评价NBA球员能力和薪资关系的数学模型.doc

评价NBA球员能力和薪资关系的数学模型摘要根据贝利提供的理论，一名NBA球员所得到的薪酬和他们在场上得多少分有直接关系，不过这并不是唯一需要考虑的因素，因为这和是否能够帮助球队带来胜利、在场上的投篮出手数、失误数、篮板数以及犯规数也有着关联。为了探讨球员能力和薪资的关系，本文主要运用多元分析中的主成分分析法和因子分析法，借助于SPSS软件对数据进行分析，首先从衡量球员技术水平的得分、助攻、投篮命中率等10项指标出发，得出各指标与公因子的表达式。用因子分析法对2011-2012赛季的8个球队现役球员的综合能力进行评估分析，得到球员能力的综合指标模型，算出每个球员的综合得分。最后，我们将球员所得薪资与个人能力进行二次非线性回归，用MATLAB软件拟合出两者之间的函数关系。将算得的应得值与实际所得值进行比较分析，得出检测值之间的误差，然后给出相关的合理解释。关键词：因子分析法、综合能力指标、回归分析1、 问题提出 科比、斯塔德迈尔、德克-诺维茨基等球员是NBA联盟里闪耀的球星，他们能够拿到动辄几千万的年薪也是无可厚非的事情。不过近日南犹他大学的经济学教授大卫-贝利在进行的一项统计中，得出科比、小斯、诺维茨基等人实际上属于高薪低能的表现。他们的所得和所起到的表现并不能成为正比。 大卫-贝利对球员是否高薪低能的事情早有研究，为此他有着一套缜密的计算公式，而早在2006年的时候，他还和同伴一起撰写过一本名为“胜利的工资”的著作，在这本书中，贝利阐释了计算一名球员是否高薪低能的公式，这个公式被称之为“胜利产值”。根据贝利提供的理论，一名球员所得到的薪酬和他们在场上得多少分有直接关系，不过这并不是唯一需要考虑的因素，因为这和是否能够帮助球队带来胜利、在场上的投篮出手数、失误数、篮板数以及犯规数也有着关联。 综合种种数据，经过测算，才会得出最终的“胜利产值”，以决定这名球员是否是高薪低能。在近日贝利给美媒体的一封邮件中，他表示：“在球场上，一支球队若想获得胜利，他们对球权的控制能力是关键，他们需要将这些球权转化为得分。而在2011-12赛季中，总共要为990场常规赛的胜利支付19亿美元，这意味着每场常规赛胜利合194.6万美元，根据每场胜利的花费和一名球员的获胜场数以及他的工资，就可以计算出他的性价比是否合格。”而令人感到意外的是，在贝利计算出的十大性价比低下的榜单上，竟然出现了科比、小斯、诺维茨基等人的名字，而且科比还位列这份榜单的第二位。 请收集球员的表现数据，建立数学模型，合理评价球员的能力和薪资关系。2、 问题分析 球员的薪资高低是受个人能力、上场时间、球场经验、巨星效应等很多因素影响的，其中球员个人能力是评判一个球员薪资的一个最重要的指标。球员能力是由得分、篮板、助攻、抢断、盖帽等因素所决定。本文针对这一情况，建立了评价NBA球员能力和薪资关系的数学模型。首先，我们采用因子分析法，求得球员能力的综合得分，然后根据球员实际所得薪资与球员能力进行回归分析，得到拟合后的函数关系。最后我们对一个球员是否高薪低能进行了评判，模型的合理性得到了验证。3、 模型假设1. 假设收集的球员数据均真实可靠；2. 假设球员所得的薪资跟所在的球队的战绩无关；3. 假设支球队支付给球员的薪资不会超过联盟规定的工资帽。4、 符号说明及概念引入：第个球员实际应得的薪资；：第个球员的个人能力；：第个指标的个能力贡献；：第个公因子；：第个外因子；：第个因子的方差值5、 模型的建立与求解5.1 基于球员综合能力的模型：模块 针对球员能力与得分、篮板、助攻、盖帽、抢断、失误等十项个人数据，我们采用因子分析法对其进行分析。考虑到球队众多，且每支球队人员组成差别不大，故我们选取题中提到的十名球员所在的支球队进行分析，下面以篮网队为例，求出球员综合能力指标。在中进行因子分析的步骤如下：为了确定本题中采用的因子分析适用性，我们采用了KMO和球形Bartlett检验。KMO检验球员指标间的偏相关是否较小，Bartlett球形检验是判断相关矩阵是否是单位阵，参见图5-1。图5-1KMO 和 Bartlett 的检验取样足够度的 Kaiser-Meyer-Olkin 度量。.797Bartlett 的球形度检验近似卡方266.476df45Sig.000由Bartlett检验可以看出，球员指标间具有较强的相关性，而且KMO的统计量为0.797，大于0.7，说明各指标间信息的重叠程度还是比较高的。 由图5-2所示的公因子方差可知：提取的各个公因子几乎都在80%以上，因此提取出的这几个公因子对各变量的解释能力是较强的。即提取的各指标对球员综合能力的评价程度较高。图5-2公因子方差初始提取得分1.000.943篮板1.000.978助攻1.000.911抢断1.000.883盖帽1.000.937投篮命中率1.000.816罚球命中率1.000.795失误数1.000.953出场次数1.000.763出场时间（分钟）1.000.969提取方法：主成份分析。 由下图可知，输出的结果，只有前三个特征根大于1，前三个因子的方差贡献率为，因此选前三个因子已足够描述球员的综合能力水平。 图5-3解释的总方差成份初始特征值提取平方和载入旋转平方和载入合计方差的 %累积 %合计方差的 %累积 %合计方差的 %累积 %16.41964.18664.1866.41964.18664.1864.17141.70541.70521.36213.62077.8061.36213.62077.8063.17731.76873.47431.16711.67589.4811.16711.67589.4811.60116.00789.4814.4924.91894.3995.3283.28397.6826.1111.11598.7967.089.88799.6838.015.14899.8319.011.10999.94010.006.060100.000提取方法：主成份分析。碎石图也进一步显示各因子的重要程度，参见图5-4。可见前三个因子的散点位于陡坡之上，而后七个因子散点成了平台，且特征根均小于1，因此至多考虑前三个公因子即可。图5-4如下图5-5，表示各因子对各球员指标变量的影响度。图5-5成份矩阵a成份123出场时间（分钟）.979-.058-.083得分.947-.161.143抢断.927-.153-.012失误数.925-.241.197出场次数.867-.009-.105篮板.817.252-.497盖帽.765.312-.505助攻.732-.456.408投篮命中率.298.795.309罚球命中率.466.501.572提取方法 :主成份。a. 已提取了 3 个成份。球员各个指标能力模型如下： 在表达式中各指标标准化后的变量。表示特殊因子，是除了这3个公因子之外影响该变量的其他因素。原来设计了10个指标来表示球员综合能力水平，但是经过因子分析后，只需要三个因子即可描述影响球员综合能力水平状况。本例中采用的是方差最大正交旋转法进行因子旋转，进行方差最大旋转后，旋转后的因子载荷矩阵如图5-6所示图5-6旋转成份矩阵a成份123助攻.953.011.043失误数.899.351.144得分.852.429.182抢断.769.531.098出场时间（分钟）.730.644.146出场次数.611.607.146篮板.278.941.122盖帽.204.934.153投篮命中率-.061.213.876罚球命中率.325.033.829提取方法 :主成份。 旋转法 :具有 Kaiser 标准化的正交旋转法。a. 旋转在 5 次迭代后收敛。由图可以看出，第一公因子在、有较大的载荷，主要从得分、助攻、抢断、失误、出场次数和出场时间反映球员进攻能力，可以命名为进攻因子。第二公因子在、上有较大载荷，从篮板和盖帽方面反映球员防守能力，因此命名为防守因子。第三公因子在、上有较大载荷，表现为投篮命中率和罚球命中率，因此命名为稳定因子。与实际情况大致符合，各公因子的意义比较合理。因子得分：公因子的得分系数函数不能通过矩阵变换的方法由因子载荷阵得到，只能采用估计的方法求得，本例采用的是回归法，将公因子表达为各变量的线性形式。因子得分系数矩阵如图5-7所示图5-7成份得分系数矩阵成份123得分.222-.035.010篮板-.176.444-.059助攻.403-.288-.043抢断.162.061-.060盖帽-.207.458-.030投篮命中率-.159.023.622罚球命中率.066-.192.582失误数.269-.089-.011出场次数.068.146-.022出场时间（分钟）.107.132-.037提取方法 :主成份。 旋转法 :具有 Kaiser 标准化的正交旋转法。 构成得分。可以直接写出各公因子的得分模型：SPSS已经给出三个公因子的得分，保存在fac_1fac_3中，按各因子对应的方差贡献率为权数计算如下综合统计量： 在SPSS中用程序计算综合因子得分模型：篮网 根据以上原理，类似的，我们可求得以下七支球队的综合因子得分模型：小牛奇才湖人尼克斯山猫黄蜂由以上模型可分别算出各个球队每名的综合得分，小牛2011-2012球员综合得分德克-诺维茨基1.1223杰森-特里0.7747肖恩-马里昂0.9071文斯-卡特0.3941罗德里格-布博瓦0.1615德隆特-韦斯特0.0351伊恩-马辛米0.1652布兰登-莱特0.0776拉玛尔-奥多姆-0.2828杰森-基德0.2294布兰登-海伍德0.1402多米尼克-琼斯-0.8356易建联-1.0329布莱恩-卡迪纳尔-1.0773肖恩-威廉姆斯-0.7785尼克斯2011-2012球员卡梅罗-安东尼1.3854阿玛雷-斯塔德迈尔0.5483泰森-钱德勒0.7491兰德里-菲尔德斯0.5335伊曼-山姆珀特0.9029林书豪0.5811史蒂夫-诺瓦克-0.1094J.R.-史密斯-0.1369托尼-道格拉斯-0.1157比尔-沃克-0.3354拜伦-戴维斯-0.317贾里德-杰弗里斯-0.5309约什-哈雷尔森-0.8037迈克-毕比-0.5469雷纳多-巴尔克曼-1.0246杰罗姆-乔丹-0.7798篮网2011-2012球员德隆-威廉姆斯2.2141克里斯-亨弗里斯0.3811杰拉德-华莱士0.9451安东尼-莫罗0.6158马肖恩-布鲁克斯0.7717乔丹-法玛尔0.3922杰拉德-格林-0.0384桑迪亚塔-盖恩斯0.3331谢尔顿-威廉姆斯-0.024乔翰-佩特罗-0.081乔丹-威廉姆斯-0.3571德肖恩-史蒂文森-0.1736布鲁克-洛佩斯-0.6172阿尔蒙-约翰逊-0.4665达米昂-詹姆斯-0.5571基斯-博甘斯-0.7086拉里-欧文斯-0.5663安德烈-埃梅特-0.6881杰里-史密斯-0.8337丹尼斯-霍纳-0.5414湖人2011-2012球员科比-布莱恩特1.427保罗-加索尔0.8194安德鲁-拜纳姆0.3591雷蒙-塞申斯0.9071慈世平0.5808马特-巴恩斯0.1795史蒂夫-布雷克0.2297乔丹-希尔-0.6797特洛伊-墨菲-0.395安德鲁-高德洛克-0.6449约什-麦克罗伯茨-0.5023德文-伊班克斯-0.6898达柳斯-莫里斯-0.873克里斯蒂安-艾恩加-0.7179奇才队2011-2012球员约翰-沃尔 1.9156乔丹-克劳福德 0.852凯文-塞拉芬 0.4557特雷沃-布克 0.4106克里斯-辛历顿 0.363简-维塞利 0.1808Shelvin-马克 -0.0336安德雷-布拉切 -0.2703拉沙德-刘易斯 -0.1951内内-希拉里奥-0.4715卡地亚-马丁 -0.6176莫里斯-埃文斯 -0.5413詹姆斯-辛历顿 -0.3717布莱恩-库克 -0.61莫里斯-阿尔蒙德 -1.0665黄蜂队2011-2012球员马可-贝里内利 0.5903杰瑞特-杰克 0.5323克里斯-卡曼 1.0927格雷维斯-瓦斯奎兹 0.9137卡尔-兰德里 0.0247特雷沃-阿里扎 0.4464艾尔-法鲁克-阿米奴 0.7622贾森-史密斯 0.0607Gustavo-Ayon 0.4779埃梅卡-奥卡福 -0.2604泽维尔-亨利 -0.492埃里克-戈登 -1.0371兰斯-托马斯 -0.5877杰罗米-戴森 -1.2186达瑞尔-沃特金斯 -1.305山猫队2011-2012球员杰拉德-亨德森 1.06肯巴-沃克 1.549拜伦-穆伦斯 0.4116D.J.-奥古斯汀 1.0503德里克-布朗 0.5322科里-马盖蒂 0.037DJ-怀特 -0.0638俾斯麦-毕永博 -0.1248泰鲁斯-托马斯 -0.0267雷杰-威廉姆斯 -0.2946科里-希金斯 -0.6511马特-卡罗尔 -0.4525埃东多-纳胡拉 -0.9532德萨盖纳-迪奥普 -1.1928贾马里奥-穆恩 -1.0167骑士队2011-2012球员安托万-贾米森 0.923凯里-欧文 1.9254阿隆佐-基 1.2076特里斯坦-汤普森 -0.3257欧米-卡西比 0.2732安东尼-帕克 0.4162斯玛多-赛缪尔斯 -0.2537安德森-瓦莱乔 -0.2844丹尼尔-吉布森 0.1272曼尼-哈里斯 -0.3824唐纳德-斯隆 0.0213赛米-埃尔登 -0.81卢克-哈兰高迪 -0.6219卢克-沃顿 -0.9341D.J.-肯尼迪 -1.28185.2基于球员所得薪资与球员能力的模块：模块经分析可知，球员所得薪资的高低跟球员自身的综合能力是密不可分的，通过对已掌握的数据分析，我们建立了薪资与综合能力之间的回归模型（具体数值见附录）。同样的，我们以篮网队为例，通过MATLAB函数进行二次拟合得到：即 其中， p1 = 1.499e+006 置信区间为 (2.044e+005, 2.794e+006) p2 = 3.201e+006 置信区间为(1.361e+006, 5.041e+006) p3 = 2.026e+006 置信区间为(8.46e+005, 3.207e+006) R-square: 0.7829 Adjusted R-square: 0.7574由于在赛场上，很多球员难免会受到伤病的困扰，影响他们的上场时间，得分，篮板等能力，这也直接导致了他们的综合能力偏低，然而这并不会影响他们在本赛季的薪资，故我们拟合得到函数的拟合度为78.3%是合理的。据此，我们可以得出每个球员应得的薪资。下表列出了题目中所给十名球员的实际薪资和应得薪资，并对二者就行了比较：球员榜单上面球员排名实际查到的薪资根据模型计算应给的薪资计算多给的薪资排名上面多的计算和实际多给的差值拉沙德-刘易斯 1211366311458542.85119678088.149211672311489143科比-布莱恩特2252444939646284.17115598208.829196932584095049安托万-贾米森 3150767156257564.5718819150.429174023508583200阿玛雷-斯塔德迈尔4182177054231757.00213985947.99814918309932361克里斯-卡曼 5140300008313528.6425716471.358146134808897009科里-马盖蒂 7102620694546489.1315715579.869128622487146668德克-诺维茨基8190928734426000.00014666873.00012851295-1815578德隆-威廉姆斯91635980512461790.0763898014.924127848678886852泰鲁斯-托马斯 1073057851941601.9225364183.078124592257095042注：排名第六名的球员因为为自由球员，这里暂不考虑。为了更加清楚的表明二者之间的关系，我们利用EXCEL进行绘图，如下： 根据上表，我们可以清楚的看出，排名靠前的球员实际薪资与应得薪资间的差距较大，越往后，二者之间的差距逐渐减小，说明排名越靠前高薪低能越严重。6、 模型的评价与改进本文的优点：本题中采用了因子分析法，较好的综合了球员的各个能力变量，特别是考虑了很多效应影响，选择了篮网球队的数据为中心点，通过其他队来得到验证。最后也进行了误差分析，结果与实际较符合。缺点：我们只选择了常规赛，球员的的反弹能力，以及有些队踢除了部分球员。在本题中我们仅考虑了薪资与球员能力的关系，没有考虑与球员的明星效应、潜在价值等因素的影响，这方面值得改进。7、 参考文献1龚纯，王正林著，精通MATLABA最优化计算，北京：电子工业出版社，2009.2杨启帆等数学建模M北京：高等教育出版社2005.3刘卫国编，MATLAB程序设计与应用（第二版）M,北京：高等教育出版社，2006.8、 附录附录1湖人队数据球员得分篮板助攻抢断盖帽投篮命中率罚球命中率失误数出场次数出场时间科比-布莱恩特161631326469180.430.845204582232保罗-加索尔112967823837880.5010.782142652430安德鲁-拜纳姆112370985271160.5580.692152602112雷蒙-塞申斯7072113504430.4280.784138631680慈世平49321814069270.3940.61769641720马特-巴恩斯49134412635480.4520.74273631440史蒂夫-布雷克272851683920.380.872521214乔丹-希尔1861781411260.510.6382938522特洛伊-墨菲1761854814160.4410.6672558927安德鲁-高德洛克1642618400.3950.9171939394约什-麦克罗伯茨1221624715180.4720.6182949680德文-伊班克斯8349121150.3850.6571623367达柳斯-莫里斯371316200.4380.6671718148克里斯蒂安-艾恩加9124340.1580.3332683附录2 黄蜂队数据球员得分篮板助攻抢断盖帽投篮命中率罚球命中率失误数出场次数出场时间（分钟）马可-贝里内利 7801721014850.4170.78369661966杰瑞特-杰克 7001762853190.4560.872106451530克里斯-卡曼 61636410125770.4460.785129471372格雷维斯-瓦斯奎兹 5891733596080.430.821148661706卡尔-兰德里 5112143813120.5030.7996441999特雷沃-阿里扎 44421513569250.4170.77576411350艾尔-法鲁克-阿米奴 3993086659340.4110.75491661477贾森-史密斯 3961963421410.520.7024040947Gustavo-Ayon 3192657453460.5360.61946541088埃梅卡-奥卡福 2662132416260.5330.5143727781泽维尔-亨利 239106352680.3950.6123545759埃里克-戈登 18525311340.450.754249310兰斯-托马斯 166126121070.4520.8392442630杰罗米-戴森 6719181120.3960.778209180达瑞尔-沃特金斯 23273540.50.58598附录3 尼克斯队数据球员得分篮板助攻抢断盖帽投篮命中率罚球命中率失误数出场次数出场时间（分钟）卡梅罗-安东尼124534420062240.430.804144551876阿玛雷-斯塔德迈尔8023654938430.480.769111461519泰森-钱德勒6996125656890.6790.689102622061兰德里-菲尔德斯57427316279170.4630.562101651862伊曼-山姆珀特55118616210080.3990.8109581684林书豪5121072165590.4460.79812635940史蒂夫-诺瓦克46898111590.4790.8462053989J.R.-史密斯414133785160.3980.7174534932托尼-道格拉斯23772772910.3240.8465638656比尔-沃克18980371970.3980.853532620拜伦-戴维斯178561353430.370.6677629595贾里德-杰弗里斯1701522629250.410.6812939729约什-哈雷尔森1441351123180.4010.6151936510迈克-毕比10055682030.2830.751938520雷纳多-巴尔克曼42265430.50.727614115杰罗姆-乔丹29234150.50.87522084丹-加祖里奇0200000018附录4 奇才队数据球员得分篮板助攻抢断盖帽投篮命中率罚球命中率失误数出场次数出场时间（分钟）约翰-沃尔 107630053095570.4230.789255662386乔丹-克劳福德 9381681905950.40.793141641753凯文-塞拉芬 4532803319760.5310.67166571176特雷沃-布克 4193254048430.5310.60258501261克里斯-辛历顿 3062334970300.3720.68238661431简-维塞利 2672494739320.5370.53260571078Shelvin-马克 230921312820.40.7124864779安德雷-布拉切 2211502820170.380.6733726626拉沙德-刘易斯 2171092723100.3850.8383228729Nene 15983196130.6070.6571911284卡地亚-马丁 15858101120.440.5791317391莫里斯-埃文斯 1172491400.4020.7691024343詹姆斯-辛历顿 988115980.5470.9331012262布莱恩-库克 50408410.4080.833716155莫里斯-阿尔蒙德 1482700.3530.3331467附录5 骑士队数据球员得分篮板助攻抢断盖帽投篮命中率罚球命中率失误数出场次数出场时间（分钟）安托万-贾米森 111840813151430.4030.68390652151凯里-欧文 94419127554200.4690.872160511558阿隆佐-基 66532211383170.4120.788114631827特里斯坦-汤普森 4943892727620.4390.55281601424欧米-卡西比 4592286637210.4030.68564651341安东尼-帕克 3671381203870.4330.62550511280斯玛多-赛缪尔斯 2921802020200.4530.6985654825安德森-瓦莱乔 2712874335170.5140.6724525785丹尼尔-吉布森 2631017626160.3510.7914535916曼尼-哈里斯 17370311360.40.6952726456唐纳德-斯隆 16559921030.4030.8084225608赛米-埃尔登 997291050.5270.5121628333卢克-哈兰高迪 60536630.3540.75421231卢克-沃顿 433530310.35302521299D.J.-肯尼迪 1273200.41703259附录6 小牛队数据球员得分篮板助攻抢断盖帽投篮命中率罚球命中率失误数出场次数出场时间（分钟）德克-诺维茨基1320416135423045.60%89.40%113612053杰森-特里939144221731143.10%87.90%127621974肖恩-马里昂666457129663644.80%81.30%97621892文斯-卡特609204136542541.10%82.60%82601519罗德里格-布博瓦459146146562742.30%83.60%66521117德隆特-韦斯特41898139581146.30%88.60%75431040伊恩-马辛米35028612373054.50%63.90%50601122布兰登-莱特33417013216262.40%65%2148774拉玛尔-奥多姆33220883201835.20%59.20%52501027杰森-基德299198264821036.30%78.60%91481379布兰登-海伍德27732419245451.30%46.90%46531132多米尼克-琼斯85384010542.60%78.80%2732253易建联754854837.50%63.20%1329196布莱恩-卡迪纳尔4133168224.50%83.30%843272肖恩-威廉姆斯291321575%83.30%7865科伦纳-阿祖布克000000.00%0.00%125附录7 山猫队数据球员得分篮板助攻抢断盖帽投篮命中率罚球命中率失误数出场次数出场时间（分钟）杰拉德-亨德森80921812249200.4570.76398541794肯巴-沃克78623228558200.3670.797118651767拜伦-穆伦斯6013215621520.4260.82173641447德里克-布朗5242366748120.5180.66755651443D.J.-奥古斯丁5201083003610.3770.875106471377科里-马盖蒂480125392310.3730.8565932881DJ-怀特3812024516220.4910.71242571070俾斯麦-比永博32236527201100.4620.48969621430泰鲁斯-托马斯2951993536590.3640.7595353992雷吉-威廉姆斯27493602030.4160.7253333747鲍里斯-迪奥27219515820190.410.6384371018科里-希金斯1493536460.3290.7073837417马特-卡罗尔14157381570.3330.8062452591埃杜阿多-纳胡拉5850121940.3750.5722270德桑加纳-迪奥普2982236120.3410.1671926306贾马里奥-穆恩14143140.263167100附录8 篮网队数据球员得分篮板助攻抢断盖帽投篮命中率罚球命中率失误数出场次数出场时间（分钟）德隆-威廉姆斯115418348167200.4070.843219551999克里斯-亨弗里斯8556819050740.4810.752119622162杰拉德-华莱士80038616485360.4540.8111582076安东尼-莫罗736125594690.4150.93367611607马肖恩-布鲁克斯69919613050150.4330.762115551618乔丹-法玛尔406611292420.4670.9056839831杰拉德-格林3901033228160.4890.7665230757桑迪亚塔-盖恩斯2841061245320.380.6145256770谢尔顿-威廉姆斯2683503547390.4780.73166581276乔翰-佩特罗2412124321230.4180.8573658881乔丹-威廉姆斯1871461121140.5180.6522142595德肖恩-史蒂文森148100401840.2920.5631850940布鲁克-洛佩斯96186140.4940.62565136阿尔蒙-约翰逊36106100.51515891达米昂-詹姆斯34333770.3710.667127170基斯-博甘斯21113200.3810.43594拉里-欧文斯13134010.3640.752775安德烈-埃梅特1361210.5710.6252645杰里-史密斯774500.21400546丹尼斯-霍纳550000.250.751822