麦克斯韦速度分布.ppt

2 4麦克斯韦速度分布 前面已指出 麦克斯韦是先导出速度分布 然后再从速度分布得到速率分布的 本节中介绍麦克斯韦速度分布 为了说明速度分布的含义 先介绍速度空间的概念 2 4 1速度空间 一 速度矢量 速度空间中的代表点 1 速度矢量 要描述气体分子的速度大小和方向 需引入速度矢量这一概念 速度矢量的方向和大小恰与此瞬时该分子速度的大小 方向一致 一个分子仅有一个速度矢量 1 速度空间中的代表点 把分子的速度矢量沿x y z方向的投影vx vy vz作直角坐标图 把所有分子速度矢量的起始点都平移到公共原点O上 在平移时 矢量的大小 方向都不变 平移后 仅以矢量的箭头端点的点来表示这一矢量 而把矢量符号抹去 这样的点称为代表点 如图中的P点所示 以直角坐标表示的速度空间 以速度分量vx vy vz为坐标轴 以从原点向代表点所引矢量来表示分子速度方向和大小的坐标称为速度空间 速度空间是人们想像中的空间坐标 所描述的不是分子的空间位置 而是速度的大小与方向 二 速度空间中代表点的分布 若把某一瞬时所有分子所对应的速度矢量代表点都标在速度空间中 就构成代表点在速度空间中的一种分布图形 如图所示 速度空间中代表点分布与靶板上靶点分布类似 前面已指出 在图2 2 a 中 靶点位于x到x dx y到y dy范围内的概率是以f x y dxdy来表示的 其中dxdy为这一区域大小 f x y 是黑点分布的概率密度 1 速度空间中小立方体dvxdvydvz中的概率 在三维速度空间中 在vx到vx dvx vy到vy dvy vz到vz dvz区间内划出一个体积为dvxdvydvz的微分元 如图所示 数出在这微分元中的代表点的数目dN vx vy vz 并把 称为坐标为vx vy vz处的麦克斯韦速度分布概率密度 它表示在dvxdvydvz小体积元中代表点的相对密集程度 我们可以这样来求出dN vx vy vz 2 速度空间中厚为dvx无限大平板中的概率 首先问 在N个分子中速度x分量落在vx到vx dvx范围内而vy vz在任意的范围内的分子数dN vx 是多少 在速度空间中划出一个垂直于vx轴的厚度为dvx的无穷大平板 如图所示 不管速度的y z分量如何 只要速度x分量在vx到vx dvx范围内 则所有这些分子的代表点都落在此很薄的无穷大平板中 若设此平板中代表点数为dN vx 则dN vx N表示分子的速度处于vx到vx dvx而vy vz为任意值范围内的概率 显然这一概率与板的厚度dvx成比例 并有dN vx N f vx dvx称分子x方向速度分量概率分布函数 同样可分别求出垂直于vy轴及vz轴的无穷大薄平板中代表点数dN vy 及dN vZ 则 dN vy N f vy dvydN vz N f vz dvz分别表示y及z方向速度分量的概率分布函数 根据处于平衡态的气体的分子混沌性假设 分子速度没有择优取向 故f vx f vy f vz 应具有相同形式 速度空间中一根截面积为dvxdvy的无穷长的方条中的概率 2 进一步问 分子速率介于vx到vx dvx vy到vy dvy 而vz在任意的范围内的分子数dN vx vy 是多少 显然这些分子的代表点都落在一根平行于vz轴 截面积为dvxdvy的无穷长的方条中 因为分子落在垂直于dvx轴的平板内的概率是f vx dvx 分子落在垂直于vy轴的平板内的概率是f vy dvy 由相互独立的同时事件概率相乘法则可知 分子落在方柱体内的概率为方柱体内代表点数dN vx vy 与总分子数N的比值 3 最后要问 分子速度分量处于vx到vx dvx vy到vy dvy vz到vz dvz范围内的概率是多少 只需在图中再作一垂直于vz轴的 厚度为dvz的无穷大薄平板 平板与柱体相交截得一体积为dvxdvydvz的小立方体 计算出在小立方体中的代表点数dN vx vy vz 而dN vx vy vz N就是所要求的概率 因为vx vy vz相互独立 故dN vx vy vz N f vx dvx f vy dvy f vz dvz 显然 速度分布概率密度f vx vy vz 是分子分别按速度的x y z方向分量分布的概率密度f vz f vy f vz 的乘积 分子处于速度空问任一微小范围dvxdvydvz内的概率是f vx vy vz 与dvxdvydvz的乘积 2 4 2麦克斯韦速度分布 Maxwellvelocitydistribution 麦克斯韦最早用概率统计的方法导出了理想气体分子的速度分布 这一分布可表示为f vx vy vz dvxdvydvz 因为f vx vy vz f vx dvxdvx f vy dvy f vz dvz麦克斯韦速度分布有 其中i可分别代表x y z 欲求分子速度的x分量在vx到vx dvx内而vy vz任意的分子数dN vx 这就是速度空间中垂直于x轴的无穷大薄平板中的代表点数 显然可对vy vz积分后求出 利用定积分公式可知上式中的两个积分都是1 故 的概率分布曲线如图2 13所示 它对称于纵轴 图中打上斜线的狭条的面积即 最后说明 由于麦克斯韦在导出麦克斯韦速度分布律过程中没有考虑到气体分子间的相互作用 故这一速度分布律一般适用于平衡态的理想气体 2 4 3相对于vp的 麦克斯韦 速度分量分布与速率分布误差函数 附录2 1中的定积分公式都是从0积分到无穷大 有时需要计算气体分子速度分量 或速率v 在某给定范围内的分子数或概率 这时可把麦克斯韦速度分布式或速率分布式分别作变量变换 使之变换为相对于最概然速率的速度分量分布或速率分布的形式 一 相对于vp的速度分量 麦克斯韦 分布 令其中vx vp ux 其中vp为最概然速率 它可以变换为若要求出分子速度x方向分量小于某一数值的分子数所占的比率 则可对上式积分引入误差函数erf x 误差函数erf x 有表可查 例2 2 试求在标准状态下氮气分子速度的x分量小于800m s 1的分子数占全部分子数的百分比 解 首先求出273K时氮气分子 摩尔质量Mm 0 028kg 的最概然速率 由表2 1查得erf 2 0 995 故这种分子所占百分比为 49 8 二 相对于的麦克斯韦速率分布 若令可将麦克斯韦速率分布表示为 利用 2 35 式可求得在某一速率附近微小范围内的气体分子数所占的百分比率 再利用误差函数可求得在0到v范围内的分子数 2 4 4从麦克斯韦速度分布导出速率分布 一 以极坐标表示的射击点分布 按极坐标表示的射击点分布 若用相等的 r为间隔 在靶板上画出很多个同心圆 数出每个圆环中的黑点数 N 以 N N r为纵坐标 r为横坐标画出竖条 如右图 令 r 0 得到光滑曲线 它表示离靶心不同距离处存在黑点的概率 二 气体分子的速率分布 麦克斯韦速度分布 所有分子速率介于v到v dv范围内的分子的代表点都落在以原点为球心 v半径 厚度为dv的一薄层球壳中 如图所示 根据分子混沌性假设 气体分子速度没有择优取向 在各个方向上应该是等概率的 说明代表点的数密度D是球对称的 D仅是离开原点的距离v的函数 设代表点的数密度为D v 在球壳内的代表点数dNv应是D v 与球壳体积的乘积 在麦克斯韦速度分布中已指出 在速度空间中 在速度分量vx vy vz附近的代表点数密度是Nf vx vy vz 它就是这里的D v 故 将上式代入可以得到 这就是麦克斯韦速率分布 2 4 5绝对零度时金属中自由电子的速度分布与速率分布费米球 金属自由电子模型指出 金属中的价电子是无相互作用的自由电子 在T 0K时 自由电子的速度分布可表示为在速度空间中的一个费米球 其球心位于速度空间的原点 球的半径为vF 称为费米速率 是一个与金属种类有关的常数 电子状态位于速度空间中费米球外的概率密度为零 位于球内的概率密度为常数 设为De De可如下求出 4 3 vF3De 1 由归一化条件知De 3 4 vF3 故 其速率分布可表示为v vFv vF 通常以来表示费米球面的能量 其中me为电子质量 称为费米能 不同金属 EF值不同 一般它取eV的量级 例如 铜的EF 1 1 10 18J 而me 9 1 10 31kg 由此知T 0K时铜中自由电子平均速率说明即使在T 0K时 金属中自由电子还在以106m s 1的数量级的平均速率在运动着 这是经典理论无法解释的 按照麦克斯韦分布 T 0K时的自由电子平均速率为零 这种运动称为零点运动