分别是D E F 求 O的半径 课堂练习 AB2 AC2 BC2 62 82 100 AB 10 证明 等边三角形的内心与外心重合 并且外接圆半径是内切圆半径的2倍 如图 等边 ABC中 I为圆心 内切圆半径为r 外接圆半径为R求证 I为外心 R 2r证明 连接AI BI CI 并延长 分别交对边于D E F I是内心 AD CF BF分别是 ABC的角平分线 又 ABC是等边三角形 由等边三角形 三线合一 知AD BE CF是 ABC的三条高 也是三角形的中线 I是外心 由 知 BI R ID r 在Rt BID中 IBD 1 2 ABC 30 ID 1 2IB 即R 2r P43习题25 6第2题 解 设等边三角形ABC 过点A作AD垂直于BC垂点为D 过B点做BE垂直于AC垂点为EAD与BE相交于点I 连接CI 并延长CI交AB于GF AD和BE为高 而ABC是等边三角形 BD AE 1 2AC CBE DAC 30 BEA BDA 90 BDI AEI BI AFI 又 BC AC CI CI BIC AIC BCF ACF 所以CF AB ID IE IF分别垂直于AB BC AC I就是 ABC的内心BI IC BD CD DI DI BDI CDI BF CF 同理可得BI CI F为 ABC的外心 且DI为内切圆半径 BI为外接圆半径 又 AD BC 所以三角形BDI为直角三角形 又 FBI 1 2 ABC 30 ID 1 2BI 用全等三角形详解 如图 圆O为 ABC的内切圆 切点为E F G C 90 AO的延长线交BC于点D AC 4 CD 1 求圆O的半径r 解 连接OF OE 则OFCE为边长为r的正方形 OED ACD故OE AC DE DCr 4 1 r 1解得 r 4 5 解 连接BE 点E为 ABC的内心 BAD DAC ABE EBC BD DC DAC与 DBC都是弧DC所对的圆周角 DAC DBC BAD EBD CBD CBE BED ABE BAD EBD BED BD ED BD ED DC 4 已知 如图 在 ABC中 点E是内心 延长AE交 ABC的外接圆于点D 连接BD DC EC 求证 DB DC DE 2 已知 在 ABC中 BC 14cm AC 9cm AB 13cm BC AC AB分别与 O切于点D E F 求AF BD和CE的长 分析 利用切线长定理可以得到AE AF BF BD CD CE 因而可以设AF xcm BD ycm CE zcm 根据BC 14cm AC 9cm AB 13cm即可得到一个关于x y z的方程组 即可求解 解 设AF xcm BD ycm CE zcm AF AE是圆的切线 AE AF xcm 同理 BF BD ycm CD CE zcm 根据题意得解得 即 AF 4cm BD 9cm CE 5cm 如图 在 ABC中BC 14cm AC 9cm AB 13cm 内切圆 O分别和BC AC AB切于点D E F 求AF BD CE的长 x y 13x z 9y z 14 x 4 y 9 z 5 1 已知 两个同心圆PA PB是大圆的两条切线 PC PD是小圆的两条切线 A B C D为切点 求证 AC BD 布置作业 3 以正方形ABCD的一边BC为直径的半圆上有一个动点K 过点K作半圆的切线EF EF分别交AB CD于点E F 试问 四边形AEFD的周长是否会因K点的变动而变化 为什么 4 如图 在梯形ABCD中 AD BC AB BC 以AB为直径的 O与DC相切于E 已知AB 8 边BC比AD大6 求边AD BC的长 5 已知 如图 PA PB是 O的切线 切点分别是A B Q为 O上一点 过Q点作 O的切线 交PA PB于E F点 已知PA 12cm P 70 求 PEF的长和 EOF的大小