弧度制及同角三角函数计算公式.doc

弧度制及同角三角函数计算公式一、弧度制 平面几何里角的度量，规定周角的1/360为1度的角，这种用度作单位来度量角的制度叫做角度制。 把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。 如图26，弧AB的长度等于半径r，弧AB所对的圆心角AOB就是1弧度的角，在图27中，圆心角AOC所对的弧AC的长l=2r，那么AOC的弧度数即为：l/r=2r/r=2 如果圆心角所对的弧的长l=2r（即弧是一个整圆），那么这个圆心角的弧度数是：l/r=2r/r=2 如果圆心角表示一个负角，且它所对的弧的长l=4r，那么这个角的弧度数的绝对值是： l/r=4r/r=4。 即此角的弧度数是4。 一般规定：正角的弧度数为正数。负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，任一已知角的弧度数的绝对值： |=l/r 其中l为以角作为圆心角时所对圆弧的长，r为圆的半径。这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制。 根据上面的公式 |=l/r，可以得到： l= |.r 即圆弧的长等于圆弧所对圆心角的弧度数的绝对值与半径的积。这个圆弧长公式比采用角度制时的相应公式l=nr/180要简单一些。 例、利用弧度制来推导扇形面积公式s=1/2.l.R，其中l是扇形的弧长，R是圆的半径。 解：因为圆心角为1弧度的扇形的面积为12 .R2，而弧长为l的扇形的圆心角的弧度数为l/R，所以它的面积为：S=l/R12R2=1/2.lR 一个角用度和弧度来表示时的换算公式： 360=2弧度； 180=弧度. 由此还可得到： 1=/180 弧度0.01745弧度。 1弧度=（180）57.30=5718 特殊角的度数与弧度数的对于表：度030456090180270360弧度0/6/4/3/23/22 二、同角三角函数计算公式 设是一个任意大小的角，角的终边上任意一点P的坐标是（x，y），它与原点的距离是r（r0），图211，那么角的正弦、余弦、正切、余切分别是： sin =y/r，cos=x/r tg=y/x，ctg=x/y角 的正割: sec =r/x角 的余割: csc =r/x 同角三角函数的基本关系式： （1）倒数关系： sin csc =1 cossec =1 tgctg=1 （2）商数关系： tg= sin / cos ctg= cos/ sin （3）平方关系： Sin2 +cos2 =1 1+ tg2 = sec2 1+ ctg2 = csc2 利用上述（1）、（2）、（3）这些关系式，可以根据一个角的某一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值。 公式二： Sin（180+ ）= sin cos（180+ ）= cos tg（180+ ）= tg ctg（180+ ）=ctg 公式三： Sin（ ）= sin cos（ ）= cos tg（ ）= tg ctg（ ）=ctg 公式四： Sin（180 ）= sin cos（180 ）= cos tg（180 ）= tg ctg（180 ）=ctg 公式五： Sin（360 ）= sin cos（360 ）= cos tg（360 ）= tg ctg（360 ）=ctg 终边相同的角的同一三角函数的值相等。 公式一： Sin（k.360+ ）= sin cos（k.360+ ）= cos tg（k.360+ ）= tg ctg（k.360+ ）=ctg 公式一、二、三、四、五均叫做诱导公式。利用诱导公式求任意角的三角函数值，一般可按下面的步骤进行：任意正角的三角函数任意负角的三角函数 用公式三、一 用公式一 090间角的三角函数 求值0360间角的三角函数 用公式二、四、五 查表 两角和与差公式： Sin（ ）= sin . cos cos Sin cos（ ）= cos cos sin Sin tg（ ）= tg tg1 tg tg 倍角公式： Sin2 =2 sin cos cos2=cos2Sin2=2 cos21=12 Sin2 tg2=2tg/1tg2 半角公式： Sin 2 = 1-cos2 cos 2 = 1+cos2 tg 2 = 1cos1+cos = 1-cossin = sin1+cos 积化和差公式： Sincos=12sin+sin- cossin=12 sin+-sin- coscos=-12 cos+cos- sinsin=-12 cos+-cos- 和差化积公式： Sin+sin=2sin+2 cos-2 Sinsin=2cos+2 sin-2 cos+cos=2cos+2 cos-2 coscos=2sin+2 sin-2 万能公式： Sin=2tg2/（1+tg22) cos=(1tg22)/(1+tg22) tg=2tg2/(1tg22) 关于反三角函数： （一）反正弦函数 函数y=sinx（x-2，2）的反函数叫做反正弦函数，记作x=arc siny。 习惯上用字母x表示自变量，用y表示函数，所以反正弦函数可以写成y=arc sinx。它的定义域是1，1，它的值域是-2，2 。 注：有的书把反正弦函数写作y=sin-1x，同理，反余弦函数、反正切函数、反余切函数也可写作：cos-1x、tg-1x、tg-1x、ctg-1x。