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矩阵大作业 一、 简介 矩阵理论是数学的一个重要分支，内容十分广泛，是数学和其他学科（如数值分析、概率统计、优化理论以及电学等）的基础，在科学与工程计算方面有着广泛的应用，例如在数字图像处理中就运用到大量的矩阵知识。数字图像处理(Digital Image Processing)是通过计算机对图像进行去除噪声、增强、复原、分割、提取特征等处理的方法和技术。而对于数字图像我们都很熟悉，我们从计算机上看到的图片，雷达图像，以及人体MRI图像等等都是数字图像。二、 涉及的理论知识及应用矩阵在数字图像处理中的应用：我们可以将一幅图像定义为一个二维的函数f（x，y），其中x，y表示空间坐标，在空间坐标（x，y）点上的幅值f表示该点图像的强度或者灰度。对于数字图像而言，空间坐标x、y和幅值f都是有限的、离散的，这样的话，一幅图像就可用一个二维函数表示。对于模拟图像不利于计算机进行处理，所以要将模拟图像转换成数字图像，主要包括：取样和量化。取样就是讲x，y坐标值离散化，而量化就是将幅度值离散化，这样取样和量化的结果就是一个矩阵，可以表示为： 更一般的矩阵表达式为：图像压缩的目的是减少图像遗留在数据中的多余信息，使之得到更高效格式存储和数据传输，而数据可以压缩的原因就在于数据中存在冗余信息。以数学的观点来看，这一过程实际上就是将二维像素阵列变换为一个在统计上无关联的数据集合，图像压缩是指以较少的比特有损或无损地表示原来的像素矩阵的技术，也称图像编码。图像压缩可以是有损数据压缩也可以是无损数据压缩。对于如绘制的技术图、图表或者漫画优先使用无损压缩，这是因为有损压缩方法，尤其是在低的位速条件下将会带来压缩失真。如医疗图像或者用于存档的扫描图像等这些有价值的内容的压缩也尽量选择无损压缩方法。有损方法非常适合于自然的图像，例如一些应用中图像的微小损失是可以接受的（有时是无法感知的），这样就可以大幅度地减小位速。2.矩阵的奇异值分解理论在数字图像处理中的应用(1)矩阵的奇异值设，,是的特征值，是的特征值，都是实数，假设；则特征值与之间的关系为，（i=1,2，,r）则是A的正的奇异值，若A为正规矩阵，则A的奇异值是A 的 特征向量的模长。（2）矩阵的奇异值分解（SVD）若，是A的r个正奇异值，则存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V，满足 其中，为奇异对角阵。U满足为对角阵，V满足为对角阵，U的第i列为A的对应于奇异值的左奇异向量，V的第i列为A的对应于奇异值的右奇异向量，它们的每一列均为单位向量，且各列之间互相正交。奇异值分解是一种基于特征向量的矩阵变换方法，是现代数值分析的最基本的方法之一（3）奇异值分解的图像性质 每一个矩阵的奇异值（）是唯一的，它将矩阵数据的特征和分布很明显的算了出来。矩阵的奇异值分解可以这样理解：将当做一种线性变换，它将m维空间的点映射到了n维的空间。通过奇异值分解，被分割成3部分，分别为U、和V。A为数字图像，可视为二维时频信息，可以将A的奇异值分解公式写成其中和分别为U和V的列向量，为A的非零奇异值，因此上述公式所表示的数字图像A可以看成是r个秩为1的子图的相加的结果，奇异值为权系数。所以也表示时频信息，对应的和可分别视为频率矢量和时间适量，则数字图像A中的视频信息就被分解到一系列由和构成的视频平面中。由矩阵范数理论，奇异值能与向量2-范数和矩阵F-范数相联系。若以F-范数的平方表示图像的能量，则有矩阵的奇异值分解可得综上可知，数字图像A的纹理和几何意义上的信息大都集中在U、中，而中的奇异值通常代表了图像的能量信息。性质1：矩阵的奇异值代表了图像的能量信息，因此具有很高的稳定性。设，,是矩阵A一个扰动矩阵，A和B的非零奇异值分别记为：和，且，是中最大的一个，则有通过上面阐述可知，图像在被小的扰动所干扰的时候扰动矩阵的最大奇异值一般情况下都大于图像矩阵奇异值的变换，因此图像奇异值的稳定性很强；性质2：矩阵的奇异值具有比例不变性设，矩阵A的奇异值为（），矩阵kA的奇异值为（i=1,2，,r），则有。性质3：矩阵的奇异值具有旋转不变性设，矩阵A的奇异值为（），。如果是酉矩阵，则矩阵A的奇异值与矩阵A的奇异值相同。性质4：设，若，则所以可得由上式可以得出，在F-范数议意义下，是在空间中的将秩最佳逼近。那么，可以根据需要保留s个大于某个阈值而舍弃其余（）个小于阈值的且保证两幅图像在某种意义下的近似，而这就是奇异值特征矢量的降维和数据压缩的理论基础。三结论综上可知，通过矩阵的奇异值分解来进行图像压缩的方法是有效的，具有很好的实用价值，除此之外，矩阵知识在图像加密、图像变换中都有大量的应用。事实上，在现实生活中矩阵知识都有大量涉及到，例如在工业控制系统中，你要控制系统的输出状态，不同的输入对应不同的输出，就要用到矩阵方程，还有土地测量等等，都离不开矩阵知识，总之矩阵知识在生活中方方面面都很重要。
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