角平分线的性质与判定.ppt

11 3角平分线的性质与判定 赵芸 不利用工具 请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角 你有什么办法 再打开纸片 看看折痕与这个角有何关系 对折 情境问题 1 如图 是一个角平分仪 其中AB AD BC DC 将点A放在角的顶点 AB和AD沿着角的两边放下 沿AC画一条射线AE AE就是角平分线 你能说明它的道理吗 情境问题 A D B C E 如果前面活动中的纸片换成木板 钢板等没法折的角 又该怎么办呢 2 证明 在 ACD和 ACB中AD AB 已知 DC BC 已知 CA CA 公共边 ACD ACB SSS CAD CAB 全等三角形的对应边相等 AC平分 DAB 角平分线的定义 根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线 不用角平分仪或量角器 O 探究新知 N O M C E 1 平分平角 AOB2 通过上面的步骤 得到射线OC以后 把它反向延长得到直线CD 直线CD与直线AB是什么关系 3 结论 作平角的平分线即可平分平角 由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法 实践应用 1 探究角平分线的性质 1 实验 将 AOB对折 再折出一个直角三角形 使第一条折痕为斜边 然后展开 观察两次折叠形成的三条折痕 你能得出什么结论 2 猜想 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 题设 一个点在一个角的平分线上 结论 它到角的两边的距离相等 证明 OC平分 AOB 已知 1 2 角平分线的定义 PD OA PE OB 已知 PDO PEO 垂直的定义 在 PDO和 PEO中 PDO PEO 已证 1 2 已证 OP OP 公共边 PDO PEO AAS PD PE 全等三角形的对应边相等 已知 如图 OC平分 AOB 点P在OC上 PD OA于点D PE OB于点E求证 PD PE 探究角平分线的性质 3 验证猜想 角平分线上的点到角两边的距离相等 4 得到角平分线的性质 利用此性质怎样书写推理过程 O A B E D 思考 如图所示OC是 AOB的平分线 P是OC上任意一点 问PE PD 为什么 C P PD PE没有垂直OA OB 它们不是角平分线上任一点这个角两边的距离 所以不一定相等 思考 要在 区建一个集贸市场 使它到公路 铁路距离相等且离公路 铁路的交叉处 米 应建在何处 比例尺1 20000 公路 铁路 如图 在 ABC中 C 90 AD是 BAC的平分线 DE AB于E F在AC上 BD DF 求证 CF EB 实践应用 2 分析 要证CF EB 首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等 即Rt CDF Rt EDB 现已有一个条件BD DF 斜边相等 还需要我们找什么条件 DC DE 因为角的平分线的性质 再用HL证明 试试自己写证明 你一定行 驶向胜利的彼岸 已知 如图 在 ABC中 AD是它的角平分线 且BD CD DE AB DF AC 垂足分别是E F 求证 EB FC 老师期望 做完题目后 一定要 悟 到点东西 纳入到自己的认知结构中去 例已知 如图 ABC的角平分线BM CN相交于点P 求证 点P到三边AB BC CA的距离相等 证明 过点P作PD PE PF分别垂直于AB BC CA 垂足为D E F BM是 ABC的角平分线 点P在BM上 已知 PD PE 在角平分线上的点到角的两边的距离相等 同理PE PF PD PE PF 即点P到边AB BC CA的距离相等 D E F 练习 如图 的 的外角的平分线 与 的外角的平分线 相交于点 求证 点 到三边 所在直线的距离相等 F G H 小结与作业 一 过程小结 情境 观察 作图 应用 探究 再应用 二 知识小结 本节课学习了那些知识 有哪些运用 你学了吗 做了吗 用了吗 回味无穷 定理角平分线上的点到这个角的两边距离相等 OC是 AOB的平分线 P是OC上任意一点 PD OA PE OB 垂足分别是D E 已知 PD PE 角平分线上的点到这个角的两边距离相等 用尺规作角的平分线 到一个角的两边的距离相等的点 在这个角平分线上 已知 PD OA PE OB 垂足分别是D E PD PE 求证 点P在 AOB的平分线上 角平分线的判定定理 P 用符号语言表示为 PD PEPD OA PE OB 1 2 由上面两个定理可知 到角的两边的距离相等的点 都在这个角平分线上 反过来 角平分线上的点到角的两边的距离相等 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 练一练 填空 1 1 2 DC AC DE AB 1 DC AC DE AB DC DE 1 2 DC DE 到一个角的两边的距离相等的点 在这个角平分线上 在角平分线上的点到角的两边的距离相等 2 已知 如图 C C 90 AC AC 求证 1 ABC ABC 2 BC BC 要求不用三角形全等的判定 B 例1已知 在等腰Rt ABC中 AC BC C 90 AD平分 BAC DE AB于点E 求证 BD DE AC 变式已知AB 15cm 求 DBE的周长 E D C B A 利用结论 解决问题 练一练1 如图 为了促进当地旅游发展 某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村 要使这个度假村到三条公路的距离相等 应在何处修建 想一想 在确定度假村的位置时 一定要画出三个角的平分线吗 你是怎样思考的 你是如何证明的 拓展与延伸 2 直线表示三条相互交叉的公路 现要建一个货物中转站 要求它到三条公路的距离相等 则可供选择的地址有 A 一处B 两处C 三处D 四处 分析 由于没有限制在何处选址 故要求的地址共有四处 拓展与延伸 3 已知 BD AM于点D CE AN于点E BD CE交点F CF BF 求证 点F在 A的平分线上 1 角平分线的性质定理 在角平分线上的点到角的两边的距离相等 2 角平分线的判定定理 到一个角的两边的距离相等的点 在这个角平分线上 3 角平分线的性质定理和角平分线的判定定理是证明角相等 线段相等的新途径