线性代数实践(教师班第5讲).ppt

第二篇线性代数实践 第五章预备知识 5 1实验在线性代数中的重要性 利用软件工具进行实验有以下的一些好处 好处一 对于低价 三阶及以下 的线性代数问题 MATLAB能提供图形帮助 有利于牢固地掌握概念 好处二 对于高阶的问题 MATLAB能提供计算程序 方便而简捷 节省时间 好处三 由于解题快捷 在课程中可以较多地放进线性代数的应用实例 扩展学生的视野 提高学习的目的性和积极性 线性代数实践 的预期效果 所以我们敢于提出本书的标志性特征 线性代数抽象吗 看了本书后 你会知道它的概念都基于空间形象 线性代数冗繁吗 学了本书后 你会懂得它的计算全可有简明程序 线性代数枯燥吗 读了本书后 你会发现它的应用极其广泛又精彩 5 2解决问题的三种视点 线性代数要解的基本方程组是Ax b其完整矩阵形式为 几百年来 无数数学家和工程师从不同的视点对这个方程进行了研究 归纳起来 根据研究的主要对象为x A或b 可分成三个方面 从解联立方程的视点 视点1 着重研究解x 即研究线性方程组的解法 中学里做的就是这样 前面介绍的用MATLAB矩阵除法的解也是如此 要点 矩阵的每一行代表一个方程 m行代表m个线性联立方程 n列代表n个变量 如果m是独立方程数 根据mn确定方程是 欠定 适定 还是 超定 对这三种情况都会求解了 研究就完成了 必须剔除非独立方程 行阶梯形式 行列式和秩的概念很大程度上为此目的而建立 本书6 7两章对应于本视点 区别是第6章用行阶梯变换 消元法 而第7章用矩阵运算 从向量空间中向量合成的视点 视点2 把A各列看成n个m维基本向量 线性方程组看成基向量的线性合成要点 解x是这些基向量的系数 它可能是常数 适定方程 也可能成为其中的一个子空间 欠定方程 要建立其几何概念 并会求解或解空间 第8章对应视点2 从线性变换 或映射 的视点 视点3 把b看成变量y 着重研究把Rn空间的x变换为Rm空间y的效果 就是研究线性变换系数矩阵A的特征对变换的影响 要点 就是要找到适当的变换 使研究问题的物理意义最为明晰 特征值问题就是一例 第9章对应于视点3 学习本课的方法 在学习本书之前 对理论结果应已基本掌握 首先着重于对低阶概念的理解 要在二维和三维空间内体会线性代数的定义 结合相应的MATLAB程序 弄清低阶的算法 然后再引伸到高阶方程中去 进一步搞清其算法和程序应有的扩展 对于应用问题 不必全看 可结合自已能理解的问题先看 5 3直线和平面的快速绘制程序 平面曲线的快速绘制程序ezplot a b 引号中函数可以只有一个自变量 代表显函数ezplot f x a b 系统将在a x b的范围内画出f f x 引号中的函数若有两个自变量 那就代表隐函数 其典型格式为ezplot f x y a b 系统将在a x b的范围内画出f x y 0 a b 的默认值为 2 2 曲线快速绘制举例 例5 1 ezplot x1 0 2 x2 3 1 画出在x1 2 2 的曲线画多条曲线可按下列方法编程s1 x1 0 2 x2 3 1 方程1s2 3 x1 2 x2 3 方程2ezplot s1 holdon 画方程1 保持ezplot s2 gridon 画方程2 加网格 x1 x2 solve s1 s2 解联立方程1 2 解的结果 解的说明 在线性代数中 遇到的都是一次函数 所以不会出现曲线 我们故意用一个三次曲线来说明ezplot的用法 是为了使读者知道 这个命令不限于画直线 MATLAB用solve命令解题是采用了符号运算工具葙 它的数字精度是32位十进制 而不是一般数值计算时的16位十进制 尽管在本题中有两有效数字就够了 平面的快速绘制命令ezmesh ezmesh f x y a b c d 可以绘制很多函数的曲面 其第一输入变元可以直接输入用MATLAB语句写出函数的形式 引号中的函数只能是显函数z f x y 中的f x y 它应该有两个自变量 注意要用单引号括起来 第二输入变元为自变量的取值范围 默认情况下其x y的取值范围都是 2 2 用ezmesh快速绘制平面举例 可以用以下的程序ag501在一张图内画两个平面clear clfezmesh 3 x1 2 x2 3 holdonezmesh x1 2 x2 1 用隐函数的绘制平面程序 用ezmesh画平面必须要解出z f x y 的显函数形式 有时就觉得不太方便 容易发生移项正负号或系数除法的错误 为此 我们开发了画平面的ezplplot程序 在一张图上画两个平面的ezplplot2程序和画三个平面的ezplplot3程序 这个程序还能画出诸平面的交线 根据abs z1 z2 tol的条件画出一个点的符号 tol的默认值为1 隐函数绘制平面举例 例5 3 键入ezplplot后 按提示依次键入隐函数方程 x y z 52 x 3 y z 3 5 x 2 y 2 z 0得到这三个平面的图形如图 该程序中还包括一句解方程的程序 s1 x y z 5 x y z solve s1 s2 s3 故最后还可得到这三个方程的解 即其交点的坐标x 10 7 y 13 7 z 38 7 Ezplplot3的运行结果 5 4随机整数矩阵的生成程序 A round 9 rand 2 4 生成2 4的一位正整数随机矩阵 A round 19 rand 2 4 0 5 生成2 4的带正负系数的一位整数随机矩阵 装有ATLAST程序集时 可用A randintr 3 4 9 2 生成m n 3 4 随机矩阵 q 9是正负整数系数的最大模 而r 2则是此矩阵的秩 显然输入变元时必须保证r min n m 否则系统将会显示出错警告 5 5特殊矩阵的生成程序 除了最常用的全零zeros m n 全么ones m n 单位矩阵eye n 等矩阵外 MATLAB提供了一些特殊矩阵的生成程序 见本书表2 1中的 特殊矩阵 栏 ATLAST手册中也提供了19个特殊矩阵的生成程序 见本书附录B 在本书的子程序集中 也提供了几个初等变换矩阵的生成程序 5 6线性代数建模与应用概述 本节介绍一些大的系统工程中使用线性代数的情况 使读者知道为什么线性代数在近几十年来变得如此的重要 首先要介绍Leontief教授把美国的经济用500个变量的500个线性方程来描述 在1949年利用当时的计算机解出了42 42的简化模型 使他于1973年获得诺贝尔经济奖 从而大大推动了线性代数的发展 现代飞行器外形设计例 把飞行器的外形分成若干大的部件 每个部件沿着其表面又用三维的细网格划分出许多立方体 这些立方体包括了机身表面以及此表面内外的空气 对每个立方体列写出空气动力学方程 其中包括了与它相邻的立方体的共同边界变量 这些方程通常都已经简化为线性方程 对一个飞行器 小立方体的数目可以多达400 000个 而要解的联立方程可能多达2 000 000个 飞行器控制的例 飞行器的运动要用三个转动和三个平移共六个变量来表示 像在第九章中介绍的那样 除此以外 为了控制飞行器的三维转动 需要三个控制面 即方向舵 垂直尾翼 升降舵 水平尾翼 和副翼 它们的偏转角又构成了三个变量 描述飞行器的运动就需要12个变量的组合 而且这已经不单是代数方程 而是微分方程了 卫星遥感图象处理的例 卫星上用三种可见光和四种红外光进行摄像 对每一个区域 可以获得七张遥感图象 利用多通道的遥感图可以获取尽可能多的地面信息 因为各种地貌 作物和气象特征可能对不同波段的光敏感 而在实用上应该寻找每一个地方的主因素 成为一张实用的图象 每一个象素上有七个数据 形成一个多元的变量数组 在其中合成并求取主因素的问题 就与线性代数中要讨论的特征值问题有关 国家地理信息系统的例 在全国设立几十万个观察点 把每一点的经度 纬度和高度三个坐标建立起来 现在对于经度纬度的测量精度要求 已经提高到了若干厘米 对于高度的精度要求更高 在一些边远地区 对于一些特征点的测量 要耗费很大的人力物力 例如对珠穆朗玛峰顶高度的测量 要经过多种方法 取得多种数据 并且用最小二乘法进行误差的处理