高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.9 直线与圆锥曲线的位置关系课件(理).ppt

第九节直线与圆锥曲线的位置关系 知识梳理 1 直线与圆锥曲线的位置关系的判定代数法 把圆锥曲线方程C与直线方程l联立消去y 整理得到关于x的方程ax2 bx c 0 无公共点 一个交点 不等 两个交点 一个交点 无交点 2 弦长公式设斜率为k k 0 的直线l与圆锥曲线C相交于A B两点 A x1 y1 B x2 y2 则 AB 或 AB 特别提醒 1 直线与椭圆位置关系的有关结论 1 过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切 2 过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切 3 过椭圆内一点的直线均与椭圆相交 2 直线与抛物线位置关系的有关结论 1 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点 两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线 2 过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点 一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线 3 过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点 一条与对称轴平行或重合的直线 3 直线与双曲线位置关系的有关结论 1 过双曲线外不在渐近线上一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点 两条切线和两条与渐近线平行的直线 2 过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点 一条切线和两条与渐近线平行的直线 3 过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点 两条与渐近线平行的直线 小题快练 链接教材练一练1 选修2 1P69例4改编 直线l经过抛物线y2 4x的焦点F 与抛物线相交于A B两点 若 AB 8 则直线l的方程为 解析 当直线l的斜率不存在时 显然不成立 设直线l的斜率为k A B的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 因为直线l过焦点F 1 0 故直线l的方程为y k x 1 由得k2 x 1 2 4x 即k2x2 2k2 4 x k2 0 则所以 AB 所以k2 1 故k 1 所以直线l的方程为y x 1 即x y 1 0或x y 1 0 答案 x y 1 0或x y 1 0 2 选修2 1P81B组T1改编 已知F1 F2是椭圆16x2 25y2 1600的两个焦点 P是椭圆上一点 且PF1 PF2 则 F1PF2的面积为 解析 由题意可得 PF1 PF2 2a 20 PF1 2 PF2 2 F1F2 2 4c2 144 PF1 PF2 2 2 PF1 PF2 202 2 PF1 PF2 解得 PF1 PF2 128 所以 F1PF2的面积为 PF1 PF2 128 64 答案 64 感悟考题试一试3 2015 四川高考 设直线l与抛物线y2 4x相交于A B两点 与圆 x 5 2 y2 r2 r 0 相切于点M 且M为线段AB的中点 若这样的直线l恰有4条 则r的取值范围是 A 1 3 B 1 4 C 2 3 D 2 4 解析 选D 当直线与x轴垂直的时候 满足条件的直线有且只有2条 当直线与x轴不垂直的时候 由对称性不妨设切点M 5 rcos rsin 0 则切线的斜率 kAB 又M为AB中点 由点差法可求得 kAB 所以r r 2 由于点M在抛物线内 所以y2 4x 将坐标代入可求得r 4 综上 2 r 4 4 2016 郑州模拟 过抛物线y2 8x的焦点F作倾斜角为135 的直线交抛物线于A B两点 则弦AB的长为 A 4B 8C 12D 16 解析 选D 抛物线y2 8x的焦点F的坐标为 2 0 直线AB的倾斜角为135 故直线AB的方程为y x 2 代入抛物线方程y2 8x 得x2 12x 4 0 设A x1 y1 B x2 y2 则弦AB的长 AB x1 x2 4 12 4 16 5 2016 承德模拟 如图 F是椭圆 1 a b 0 的一个焦点 A B是椭圆的两个顶点 椭圆的离心率为 点C在x轴上 BC BF B C F三点确定的圆M恰好与直线l1 x y 3 0相切 则椭圆的方程为 解析 由已知设F c 0 B 0 c 因为kBF kBC C 3c 0 且圆M的方程为 x c 2 y2 4c2 圆M与直线l1 x y 3 0相切 所以 2c 解得c 1 所以所求的椭圆方程为 1 答案 1 考向一直线与圆锥曲线位置关系的确定及应用 典例1 1 过抛物线y2 2x的焦点作一条直线与抛物线交于A B两点 它们的横坐标之和等于2 则这样的直线 A 有且只有一条B 有且只有两条C 有且只有三条D 有且只有四条 2 在平面直角坐标系xOy中 点M到点F 1 0 的距离比它到y轴的距离多1 记点M的轨迹为C 求轨迹C的方程 设斜率为k的直线l过定点P 2 1 求直线l与轨迹C恰好有一个公共点 两个公共点 三个公共点时k的相应取值范围 解题导引 1 由于过焦点垂直于轴的弦只有一条 且此时弦长最小 因此只需看该弦与弦AB的关系即可 2 可依据题设条件直接写出轨迹C的方程 直线方程与轨迹C的方程联立 利用方程的解与直线与轨迹C交点间的关系即可求解 规范解答 1 选B 设该抛物线焦点为F A xA yA B xB yB 则 AB AF FB xA xB xA xB 1 3 2p 2 所以符合条件的直线有且只有两条 2 设点M x y 依题意得 MF x 1 即 x 1 化简整理得y2 2 x x 故点M的轨迹C的方程为 在点M的轨迹C中 记C1 y2 4x x 0 C2 y 0 x 0 依题意 可设直线l的方程为y 1 k x 2 由方程组可得ky2 4y 4 2k 1 0 当k 0时 此时y 1 把y 1代入轨迹C的方程 得x 故此时直线l y 1与轨迹C恰好有一个公共点当k 0时 方程 的判别式为 16 2k2 k 1 设直线l与x轴的交点为 x0 0 则由y 1 k x 2 令y 0 得x0 若由 解得k 即当k 1 时 直线l与C1没有公共点 与C2有一个公共点 故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点 若或由 解得k 或 k 0 即当k 时 直线l与C1只有一个公共点 与C2有一个公共点 当k 时 直线l与C1有两个公共点 与C2没有公共点 故当k 时 直线l与轨迹C恰好有两个公共点 若由 解得 1 k 或0 k 即当k 时 直线l与C1有两个公共点 与C2有一个公共点 故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点 综上可知 当k 1 0 时 直线l与轨迹C恰好有一个公共点 当k 时 直线l与轨迹C恰好有两个公共点 当k 时 直线l与轨迹C恰好有三个公共点 母题变式 如本例1 1 中的 横坐标之和等于2 改为 横坐标之和等于1 结果如何 解析 若改为 横坐标之和等于1 设该抛物线焦点为F A xA yA B xB yB 则 AB AF FB xA xB xA xB 1 2 2p 2 所以符合条件的直线有且只有一条 易错警示 解答本例 2 会出现以下错误 题目在求直线与轨迹C只有一个交点时 易忽略直线与轨迹C对称轴平行或重合的情况 从而造成漏解 规律方法 直线与圆锥曲线位置关系的判定方法及关注点 1 判定方法 直线与圆锥曲线方程联立 消去x 或y 判定该方程组解的个数 方程组有几组解 直线与圆锥曲线就有几个交点 有时也会考虑数形结合思想 2 关注点 联立直线与圆锥曲线的方程消元后 应注意讨论二次项系数是否为零的情况 判断直线与圆锥曲线位置关系时 判别式 起着关键性的作用 第一 可以限定所给参数的范围 第二 可以取舍某些解以免产生增根 变式训练 2016 宝鸡模拟 已知椭圆C 1 a b 0 的左 右焦点分别为F1 F2 离心率为e 直线l y ex a与x轴 y轴分别交于点A B 点M是直线l与椭圆C的一个公共点 设则该椭圆的离心率e 解析 因为点A B分别是直线l y ex a与x轴 y轴的交点 所以点A B的坐标分别是 0 a 设点M的坐标是 x0 y0 由得 因为点M在椭圆上 所以 1 将 式代入 得 1 整理得 e2 e 1 0 解得e 答案 加固训练 1 直线y kx 2与抛物线y2 8x有且只有一个公共点 则k的值为 A 1B 1或3C 0D 1或0 解析 选D 由得k2x2 4k 8 x 4 0 若k 0 则y 2 若k 0 则 0 即64 64k 0 解得k 1 所以直线y kx 2与抛物线y2 8x有且只有一个公共点时 k 0或1 2 已知双曲线 1与直线y 2x有交点 则双曲线离心率的取值范围为 A 1 B 1 C D 解析 选C 因为双曲线的一条渐近线方程为y x 则由题意得 2 所以e 3 过抛物线y2 2px p 0 的焦点F 斜率为的直线交抛物线于A B两点 若 1 则 的值为 A 5B 4C D 解析 选B 根据题意设A x1 y1 B x2 y2 由得故 y1 y2 即 设直线AB的方程为y 联立直线与抛物线方程 消元得y2 py p2 0 故y1 y2 p y1 y2 p2 即又 1 故 4 考向二与弦有关的问题 典例2 1 2016 莆田模拟 若直线y kx k交抛物线y2 4x于A B两点 且线段AB中点到y轴的距离为3 则 AB A 12B 10C 8D 6 2 已知椭圆 1 a b 0 的一个顶点为B 0 4 离心率e 直线l交椭圆于M N两点 若直线l的方程为y x 4 求弦MN的长 如果 BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F 求直线l方程的一般式 解题导引 1 根据抛物线的方程求出准线方程 利用抛物线的定义 抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离 列出方程求出A B的中点横坐标 求出线段AB的中点到y轴的距离 2 可以直接联立方程 把方程组转化成关于x或y的一元二次方程 利用根与系数的关系及弦长公式求解 可利用椭圆的右焦点是 BMN的重心这一条件 利用 点差法 可求直线l的斜率 再由点斜式 即可求出直线l的方程 规范解答 1 选C 直线y kx k恒过 1 0 恰好是抛物线y2 4x的焦点坐标 设A x1 y1 B x2 y2 抛物线y2 4x的准线x 1 线段AB中点到y轴的距离为3 x1 x2 6 所以 AB AF BF x1 x2 2 8 2 由已知得b 4 且即所以解得a2 20 所以椭圆方程为 1 则4x2 5y2 80与y x 4联立 消去y得9x2 40 x 0 所以x1 0 x2 所以所求弦长 MN 椭圆右焦点F的坐标为 2 0 设线段MN的中点为Q x0 y0 由三角形重心的性质知又B 0 4 所以 2 4 2 x0 2 y0 故得x0 3 y0 2 即得点Q的坐标为 3 2 设M x1 y1 N x2 y2 则x1 x2 6 y1 y2 4 且以上两式相减得 0 所以kMN故直线l的方程为y 2 x 3 即6x 5y 28 0 规律方法 1 弦长的计算方法与技巧求弦长时可利用弦长公式 根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程 利用根与系数的关系得到两根之和 两根之积的代数式 然后进行整体代入弦长公式求解 提醒 注意两种特殊情况 1 直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直 2 直线过圆锥曲线的焦点 2 弦中点问题的解法点差法在解决有关弦中点 弦所在直线的斜率 弦中点与原点连线斜率问题时可简化运算 但要注意直线斜率是否存在 3 与弦端点相关问题的解法解决与弦端点有关的向量关系 位置关系等问题的一般方法 就是将其转化为端点的坐标关系 再根据联立消元后的一元二次方程根与系数的大小关系 构建方程 组 求解 或用向量法求解 变式训练 2016 珠海模拟 已知抛物线C y2 2px p 0 的焦点为F 过点F且倾斜角为60 的直线l与抛物线C在第一 四象限分别交于A B两点 则的值等于 解析 设A x1 y1 B x2 y2 由直线l的倾斜角为60 则直线l的方程为 y 0 即y 联立抛物线方程 消去y并整理 得12x2 20px 3p2 0 则x1 p x2 p 则 3 答案 3 加固训练 1 在椭圆 1内 通过点M 1 1 且被这点平分的弦所在的直线方程为 A x 4y 5 0B x 4y 5 0C 4x y 5 0D 4x y 5 0 解析 选A 设直线与椭圆交点为A x1 y1 B x2 y2 则由 得 0 因为所以所以所求直线方程为y 1 x 1 即x 4y 5 0 2 若椭圆的中心在原点 一个焦点为 0 2 直线y 3x 7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1 则这个椭圆的方程为 解析 选D 因为椭圆的中心在原点 一个焦点为 0 2 则a2 b2 4 所以可设椭圆方程为联立得 10b2 4 y2 14 b2 4 y 9b4 13b2 196 0 设直线y 3x 7与椭圆相交所得弦的端点为 x1 y1 x2 y2 由一元二次方程根与系数的关系得 y1 y2 2 解得 b2 8 所以a2 12 则椭圆方程为 1 3 2016 大连模拟 已知椭圆C 1 a b 0 F 0 为其右焦点 过点F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2 则椭圆C的方程为 解析 由题意得解得所以椭圆C的方程为 1 答案 1 考向三探究性 存在性问题 考情快递 考题例析 命题方向1 探究是否存在常数问题 典例3 2016 兰州模拟 如图 椭圆C 1 a b 0 经过点离心率e 直线l的方程为x 4 1 求椭圆C的方程 2 AB是经过右焦点F的任一弦 不经过点P 设直线AB与直线l相交于点M 记PA PB PM的斜率分别为k1 k2 k3 问 是否存在常数 使得k1 k2 k3 若存在 求 的值 若不存在 说明理由 解题导引 1 由点在椭圆上和离心率建立方程求出椭圆方程 2 设出直线的方程 将其与椭圆的方程结合得到一个一元二次方程 根据根与系数的关系得出A B两点的坐标之间的关系和M的坐标 由此得出相应的直线的斜率 根据A F B三点共线得出相应的坐标之间的关系从而求出常数的值 规范解答 1 由在椭圆上得 1 依题设知a 2c 则a2 4c2 b2 3c2 将 代入 得c2 1 a2 4 b2 3 故椭圆C的方程为 1 2 存在 由题意可设AB的斜率为k 则直线AB的方程为y k x 1 代入椭圆方程并整理得 4k2 3 x2 8k2x 4 k2 3 0 设A x1 y1 B x2 y2 则有x1 x2 x1x2 在方程 中令x 4 得M 4 3k 从而注意到A F B三点共线 则有k kAF kBF 即 k 所以k1 k2 将 代入 得k1 k2 2k 1 又k3 k 所以k1 k2 2k3 故存在常数 2符合题意 一题多解 解答本题第 2 问还有以下解法 设B x0 y0 x0 1 则直线FB的方程为 y x 1 令x 4 求得从而直线PM的斜率为k3 联立解得 则直线PA的斜率为k1 直线PB的斜率为k2 所以k1 k2 2k3 故存在常数 2符合题意 命题方向2 探究是否存在定直线问题 典例4 2014 湖南高考 如图 O为坐标原点 双曲线C1 1 a1 0 b1 0 和椭圆C2 1 a2 b2 0 均过点且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形 1 求C1 C2的方程 2 是否存在直线l 使得l与C1交于A B两点 与C2只有一个公共点 且证明你的结论 解题导引 1 由于双曲线的顶点间距离与椭圆焦点间距离都等于2 再结合C1 C2均过定点即可求得方程 2 在斜率存在与不存在两种情况下 先假设存在 若能求出则确定存在直线l 否则 则不存在 规范解答 1 设C2的焦距为2c2 由题意知 2c2 2 2a1 2 从而a1 1 c2 1 因为点在双曲线x2 1上 所以 1 故b12 3 由椭圆的定义知2a2 于是a2 b22 a22 c22 2 故C1 C2的方程分别为 2 不存在符合题设条件的直线 i 若直线l垂直于x轴 因为l与C2只有一个公共点 所以直线l的方程为x 或x 当x 时 易知A B 所以此时 当x 时 同理可知 ii 若直线l不垂直于x轴 设l的方程为y kx m 由得 3 k2 x2 2kmx m2 3 0 当l与C1相交于A B两点时 设A x1 y1 B x2 y2 则x1 x2是上述方程的两个实根 从而x1 x2 x1x2 于是y1y2 k2x1x2 km x1 x2 m2 由得 2k2 3 x2 4kmx 2m2 6 0 因为直线l与C2只有一个公共点 所以上述方程的判别式 16k2m2 8 2k2 3 m2 3 0 化简 得2k2 m2 3 因此 于是即故综合 i ii 可知 不存在符合题设条件的直线 技法感悟 1 解决常数存在性问题的常用方法解决是否存在常数的问题时 应首先假设存在 看是否能求出符合条件的参数值 如果推出矛盾就不存在 否则就存在 2 解决定直线问题的思路解决是否存在直线的问题时 可依据条件寻找适合条件的直线方程 联立方程消元得出一元二次方程 利用判别式得出是否有解 题组通关 1 2016 石家庄模拟 已知椭圆C 1 a b 0 的离心率为 椭圆C的短轴的一个端点P到焦点的距离为2 1 求椭圆C的方程 2 已知直线l y kx 与椭圆C交于A B两点 是否存在k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O 若存在 求出k的值 若不存在 请说明理由 解析 1 设椭圆的焦半距为c 则由题设得解得故所求椭圆C的方程为 x2 1 2 存在k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O 理由如下 设点A x1 y1 B x2 y2 将直线l的方程y kx 代入 x2 1并整理得 k2 4 x2 2kx 1 0 则x1 x2 x1x2 因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O 所以 0 即x1x2 y1y2 0 又y1y2 k2x1x2 k x1 x2 3 即y1y2 于是有 0 解得k 经检验知 此时 的判别式 0 适合题意 所以当k 时 以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O 2 2016 鹰潭模拟 已知椭圆C的中心在原点O处 焦点在x轴上 离心率为 右焦点到右顶点的距离为1 1 求椭圆C的标准方程 2 是否存在与椭圆C交于A B两点的直线l y kx m k R 使得成立 若存在 求出实数m的取值范围 若不存在 请说明理由 解析 1 设椭圆C的方程为 1 a b 0 半焦距为c 依题意e 由右焦点到右顶点的距离为1 得a c 1 解得c 1 a 2 所以b2 4 1 3 所以椭圆C的标准方程是 1 2 存在直线l 使得成立 理由如下 因为直线l的方程为y kx m 由得 3 4k2 x2 8kmx 4m2 12 0 8km 2 4 3 4k2 4m2 12 0 化简得3 4k2 m2 设A x1 y1 B x2 y2 则若成立 即 等价于 0 所以x1x2 y1y2 0 x1x2 kx1 m kx2 m 0 1 k2 x1x2 km x1 x2 m2 0 0 化简得7m2 12 12k2 将k2 m2 1代入3 4k2 m2中 得解得m2 又由7m2 12 12k2 12 得m2 从而m2 解得m 或m 所以实数m的取值范围是