江西省吉安县高中数学 第2章 解三角形 2.2.1 三角形中的几何计算课件 北师大版必修5.ppt

2 2 1三角形中的几何计算 学习目标 1 会用正 余弦定理解决与三角形有关的几何计算问题 2 培养学生分析问题 独立解决问题的能力 并激发学生的探索精神 知识回顾 导 A B 钝角三角形 直角三角形 锐角三角形 知识回顾 A B 思 例1 如图 在梯形ABCD中 AD BC AB 5 AC 9 BCA 30O ADB 45O 求BD的长 解在 ABC中 AD BC AB 5 AC 9 BCA 30O 由正弦定理 得 因为AD BC 所以 BAD 180O ABC 于是 探究一 议 展 同理 在 ABD中 AB 5 ADB 45O 解得 答BD的长为 例2一次机器人足球比赛中 甲队1号机器由点A开始作匀速直线运动 到达B点时 发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A作匀速直线滚动 如图 已知若忽略机器人原地旋转所需的时间 则该机器人最快可在何处截住足球 分析机器人最快截住足球的地方正是机器人与足球同时到达的地方 设为C点 利用速度建立AC与BC之间的关系 再利用余弦定理便可建立方程解决问题 议 展 探究二 解 设机器人最快可在C处截住足球 点C在线段AD上 设BC xdm 由题意 CD 2xdm C AC AD CD 17 2x dm 在 BCD中 由余弦定理 得 即 解得 所以 不合题意 舍去 答该机器人最快可在线段AD上离点A7dm的点C处截住足球 例3如图 已知 O的半径是1 点C在直径AB的延长线上 BC 1 点P是 O上半圆上的一个动点 以PC为边作等边三角形PCD 且点D与圆心分别在PC的两侧 1 若 POB 试将四边形OPDC的面积y表示成 的函数 2 求四边形OPDC面积的最大值 分析四边形OPDC可以分成 OPC与 PCD S OPC可用表示 而求 PCD的面积的关键在于求出边长PC 在 OPC中利用余弦定理即可求出 面积最值 可通过函数解决 议 展 探究三 解 1 在 POC中 由余弦定理 得 所以 2 当 时 1 如图 在四边形ABCD中 已知AD CD AD 10 AB 14 BDA 60 BCD 135 求BC的长 检 解析 在 ABD中 设BD x 则BA2 BD2 AD2 2BD AD cos BDA 即142 x2 102 2 10 x cos60 x2 10 x 96 0 解得x1 16 x2 6 舍去 由正弦定理得BC 8 2 如图所示 在平面四边形ABCD中 AB AD 1 BAD BCD是正三角形 1 将四边形ABCD的面积S表示为 的函数 2 求S的最大值及此时 角的值 检 例3已知 ABC的内角A B C的对边分别为a b c asinA csinC asinC bsinB 1 求角B 2 若A 75 b 2 求a c 检 解析 1 由正弦定理得a2 c2 ac b2 由余弦定理得b2 a2 c2 2accosB 故cosB 又B为三角形的内角 因此B 45 2 sinA sin 30 45 sin30 cos45 cos30 sin45 故a 由三角形内角和定理知C 180 A B 60 c 课堂小结 1 正弦定理 余弦定理主要用来解决三角形问题 解决时抓住两点 合理的运用题目中的三角形资源 尽量将所有的条件集中到某个三角形之中 会使问题更容易解决 2 我们常用正弦定理 余弦定理来解决三角形问题 但在实际解决问题过程中经常遇到四边形或多边形 这时需要通过适当的辅助线将多边形分割为多个三角形 从而将问题转化为三角形的问题来解决