（江苏专版）2019年中考数学一轮复习 第四章 图形的认识 4.3 等腰三角形与直角三角形（试卷部分）课件.ppt

4 3等腰三角形与直角三角形 中考数学 江苏专用 考点1等腰三角形 A组2014 2018年江苏中考题组 五年中考 1 2018宿迁 6 3分 若实数m n满足等式 m 2 0 且m n恰好是等腰 ABC的两条边的边长 则 ABC的周长是 A 12B 10C 8D 6 答案B m 2 0 m 2 0 n 4 0 解得m 2 n 4 当腰长为2时 三边长为2 2 4 不符合三边关系定理 当腰长为4时 三边长为2 4 4 符合三边关系定理 此时周长为2 4 4 10 故选B 2 2015苏州 7 3分 如图 在 ABC中 AB AC D为BC中点 BAD 35 则 C的度数为 A 35 B 45 C 55 D 60 答案C AB AC D为BC中点 CAD BAD 35 AD DC 在 ADC中 C 90 DAC 55 故选C 3 2014苏州 6 3分 如图 在 ABC中 点D在BC上 AB AD DC B 80 则 C的度数为 A 30 B 40 C 45 D 60 答案B因为AB AD 所以 B ADB 80 因为DC AD 所以 C CAD 又因为 ADB是 ACD的外角 所以 ADB C CAD 2 C 所以 C 40 故选B 4 2018淮安 13 3分 若一个等腰三角形的顶角等于50 则它的底角等于 答案65 解析 等腰三角形的顶角等于50 等腰三角形的底角相等 底角等于 180 50 65 故答案为65 5 2016镇江 12 2分 有一张等腰三角形纸片 AB AC 5 BC 3 小明将它沿虚线PQ剪开 得到 AQP和四边形BCPQ两张纸片 如图所示 且满足 BQP B 则下列五个数据 3 2 中可以作为长的有个 答案3 解析如图 当PQ过点C时 设BQ x BQC B A A BQC BCA 则 即 x 则AQ 5 0 AQ 五个数据中满足条件的有三个 分别为3 2 思路分析取特殊位置 利用三角形相似确定AQ的取值范围 从而确定满足条件的数据的个数 解题关键本题考查的知识点是三角形的相似 解题关键是找出临界位置AQ的长 6 2014苏州 15 3分 如图 在 ABC中 AB AC 5 BC 8 若 BPC BAC 则tan BPC 答案 解析过A作等腰 ABC底边BC上的高AD 垂足为D 则AD平分 BAC 且D为BC的中点 所以BD 4 根据勾股定理可求出AD 3 又因为 BPC BAC 所以 BPC BAD 所以tan BPC tan BAD 7 2018苏州 28 10分 如图 直线l表示一条东西走向的笔直公路 四边形ABCD是一块边长为100米的正方形草地 点A D在直线l上 小明从点A出发 沿公路l向西走了若干米后到达点E处 然后转身沿射线EB方向走到点F处 接着又改变方向沿射线FC方向走到公路l上的点G处 最后沿公路l回到点A处 设AE x米 其中x 0 GA y米 已知y与x之间的函数关系如图 所示 1 求图 中线段MN所在直线的函数表达式 2 试问小明从起点A出发直至最后回到点A处 所走过的路径 EFG 是否可以是一个等腰三角形 如果可以 求出相应x的值 如果不可以 说明理由 解析 1 设线段MN所在直线的函数表达式为y kx b k 0 M N两点的坐标分别为 30 230 100 300 解这个方程组 得 线段MN所在直线的函数表达式为y x 200 2 可以 第一种情况 考虑FE FG是否成立 连接EC AE x AD 100 GA x 200 ED GD x 100 又 CD EG CE CG CGE CEG FEG CGE FE FG 第二种情况 考虑FG EG是否成立 四边形ABCD是正方形 BC EG FBC FEG 假设FG EG成立 则FC BC亦成立 FC BC 100 AE x GA x 200 FG AE AG 2x 200 CG FG FC 2x 200 100 2x 100 在Rt CDG中 CD 100 GD x 100 CG 2x 100 且CD2 GD2 CG2 1002 x 100 2 2x 100 2 解这个方程 得x1 100 x2 x 0 x 则当x 时 FG EG 此时 EFG为等腰三角形 第三种情况 考虑EF EG是否成立 与 同理 假设EF EG成立 则FB BC亦成立 且BE EF FB 2x 200 100 2x 100 在Rt ABE中 AE x AB 100 BE 2x 100 且AB2 AE2 BE2 1002 x2 2x 100 2 解这个方程 得x1 0 x2 均不合题意 舍去 故EF EG 综上所述 当x 时 EFG是一个等腰三角形 解题关键本题考查了待定系数法求一次函数解析式 等腰三角形的性质 正方形的性质 勾股定理等知识 应用数形结合 分类讨论思想 根据勾股定理列出方程是解决问题的关键 8 2017徐州 25 8分 如图 已知AC BC 垂足为C AC 4 BC 3 将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60 得到线段AD 连接DC DB 1 线段DC 2 求线段DB的长度 解析 1 AC AD CAD 60 ACD是等边三角形 DC AC 4 考点2直角三角形 1 2018扬州 7 3分 在Rt ABC中 ACB 90 CD AB于D CE平分 ACD交AB于E 则下列结论一定成立的是 A BC ECB EC BEC BC BED AE EC 答案C ACB 90 CD AB ACD BCD 90 ACD A 90 BCD A CE平分 ACD ACE DCE 又 BEC A ACE BCE BCD DCE BEC BCE BC BE 故选C 思路分析根据同角的余角相等可得出 BCD A 根据角平分线的定义可得出 ACE DCE 再结合 BEC A ACE BCE BCD DCE即可得出 BEC BCE 利用等角对等边即可得出BC BE 此题得解 方法总结本题考查了三角形外角的性质 余角 角平分线的定义以及等腰三角形的判定 通过计算得到 BEC BCE是解题的关键 2 2016常州 7 2分 已知在 ABC中 BC 6 AC 3 CP AB 垂足为P 则CP的长可能是 A 2B 4C 5D 7 答案A如图 根据垂线段最短可得CP 3 故选A 3 2014扬州 7 3分 如图 已知 AOB 60 点P在边OA上 OP 12 点M N在边OB上 PM PN 若MN 2 则OM A 3B 4C 5D 6 答案C如图 过点P作PH MN 垂足为H 因为PM PN MN 2 所以MH MN 1 在Rt POH中 OP 12 POH 60 所以OH 6 所以OM OH MH 6 1 5 故选C 4 2018无锡 18 3分 如图 已知 XOY 60 点A在边OX上 OA 2 过点A作AC OY于点C 以AC为一边在 XOY内作等边三角形ABC 点P是 ABC围成的区域 包括各边 内的一点 过点P作PD OY交OX于点D 作PE OX交OY于点E 设OD a OE b 则a 2b的取值范围是 答案2 a 2b 5 解析过P作PH OY交OY于点H PD OY PE OX 四边形EODP是平行四边形 HEP XOY 60 EP OD a EPH 30 EH EP a a 2b 2 2 EH EO 2OH 当P在AC边上时 H与C重合 此时OH的值最小 最小值 OC OA 1 故a 2b的最小值是2 当P在点B处时 OH的值最大 最大值是1 故 a 2b 的最大值是5 2 a 2b 5 思路分析作辅助线 构建含30度角的直角三角形 先证明四边形EODP是平行四边形 得EP OD a 在Rt HEP中 EPH 30 可得EH的长 从而可得a 2b 2OH 确认OH取最大和最小值时点H的位置 可得结论 解后反思本题考查了等边三角形的性质 构造法 平行四边形的判定和性质 掌握a 2b的最值就是确认OH的范围 即可解决问题 5 2018盐城 16 3分 如图 在直角 ABC中 C 90 AC 6 BC 8 P Q分别为边BC AB上的两个动点 若要使 APQ是等腰三角形且 BPQ是直角三角形 则AQ 答案或 解析 如图1 当AQ PQ QPB 90 时 设AQ PQ x C 90 AC 6 BC 8 AB 10 PQ AC BPQ BCA x AQ 图1 如图2 当AQ PQ PQB 90 时 设AQ PQ y 图2易知 BQP BCA y 综上所述 满足条件的AQ的值为或 思路分析分两种情形分别求解 AQ PQ QPB 90 AQ PQ PQB 90 解题关键本题考查勾股定理 等腰三角形的性质 相似三角形的判定和性质等知识 解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题 学会利用参数构建方程解决问题 6 2017徐州 18 3分 如图 已知OB 1 以OB为直角边作等腰直角三角形A1BO 再以OA1为直角边作等腰直角三角形A2A1O 如此下去 则线段OAn的长度为 答案 n 解析 OBA1为等腰直角三角形 OB 1 A1B OB 1 OA1 OB OA1A2为等腰直角三角形 A1A2 OA1 OA2 OA1 2 OA2A3为等腰直角三角形 A2A3 OA2 2 OA3 OA2 2 OA3A4为等腰直角三角形 A3A4 OA3 2 OA4 OA3 4 OA4A5为等腰直角三角形 A4A5 OA4 4 OA5 OA4 4 OA5A6为等腰直角三角形 A5A6 OA5 4 OA6 OA5 8 线段OAn的长度为 n 解题关键此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理 熟练应用勾股定理找出规律是解题关键 7 2017徐州 17 3分 如图 矩形ABCD中 AB 4 AD 3 点Q在对角线AC上 且AQ AD 连接DQ并延长 与边BC交于点P 则线段AP 答案 解析在矩形ABCD中 AB 4 AD 3 BC AC 5 又 AQ AD 3 AD CP CQ 5 3 2 CQP AQD ADQ CPQ CP CQ 2 BP 3 2 1 在Rt ABP中 AP 8 2014无锡 15 2分 如图 ABC中 CD AB于D E是AC的中点 若AD 6 DE 5 则CD的长等于 答案8 解析 CD AB AE CE AC 2DE 10 则在Rt ADC中 CD 8 9 2017南京 22 8分 直角 在初中几何学习中无处不在 如图 已知 AOB 请仿照小丽的方式 再用两种不同的方法判断 AOB是不是直角 仅限用直尺和圆规 解析本题答案不唯一 下列解法供参考 解法一 如图 在OA OB上分别截取OC 4 OD 3 若CD 5 则 AOB 90 图 解法二 如图 在OA OB上分别取点C D 以CD为直径画圆 若点O在圆上 则 AOB 90 图 思路分析根据勾股定理的逆定理或直径所对的圆周角是直角画图即可 B组2014 2018年全国中考题组 考点1等腰三角形 1 2018福建 5 4分 如图 等边三角形ABC中 AD BC 垂足为D 点E在线段AD上 EBC 45 则 ACE等于 A 15 B 30 C 45 D 60 答案A由等边三角形ABC中 AD BC 垂足为点D 可得 ACB 60 且点D是BC的中点 所以AD垂直平分BC 所以EC EB 根据等边对等角 得到 ECB EBC 45 故 ACE ACB ECB 60 45 15 2 2017吉林 5 2分 如图 在 ABC中 以点B为圆心 以BA长为半径画弧交边BC于点D 连接AD 若 B 40 C 36 则 DAC的度数是 A 70 B 44 C 34 D 24 答案C由作图知BA BD BAD BDA 70 BDA C DAC DAC BDA C 34 故选C 3 2015吉林长春 6 3分 如图 在 ABC中 AB AC 过点A作AD BC 若 1 70 则 BAC的大小为 A 30 B 40 C 50 D 70 答案B AB AC B C AD BC C 1 70 B 70 BAC 40 故选B 4 2018天津 17 3分 如图 在边长为4的等边 ABC中 D E分别为AB BC的中点 EF AC于点F G为EF的中点 连接DG 则DG的长为 答案 思路分析连接DE 根据题意可得DE AC 又EF AC 可得到 FEC的度数 判断出 DEG是直角三角形 再根据勾股定理即可求解DG的长 疑难突破本题主要依据等边三角形的性质 勾股定理以及三角形中位线的性质求线段DG的长 DG与图中的线段无直接的关系 所以应根据条件连接DE 构造直角三角形 运用勾股定理求出DG的长 5 2017北京 19 5分 如图 在 ABC中 AB AC A 36 BD平分 ABC交AC于点D 求证 AD BC 证明 AB AC A 36 ABC C 72 BD平分 ABC ABD 36 ABD A AD BD BDC A ABD 72 BDC C BD BC AD BC 6 2017内蒙古呼和浩特 18 6分 如图 等腰三角形ABC中 BD CE分别是两腰上的中线 1 求证 BD CE 2 设BD与CE相交于点O 点M N分别为线段BO和CO的中点 当 ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等时 判断四边形DEMN的形状 无需说明理由 解析 1 证明 AB AC是等腰 ABC的两腰 AB AC BD CE是中线 AD AC AE AB AD AE 又 A A ABD ACE BD CE 2 四边形DEMN为正方形 提示 由MN DE分别是 OBC ABC的中位线可得四边形DEMN是平行四边形 由 1 知BD CE 故可证OE OD 从而四边形DEMN是矩形 再由 ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等可知四边形DEMN为正方形 7 2016北京 28 7分 在等边 ABC中 1 如图1 P Q是BC边上两点 AP AQ BAP 20 求 AQB的度数 2 点P Q是BC边上的两个动点 不与B C重合 点P在点Q的左侧 且AP AQ 点Q关于直线AC的对称点为M 连接AM PM 依题意将图2补全 小茹通过观察 实验 提出猜想 在点P Q运动的过程中 始终有PA PM 小茹把这个猜想与同学们进行交流 通过讨论 形成了证明该猜想的几种想法 想法1 要证PA PM 只需证 APM是等边三角形 想法2 在BA上取一点N 使得BN BP 要证PA PM 只需证 ANP PCM 想法3 将线段BP绕点B顺时针旋转60 得到线段BK 要证PA PM 只需证PA CK PM CK 解析 1 ABC为等边三角形 B 60 APC BAP B 80 AP AQ AQB APC 80 2 补全的图形如图所示 证法一 过点A作AH BC于点H 如图 由 ABC为等边三角形 AP AQ 可得 PAB QAC 点Q M关于直线AC对称 QAC MAC AQ AM PAB MAC AM AP PAM BAC 60 APM为等边三角形 PA PM 证法二 在BA上取一点N 使BN BP 连接PN CM 如图 由 ABC为等边三角形 可得 BNP为等边三角形 AN PC ANP 120 由AP AQ 可得 APB AQC 又 B ACB 60 ABP ACQ BP CQ 点Q M关于直线AC对称 ACM ACQ 60 CM CQ NP BP CQ CM PCM ACM ACQ 120 ANP PCM PA PM 证法三 将线段BP绕点B顺时针旋转60 得到BK 连接KP CK MC 如图 8 2014甘肃兰州 27 10分 给出定义 若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方 则称该四边形为勾股四边形 1 在你学过的特殊四边形中 写出两种勾股四边形的名称 2 如图 将 ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60 得到 DBE 连接AD DC CE 已知 DCB 30 求证 BCE是等边三角形 求证 DC2 BC2 AC2 即四边形ABCD是勾股四边形 解析 1 正方形 矩形 直角梯形 任选两个均可 2分 2 证明 ABC DBE BC BE 4分 CBE 60 BCE是等边三角形 5分 ABC DBE AC DE 6分 BCE是等边三角形 BC CE BCE 60 7分 DCB 30 DCE 90 8分 在Rt DCE中 DC2 CE2 DE2 DC2 BC2 AC2 9分 即四边形ABCD是勾股四边形 10分 评析本题考查勾股定理 全等三角形的性质 等边三角形的判定与性质 属中等难度题 解析 1 画图如下 任画其中两个即可 4分 2 如图 当AD AE时 2x x 30 30 x 20 6分 当AD DE时 30 30 2x x 180 x 40 7分 当AE DE时 不存在 不写不扣分 C的度数是20 或40 结论不写不扣分 3 如图 CD AE就是所求的三分线 设 B 那么 DCB DCA EAC ADE AED 2 8分 设AE AD a BD CD y AEC BDC a y 2 3 又 ACD ABC 2 a a y 2 10分 由 解得a y 即三分线长分别是和 12分 评析本题考查了学生的理解能力及动手 创新能力 知识方面重点考查三角形内角 外角间的关系及等腰三角形知识 是一道综合性比较强的题目 考点2直角三角形 1 2015北京 6 3分 如图 公路AC BC互相垂直 公路AB的中点M与点C被湖隔开 若测得AM的长为1 2km 则M C两点间的距离为 A 0 5kmB 0 6kmC 0 9kmD 1 2km 答案D AC BC M是AB的中点 MC AB AM 1 2km 故选D 2 2018福建 15 4分 把两个同样大小的含45 角的三角尺按如图所示的方式放置 其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A 且另三个锐角顶点B C D在同一直线上 若AB 则CD 答案 1 解析由题意知 ABC ADE均为等腰直角三角形 且AB AC AE ED 由勾股定理得BC AD 2 过A作AF BC于F 则FC AF 1 在Rt AFD中 由勾股定理得FD 故CD FD FC 1 3 2017河南 15 3分 如图 在Rt ABC中 A 90 AB AC BC 1 点M N分别是边BC AB上的动点 沿MN所在的直线折叠 B 使点B的对应点B 落在边AC上 若 MB C为直角三角形 则BM的长为 答案或1 解析在Rt ABC中 A 90 AB AC B C 45 1 当 MB C 90 时 B MC C 45 设BM x 则B M B C x 在Rt MB C中 由勾股定理得MC x x x 1 解得x 1 BM 1 2 如图 当 B MC 90 时 点B 与点A重合 此时BM B M BC 综上所述 BM的长为1或 4 2017山西 15 3分 一副三角板按如图方式摆放 得到 ABD和 BCD 其中 ADB BCD 90 A 60 CBD 45 E为AB的中点 过点E作EF CD于点F 若AD 4cm 则EF的长为cm 答案 解析如图 连接DE 过点E作EM BD于点M 设EF交BD于点N AD 4cm A 60 AB 8cm DB 4cm 点E为AB的中点 EM BD DE AB 4cm EM AD 2cm 由等腰直角三角形的性质可知 ENM FND 45 在Rt ENM中 EN EM 2cm MN EM 2cm DN DM MN DB MN 2 2 cm 在Rt DFN中 FN DN cm EF EN FN 2 cm 一题多解过点A作AG CD的延长线于点G CDB CBD 45 ADB 90 ADG 45 AG 2cm ABD 30 BD AD 4cm CBD 45 BC 2cm AG CG EF CG CB CG AG EF BC E是AB的中点 点F为CG的中点 EF AG BC 2 2 cm 5 2014江西 14 3分 在Rt ABC中 A 90 有一个锐角为60 BC 6 若点P在直线AC上 不与点A C重合 且 ABP 30 则CP的长为 答案2或4或6 解析图1中 ABC 60 BC 6 则AB 3 AC 3 又 ABP 30 则AP CP 2或CP 4 图2中 ACB 60 ABP 30 CBP是等边三角形 CP CB 6 图1图2综上 CP的长为2或4或6 解析 1 证明 由已知 在Rt BCD中 BCD 90 M为斜边BD的中点 CM BD 又DE AB 同理 EM BD CM EM 4分 2 由已知得 CBA 90 50 40 又由 1 知CM BM EM CME CMD DME 2 CBM EBM 2 CBA 2 40 80 EMF 180 CME 100 9分 3 证明 DAE CEM CME DEA 90 DE CM AE EM 又CM DM EM DM DE EM DEM是等边三角形 MEF DEF DEM 30 证法一 在Rt EMF中 EMF 90 MEF 30 又 NM CM EM AE FN FM NM EF AE AE EF AF 又 AFN EFM AFN EFM NAF MEF AN EM 14分 证法二 连接AM 则 EAM EMA MEF 15 AMC EMC EMA 75 又 CMD EMC EMD 30 且MC MD ACM 180 30 75 由 可知AC AM 又N为CM的中点 AN CM 又 EM CF AN EM 14分 思路分析 1 利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证 2 由直角三角形中两锐角互余求出 CBA 由等腰三角形的性质可得 MEB MBE MCB MBC 从而可得 CME DME CMD 2 CBM EBM 最后由补角性质求出 EMF 3 由 DAE CEM可推出 DEM为等边三角形 从而可得 MEF 30 下面证AN EM有两个思路 一是根据直角三角形30 角所对直角边等于斜边的一半可得 又点N是CM的中点 可推出 从而可证 AFN EFM 进一步即可证明AN EM 二是连接AM 计算可得 AMC ACM 而N是CM的中点 从而AN CM 进一步即可证明AN EM 7 2016北京 23 5分 如图 在四边形ABCD中 ABC 90 AC AD M N分别为AC CD的中点 连接BM MN BN 1 求证 BM MN 2 若 BAD 60 AC平分 BAD AC 2 求BN的长 解析 1 证明 在 ABC中 ABC 90 M为AC的中点 BM AC N为CD的中点 MN AD AC AD BM MN 2 BAD 60 AC平分 BAD BAC CAD 30 由BM AM 可得 BMC 2 BAC 60 由MN AD 可得 CMN CAD 30 BMN BMC CMN 90 AC AD 2 BM MN 1 在Rt BMN中 BN 8 2015重庆 25 12分 如图1 在 ABC中 ACB 90 BAC 60 点E是 BAC角平分线上一点 过点E作AE的垂线 过点A作AB的垂线 两垂线交于点D 连接DB 点F是BD的中点 DH AC 垂足为H 连接EF HF 1 如图1 若点H是AC的中点 AC 2 求AB BD的长 2 如图1 求证 HF EF 3 如图2 连接CF CE 猜想 CEF是不是等边三角形 若是 请证明 若不是 请说明理由 图1 图2 解析 1 点H是AC的中点 AC 2 AH AC 1分 ACB 90 BAC 60 ABC 30 AB 2AC 4 2分 DA AB DH AC DAB DHA 90 DAH 30 AD 2 3分 在Rt ADB中 DAB 90 BD2 AD2 AB2 BD 2 4分 2 证明 连接AF 如图1 图1 F是BD的中点 DAB 90 AF DF FDA FAD 5分 DE AE DEA 90 DHA 90 DAH 30 DH AD AE平分 BAC CAE BAC 30 DAE 60 ADE 30 AE AD AE DH 6分 FDA FAD HDA EAD 60 FDA HDA FAD EAD FDH FAE 7分 FDH FAE SAS FH FE 8分 3 CEF是等边三角形 9分 理由如下 取AB的中点G 连接FG CG 如图2 图2 F是BD的中点 FG DA FG DA FGA 180 DAG 90 又 AE AD AE FG 在Rt ABC中 ACB 90 点G为AB的中点 CG AG 又 CAB 60 GAC为等边三角形 10分 AC CG ACG AGC 60 FGC 30 FGC EAC FGC EAC SAS 11分 CF CE ACE GCF ECF ECG GCF ECG ACE ACG 60 CEF是等边三角形 12分 C组教师专用题组 考点1等腰三角形 1 2016河北 16 2分 如图 AOB 120 OP平分 AOB 且OP 2 若点M N分别在OA OB上 且 PMN为等边三角形 则满足上述条件的 PMN有 A 1个B 2个C 3个D 3个以上 答案D如图所示 过点P分别作OA OB的垂线 垂足分别为C D 连接CD 则 PCD为等边三角形 在OC DB上分别取M N 使CM DN 则 PCM PDN 所以 CPM DPN PM PN MPN 60 则 PMN为等边三角形 因为满足CM DN的M N有无数个 所以满足题意的三角形有无数个 2 2018辽宁沈阳 16 3分 如图 ABC是等边三角形 AB 点D是边BC上一点 点H是线段AD上一点 连接BH CH 当 BHD 60 AHC 90 时 DH 答案 解析延长AD至点E 使得HE BH 连接BE CE 疑难突破此类题型中 可根据等边三角形 60 这些条件 通过补全小等边三角形 构造全等三角形 从而实现线段的转化 3 2016徐州 14 3分 若等腰三角形的顶角为120 腰长为2cm 则它的底边长为cm 答案2 解析过点A作AD BC于点D AB AC BAD BAC 60 BD BC 在Rt ABD中 BD ABsin60 2 cm BC 2BD 2cm 4 2015浙江绍兴 13 5分 由于木质的衣架没有柔性 在挂置衣服的时候不太方便操作 小敏设计了一种衣架 在使用时能轻易收拢 然后套进衣服后松开即可 如图1 衣架杆OA OB 18cm 若衣架收拢时 AOB 60 如图2 则此时A B两点间的距离是cm 答案18 解析连接AB 因为OA OB 18cm AOB 60 所以 AOB是正三角形 故AB 18cm 5 2015福建龙岩 16 3分 我们把平面内与四边形各边端点构成的三角形都是等腰三角形的点叫做这个四边形的腰点 如矩形的对角线交点是矩形的一个腰点 则正方形的腰点共有个 答案9 解析如图 1 连接两条对角线 对角线的交点是正方形的一个腰点 2 分别以四个顶点为圆心 以正方形的边长为半径画圆 除顶点外 共有8个交点 这8个点也是腰点 综上 正方形共有9个腰点 评析本题中正方形的边可以是等腰三角形的腰 也可以是底边 属于中等难度题 解析 1 证明 CA CB BN AM CB BN CA AM 即CN CM BC AC MCB ACN CM CN BCM ACN BCM ACN MBC NAC EA ED EAD EDA AG BC GAC ACB 90 ADB DBC ADB NAC ADB EDA NAC EAD 180 90 90 BDE 90 2 或180 3 4或 详解 2 由E在直线AN上 可知 分两种情况讨论 如图1 E与N在点A异侧 可得 BDE 180 如图2 E与N在点A同侧 可得 BDE 图1 图2 3 由点N是BC边上的三等分点可知 分两种情况讨论 如图3 当CN MC BC 2时 由AD BC可得 ADM CBM AD 由EA ED得AN DF 又由 BCM ACN可得AN BM 过点A作AH BC于H 由勾股定理可得 AN 由 2 知 BDE 120 BDF 60 从而可得 BCM BDF BF CF BF BC 图3图4 如图4 当CN BC 时 与 同法可求得CF 4 思路分析 1 由 边角边 可证三角形全等 BDE EDA ADM 由等边对等角可得 EAD EDA 由 BCM ACN 可得 CBM CAN 由两直线平行 内错角相等 可得 ADM CBM DAM C 90 而 CAN EAD DAM 180 CAN EAD 90 BDE 90 2 分E与N在点A同侧和异侧两种情况讨论求解 3 N为BC的三等分点 分类讨论BN BC和BN BC两种情况 易错警示本题的易错点在于审题 第 2 问E在直线AN上 第 3 问点N是BC边上的三等分点 都需要分类讨论 7 2016泰州 21 10分 如图 ABC中 AB AC E在BA的延长线上 AD平分 CAE 1 求证 AD BC 2 过点C作CG AD于点F 交AE于点G 若AF 4 求BC的长 解析 1 证明 AD平分 CAE DAE CAE AB AC B ACB CAE B ACB B CAE B DAE AD BC 2 AD平分 CAE CAF GAF CG AD AFC AFG 90 在 AFC和 AFG中 AFC AFG ASA CF GF CG AD BC AGF BGC BC 2AF 2 4 8 8 2016安徽 23 14分 如图1 A B分别在射线OM ON上 且 MON为钝角 现以线段OA OB为斜边向 MON的外侧作等腰直角三角形 分别是 OAP OBQ 点C D E分别是OA OB AB的中点 1 求证 PCE EDQ 2 延长PC QD交于点R 如图2 若 MON 150 求证 ABR为等边三角形 如图3 若 ARB PEQ 求 MON的大小和的值 解析 1 证明 点C D E分别是OA OB AB的中点 DE OC CE OD 四边形ODEC为平行四边形 OCE ODE 又 OAP OBQ都是等腰直角三角形 PCO QDO 90 PCE PCO OCE QDO ODE EDQ 又 PC AO CO ED CE OD OB DQ PCE EDQ 5分 2 证明 如图 连接OR PR与QR分别为线段OA与OB的中垂线 AR OR BR ARC ORC ORD BRD 在四边形OCRD中 OCR ODR 90 MON 150 CRD 30 ARB ARO BRO 2 CRO 2 ORD 2 CRD 60 ABR为等边三角形 9分 如图 由 1 知EQ PE DEQ CPE 又 AO ED CED ACE PEQ CED CEP DEQ ACE CEP CPE ACE RCE ACR 90 即 PEQ为等腰直角三角形 由于 ARB PEQ 所以 ARB 90 于是在四边形OCRD中 OCR ODR 90 CRD ARB 45 MON 135 此时P O B在一条直线上 PAB为直角三角形且 APB为直角 所以AB 2PE 2 PQ PQ 则 14分 9 2015北京 20 5分 如图 在 ABC中 AB AC AD是BC边上的中线 BE AC于点E 求证 CBE BAD 证明 AB AC AD是BC边上的中线 AD BC BAD CAD BE AC BEC ADC 90 CBE 90 C CAD 90 C CBE CAD CBE BAD 10 2014浙江杭州 18 8分 在 ABC中 AB AC 点E F分别在AB AC上 AE AF BF与CE相交于点P 求证 PB PC 并直接写出图中其他相等的线段 解析证明 在 AFB和 AEC中 AF AE A为公共角 AB AC 所以 AFB AEC 所以 ABF ACE 因为AB AC 所以 ABC ACB 所以 PBC PCB 所以PB PC 其余相等的线段有 BF CE PE PF BE CF 考点2直角三角形 1 2018内蒙古包头 12 3分 如图 在四边形ABCD中 BD平分 ABC BAD BDC 90 E为BC的中点 AE与BD相交于点F 若BC 4 CBD 30 则DF的长为 A B C D 答案D如图 连接DE BD平分 ABC CBD 30 1 2 30 在Rt BCD中 BD BC cos30 2 在Rt ABD中 AB BD cos30 3 E为BC的中点 ED BE 2 3 2 1 DE AB AFB EFD 即 DF 故选D 思路分析根据题意得 在Rt ABD和Rt BCD中 ABD CBD 30 由BC 4 求得BD 2 进而求得AB 3 由E是BC的中点 得ED BE 进而可得DE AB 所以 AFB EFD 进而求出DF的长 解题关键本题考查了含30 角的直角三角形的性质 三角形相似的判定和性质 解答本题的关键是作出Rt BCD斜边上的中线 2 2015山东聊城 15 3分 如图 在 ABC中 C 90 A 30 BD是 ABC的平分线 若AB 6 则点D到AB的距离是 答案 解析 C 90 A 30 AB 6 ABC 60 BC 3 BD平分 ABC CBD ABC 30 点D到AB的距离等于DC 在Rt BDC中 DC tan DBC BC 3 点D到AB的距离等于 3 2016镇江 26 7分 如果三角形三边的长a b c满足 b 那么我们就把这样的三角形叫做 匀称三角形 如 三边长分别为1 1 1或3 5 7 的三角形都是 匀称三角形 1 如图1 已知两条线段的长分别为a c a c 用直尺和圆规作一个最短边 最长边的长分别为a c的 匀称三角形 不写作法 保留作图痕迹 2 如图2 ABC中 AB AC 以AB为直径的 O交BC于点D 过点D作 O的切线交AB延长线于点E 交AC于点F 若 判断 AEF是不是 匀称三角形 请说明理由 解析 1 作图 作法一 解题关键本题是一道阅读理解类型的作图题 考查的知识点有三角形全等 勾股定理以及尺规作图等 解决本题的关键是正确作出辅助线 找出全等和相似三角形 从而根据题目中的定义解决问题 A组2016 2018年模拟 基础题组 三年模拟 考点1等腰三角形 1 2017连云港一模 7 如图 在平面直角坐标系中 点B C在y轴上 ABC是等边三角形 AB 4 AC与x轴的交点D为AC边的中点 则点D的坐标为 A 1 0 B 2 0 C 2 0 D 0 答案D过点A作AE OB 如图 点B C在y轴上 ABC是等边三角形 AB 4 AE 2 OD AE D为边AC的中点 O为CE的中点 OD D 0 故选D 2 2016苏州模拟 如图 在四边形ABCD中 A C 45 ADB ABC 105 1 若AD 2 求AB的长 2 若AB CD 2 2 求AB的长 解析 1 过点D作DE AB于点E 过点B作BF CD于点F A C 45 ADB ABC 105 ADC 360 A C ABC 360 45 45 105 165 BDF ADC ADB 165 105 60 DBF 30 A 45 DEA 90 EDA 45 A EDA AE DE ADE为等腰直角三角形 又 AD 2 AE DE C 45 BFC 90 FBC 45 ABD ABC CBF DBF 105 45 30 30 BE AB AE BE 2 设DE x 则AE x BE x BD 2x 由 1 可知 在Rt BDF中 DBF 30 DF BD x BF x CF x AB AE BE x x CD DF CF x x AB CD 2x 2x 2 2 x 1 AB 1 考点2直角三角形 1 2018苏州高新模拟 10 如图 ABC中 BAC 90 AB 5 AC 12 点D是BC的中点 将 ABD沿AD翻折得到 AED 连接CE 则线段CE的长等于 A B 9C D 答案D如图 连接BE交AD于O 作AH BC于H 在Rt ABC中 AC 12 AB 5 BC 13 CD DB AD DC DB 6 5 BC AH AB AC AH AE AB BO EO AD垂直平分线段BE DE DB DC BCE是直角三角形 AD BO BD AH OB BE 2OB 在Rt BCE中 EC 故选D 解题关键本题考查翻折变换 直角三角形的斜边中线的性质 勾股定理等知识 解题的关键是学会利用面积法求高 属于中考常考题型 2 2018南通通州一模 16 如图 在Rt ABC中 C 90 点D是线段AB的中点 点E是线段BC上的一个动点 若AC 6 BC 8 则DE长度的取值范围是 答案3 DE 5 解析在Rt ABC中 C 90 AC 6 BC 8 AB 10 当DE BC时 DE AC 3 此时DE取得最小值 当点E与点C重合时 DE DC AB 5 此时DE取得最大值 3 DE 5 解题关键本题考查直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质及三角形中位线的性质 找到端点值是解决此问题的关键 3 2018镇江一模 11 在Rt ABC中 AD是BC边上的中线 G是 ABC的重心 如果BC 6 那么线段AG的长为 答案2 解析 AD是斜边BC边上的中线 AD BC 6 3 G是 ABC的重心 2 AG AD 3 2 考查要点本题考查了三角形的重心的定义及性质 三角形的重心是三角形三边中线的交点 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2 1 也考查了直角三角形斜边上的中线的性质 B组2016 2018年模拟 提升题组 时间 8分钟分值 10分 一 填空题 共3分 1 2017南京一模 13 如图 在 ABC中 AD DB BC 若 C n 则 ABC 度 用含n的代数式表示 答案 解析 C n DB BC BDC C n DBC 180 2n AD DB ABD n ABC 180 2n n 二 解答题 共7分 2 2018南京鼓楼一模 24 如图 ABC中 AD BC 垂足是D 小莉说 当AB BD AC CD时 ABC是等腰三角形 她的说法正确吗 如果正确 请证明 如果不正确 请举反例说明 解析小莉说法正确 证明 如图 延长CB至E 使AB EB 延长BC至F 使AC FC 连接AE AF 则 E EAB F FAC AB BD AC CD DE DF AD BC ADE ADF 90 DE DF ADE ADF 90 AD AD ADE ADF SAS E F E EAB F FAC ABC ACB AB AC ABC是等腰三角形 解题关键本题考查了全等三角形的判定及性质 等腰三角形的判定等知识 添加构造全等三角形的辅助线是解决问题的关键