高考总复习一轮《名师一号-数学》第8讲.ppt

第八讲函数的奇偶性与周期性 1 如果对于定义域内每一个x 都有f x f x 那么函数f x 就叫奇函数 都有f x f x 函数f x 叫偶函数 奇偶函数的定义域关于原点对称 大前提 3 基本性质 在公共定义域上 两函数有 奇 奇 奇 偶 偶 偶 奇 奇 偶 偶 偶 偶 奇 奇 偶 偶 偶 偶 分母不为零 奇函数的反函数是奇函数 奇函数的定义域包含0 则F 0 0 4 图象特征 奇函数图象关于原点对称 偶函数图象关于Y轴对称 反之亦然 5 判定方法 首先看函数的定义域是否关于原点对称 若对称 再看 2 1 对于函数f x 如果存在一个非零常数T 使得当x取定义域内的每一个值时 都有f x T f x 那么函数f x 叫做周期函数 非零常数T叫f x 的周期 如果所有的周期中存在一个最小的正数 那么这个最小正数就叫f x 的最小正周期 2 周期函数不一定有最小正周期 若T 0是f x 的周期 则kT k Z k 0 也一定是f x 的周期 周期函数的定义域无上 下界 考点陪练1 对任意实数x 下列函数中的奇函数是 A y 2x 3B y 3x2C y ln5xD y x cosx解析 若f x ln5x 则f x ln5 x ln 5x 1 ln5x f x 函数y ln5x为奇函数 答案 C 答案 B 答案 A 4 已知f x 是定义在R上的偶函数 对任意x R 都有f x 4 f x f 2 若f 1 2 则f 2007 f 2009 等于 A 2009B 2C 2008D 4解析 令x 1 有f 1 4 f 1 f 2 即f 3 2 f 2 再令x 3 有f 3 4 f 3 f 2 即f 3 f 2 2 这样可得f 3 2 f 2 0 这样f x 4 f x 周期为4 从而f 2007 f 2009 f 3 f 1 2 2 4 故选D 答案 D 5 定义在R上的函数y f x 具有下列性质 f x f x 0 f x 1 f x 1 y f x 在 0 1 上为增函数 则对于下述命题 y f x 为周期函数且最小正周期为4 y f x 的图象关于y轴对称且对称轴只有1条 y f x 在 3 4 上为减函数 正确命题的个数为 A 0B 1C 2D 3 答案 B 类型一判断函数的奇偶性解题准备 1 定义法 1 求定义域 看定义域是否关于原点对称 2 判断f x 与f x 的关系 3 依据定义下结论 若f x f x 则函数是奇函数 若f x f x 则函数是偶函数 若f x f x 且f x f x 则f x 既是奇函数又是偶函数 若f x f x 且f x f x 则f x 既不是奇函数 也不是偶函数 2 定义等价形式判断 1 若f x f x 0 则f x 为奇函数 2 若f x f x 0 则f x 为偶函数 此种解法适合对数形式函数的判断 3 图象法 如图所示 如果一个函数是奇函数 则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形 反之 如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形 则这个函数是奇函数 如图 如果一个函数是偶函数 则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形 反之 如果一个函数的图象关于y轴对称 则这个函数是偶函数 类型二函数的周期解题准备 1 周期函数 对于函数y f x 如果存在一个常数T 0 使得当x取定义域内的每一值时 都有f x T f x 成立 那么函数y f x 叫周期函数 非零常数T叫做f x 的周期 2 最小正周期 周期函数的周期可以不止一个 如果在所有的周期中存在着一个最小正数 则称这个最小正数为该函数的最小正周期 3 设m是非零常数 若对于函数f x 定义域中的任意x 恒有下列条件之一成立 1 f x m f x 点评 应注意应用奇偶性和周期性的定义 类型三抽象函数的奇偶性与周期性的综合解题准备 1 f x 是偶函数且关于直线x a对称 则T 2 a 2 f x 是奇函数且关于直线x a对称 则T 4 a 证明 1 令x y 0 则有2f 0 2 f 0 2 f 0 0 f 0 1 2 令x 0 则有f y f y 2f 0 f y 2f y f y f y 这说明f x 为偶函数 类型四抽象函数的奇偶性与单调性的综合解题准备 1 讨论函数的单调性和奇偶性时 应先确定函数的定义域 2 奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性 偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性 3 将函数的奇偶性和单调性综合运用是考查函数性质的重要题型 典例4 函数f x 的定义域为D x x 0 且满足对于任意的x1 x2 D 有f x1 x2 f x1 f x2 1 求f 1 的值 2 判断f x 的奇偶性并证明 3 如果f 4 1 f 3x 1 f 2x 6 3 且f x 在 0 上是增函数 求x的取值范围 解析 1 令x1 x2 1 有f 1 1 f 1 f 1 解得f 1 0 2 f x 为偶函数 证明如下 令x1 x2 1 有f 1 1 f 1 f 1 解得f 1 0 令x1 1 x2 x 有f x f 1 f x f x f x f x 为偶函数 3 f 4 4 f 4 f 4 2 f 16 4 f 16 f 4 3 f 3x 1 f 2x 6 3 即f 3x 1 2x 6 f 64 f x 在 0 上是增函数 且f x 是偶函数 f x 在 0 上是减函数 快速解题技法设f x 是定义在R上的偶函数 它的图象关于直线x 2对称 已知x 2 2 时 f x x2 1 则x 6 2 时 f x 的解析式是 快解 当x 2 2 时 f x x2 1 如图所示 由f x 的图象关于直线x 2对称 得f x f 4 x 又由f x 是R上的偶函数 得f x f 4 x f x 知其周期为4 故知x 6 2 时 只需将f x x2 1的图象左移4个单位 即得f x x 4 2 1 名师作业 练全能 点击进入word