三角恒等变换教案.doc

三角恒等变换教案 适用学科 高中数学 适用年级 高中一年级 适用区域 全国通用 课时时长（分钟） 60 知识点 两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，辅助角公式 教学目标 理解并掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，辅助角公式，体会三角恒等变换在数学中的应用 教学重点 1. 二倍角公式的推导。 2. 三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点. 教学难点 认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力. 教学过程 一、课堂导入 思路1.我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换： 代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换.前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换，本 节将综合运用和（差）角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换. 思路2.三角函数的化简、求值、证明，都离不开三角恒等变换.学习了和角公式，差角公式，倍角公式以后，我们就有 了进行三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富和灵活，同时也为培养和提高我们的推理、 运算、实践能力提供了广阔的空间和发展的平台.对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差 异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的 各个角之间的联系,并以此为依据选择可以联系它们的适当公式,这是三角式恒等变换的重要特点. 二、复习预习 复习三角函数值的计算及诱导公式（一）-（六）。 ， ， （公式一） ， ， （公式二） ， ， （公式三） ， ， （公式四） （公式五） （公式六） 三、知识讲解 考点1两角和的正弦、余弦、正切公式 ⑴；⑵； ⑶；⑷； ⑸ （）； ⑹ （）． 考点2二倍角的正弦、余弦、正切公式 ⑴． ⑵ 升幂公式 降幂公式，． ⑶． 考点3 辅助角公式 把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 形式。，其中． 四、例题精析 考点一 两角和的正弦、余弦、正切公式 例1已知α(，)，β(0，),(α－)＝，sin(＋β)＝，求sin(α＋β)的值． 【规范解答】 ∵α－＋＋β＝α＋β＋，α∈() β∈(0,) ∴α－∈(0,) β＋∈(,π)∴sin(α－)＝ cos()＝－ ∴sin(α＋β)＝－cos[＋(α＋β)]＝－cos[(α－)＋()]＝ 【总结与反思】这道题主要考察了诱导公式及两角和的余弦公式，先通过诱导公式的变形然后带入余弦公式即可。 例2计算sin 68sin 67－sin 23cos 68的值为(　　)． A．－ B. C. D．1 【规范解答】原式＝sin 68cos 23－cos 68sin 23＝sin(68－23)＝sin 45＝. 【总结与反思】本题考察了两角差的正弦公式，带入公式即可。 考点二 二倍角公式的应用 例3化简 【规范解答】切化弦，合理使用倍角公式．原式＝ ＝＝＝cos 2x. 【总结与反思】 三角函数式的化简要遵循“三看”原则： (1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式； (2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”； (3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等． 例4 化简：.  【规范解答】原式＝ ＝ ＝＝＝tan. 【总结与反思】三角函数式的化简要遵循“三看”原则： (1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式； (2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”； (3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等． 考点三 辅助角公式的应用 例5 已知函数f(x)＝2cos 2x＋sin2x. (1)求的值； 2)求f(x)的最大值和最小值． 【规范解答】先化简函数y＝f(x)，再利用三角函数的性质求解． (1)＝2cos＋sin2 ＝－1＋＝－. (2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x) ＝3cos2x－1，x∈R. ∵cos x∈[－1,1]， ∴当cos x＝1时，f(x)取最大值2； 当cos x＝0时，f(x)取最小值－1. 【总结与反思】 高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中．需要利用这些公式，先把函数解析式化为y＝A sin(ωx＋φ)的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质． 课程小结 1.本节课主要是三角恒等变换的应用，通过三角恒等变形,把形如y=a sin x+b cos x的函数转化为形如y=A sin(ωx+φ)的函数,从而能顺利考查函数的若干性质,达到解决问题的目的.在教学中教师要强调：分析、研究三角函数的性质，是三角函数的重要内容.如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变换，将三角函数的解析式变形化简，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质.因此，三角恒等变换是求解三角函数问题的一个基本步骤.但需注意的是，在三角恒等变换过程中，由于消项、约分、合并等原因，函数的定义域往往会发生一些变化，从而导致变形化简后的三角函数与原三角函数不等价.因此，在对三角函数式进行三角恒等变换后，还要确定原三角函数的定义域，并在这个定义域内分析其性质. 2.在三角恒等变化中，首先是掌握利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此导出角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式和积化差、和差化积及半角公式，以此作为基本训练.其次要搞清楚各公式之间的内在联系，自己画出知识结构图.第三就是在三角恒等变换中，要结合第一章的三角函数关系、诱导公式等基础知识，对三角知识有整体的把握. 3.今后高考对三角变换的考查估计仍以考查求值为主.和、差、倍、半角的三角函数公式、同角关系的运用仍然是重点考查的地方，应该引起足够重视，特别是对角的范围的讨论，从而确定符号.另外，在三角形中的三角变换问题，以及平面向量为模型的三角变换问题将是高考的热点.