概率论的基本概念.ppt

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概率论与数理统计主讲人周小辉概率论产生于17世纪是由保险事业发展而产生的早在1654年有一个赌徒梅勒向当时的数学家帕斯卡提出了一个使他苦恼了很久的问题两个赌徒相约赌若干局谁先赢m局就算获胜全部赌本就归胜者但是当其中一个人甲赢了a a m 局的时候赌博中止问赌本应当如何分配才算合理但是这个的问题却是数学家们思考概率论问题的源泉概率论在物理化学生物生态天文地质医学等学科中在控制论信息论电子技术预报运筹等工程技术中的应用都非常广泛序言第一章概率论的基本概念第一节样本空间随机事件第二节概率古典概型第三节条件概率全概率公式第四节独立性第一节样本空间随机事件 1 随机试验概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门基础学科上一页下一页返回确定性现象Certaintyphenomena在101325 a的大气压下将纯净水加热到100 时必然沸腾垂直上抛一重物该重物会垂直下落随机现象Randomphenomena掷一颗骰子可能出现1 2 3 4 5 6点抛掷一枚均匀的硬币会出现正面向上反面向上两种不同的结果则把这一试验称为随机试验常用E表示对随机现象进行的观察或实验称为试验 2 每次试验的可能结果不止一个并且事先可以知道试验的所有可能结果 3 进行一次试验之前不能确定会出现哪一个结果若一个试验具有下列三个特点 1 在相同条件下可重复进行上一页下一页返回上抛一枚硬币在一条生产线上检测产品的等级情况向一目标射击在随机试验中可能出现也可能不出现而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件 randomEvents 简称事件 Events 随机事件通常用大写英文字母等表示例如在抛掷一枚均匀硬币的试验中正面向上是一个随机事件可用正面向上表示掷骰子出现偶数点是一个随机事件试验结果为2 4或6点都导致出现偶数点发生随机事件randomEvents 基本事件与样本空间仅含一个样本点的随机事件称为基本事件样本点SamplePoint 样本空间SampleSpace 基本事件随机试验中的每一个可能出现的试验结果称为这个试验的一个样本点记作全体样本点组成的集合称为这个试验的样本空间记作即含有多个样本点的随机事件称为复合事件 0 T E4 在一批灯泡中任意抽取一只测试它的寿命 E2 射手向一目标射击直到击中目标为止 E3 从四张扑克牌J Q K A任意抽取两张 E1 掷一颗匀质骰子观察骰子出现的点数 1 2 J Q Q A 1 2 3 4 5 6 写出下列试验的样本空间在随机试验中随机事件一般是由若干个基本事件组成的 A 出现奇数点是由三个基本事件出现1点出现3点出现5点组合而成的随机事件样本空间的任一子集A称为随机事件随机事件 RandomEvents 例如抛掷一颗骰子观察出现的点数那么出现1点出现2点出现6点为该试验的基本事件属于事件A的样本点出现则称事件A发生特例必然事件CertaintyEvents 必然事件样本空间也是其自身的一个子集也是一个随机事件每次试验中必定有中的一个样本点出现必然发生抛掷一颗骰子出现的点数不超过6 为必然事件例记作特例不可能事件ImpossibleEvent 空集也是样本空间的一个子集不包含任何样本点不可能事件也是一个特殊的随机事件不可能发生抛掷一颗骰子出现的点数大于6 是不可能事件例记作随机试验抛掷两颗骰子 Rollingtwodie 抛掷两颗骰子观察出现的点数随机试验试验的样本点和基本事件样本空间 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 6 1 6 2 6 6 随机事件试验抛掷两颗骰子观察出现的点数 A 点数之和等于3 1 2 2 1 B 点数之和大于11 6 6 C 点数之和不小于2 D 点数之和大于12 事件的关系与运算给定一个随机试验设为其样本空间事件 Ak k 1 2 3 都是的子集事件事件之间的关系与事件的运算集合集合之间的关系与集合的运算表示事件A包含于事件B或称事件B包含事件A 指事件A发生必然导致事件B发生 A是B的子事件 3 事件间的关系及其运算事件A1 A2 An的和记为或A1 A2 An 表示事件A与事件B中至少有一个事件发生称此事件为事件A与事件B的和并事件或记为A B 上一页下一页返回 A B B A 表示事件A与事件B同时发生称为事件A与事件B的积交事件记为AB 积事件AB是由A与B的公共样本点所构成的集合可列个事件A1 A2 An的积记为A1 A2 An或A1A2 An 也可简记为在可列无穷的场合用表示事件 A1 A2 诸事件同时发生上一页下一页返回 B A 事件A发生但事件B不发生称为事件A与事件B的差事件显然有则称A和B是互不相容的或互斥的指事件A与B不可能同时发生基本事件是两两互不相容的上一页下一页返回 A B B A A B 则称A和B互为对立事件或称A与B互为逆事件事件A的逆事件记为表示 A不发生这一事件对于任意的事件A B只有如下分解上一页下一页返回 A 7 完备事件组若事件A1 A2 An为两两互不相容事件并且A1 A2 An 必然事件则称它们构成一个完备事件组实际意义每次试验时必然发生且仅能发生完备事件组A1 A2 An中的一个事件 19 最常用的完备事件组是某事件A与它的对立事件事件的运算律 1 交换律 A B A B AB BA 2 结合律 A B C A B C 3 分配律 A B C A B A C A B C A B C A B C A B A C 4 德摩根律 DeMorgan 上一页下一页返回例设A B C为三个事件试用A B C表示下列事件 1 A发生且B与C至少有一个发生 2 A与B都发生而C不发生 3 A B C恰有一个发生 4 A B C中不多于一个发生 5 A B C都不发生 6 A B C中至少有两个发生上一页下一页返回 1 第三次未中奖 2 第三次才中奖 3 恰有一次中奖 4 至少有一次中奖 5 不止一次中奖 6 至多中奖二次随机事件的频率Frequency A 出现正面随机试验抛掷一枚均匀的硬币试验总次数n 将硬币抛掷n次随机事件事件A出现次数k 出现正面k次随机事件的频率如何定义随机事件的概率呢定义1 在相同条件下进行了n次试验若随机事件A在这n次试验中发生了k次则比值称为事件A在n次实验中发生的频率记为频率具有下列性质 1 对于任一事件A 有 2 上一页下一页返回历史上著名的统计学家蒲丰 Buffon 和皮尔逊 Pearson 曾进行过大量抛硬币的试验其结果如表所示可见出现正面的频率总在0 5附近摆动随着试验次数的增加它会逐渐稳定于0 5 上一页下一页返回定义2 设事件A在n次重复试验中发生了k次 n很大时频率稳定在某一数值p的附近波动而随着试验次数n的增加波动的幅度越来越小则称p为事件A发生的概率记为上一页下一页返回第二节概率古典概率 1 概率统计定义定义3 2 概率的公理化定义上一页下一页返回证明由定义3知所以概率的性质不可能事件的概率为零注意事项但反过来如果P A 0 未必有A 例如一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻有 0 5 上诸数字在桌面上旋转它求当它停下来时圆周与桌面接触处的刻度为2的概率等于0 但该事件有可能发生设A1 A2 An两两互不相容则证明有限可加性若AB 则P B A P B P A 差事件的概率例已知P A 0 3 P B 0 6 试在下列两种情形下分别求出P A B 与P B A 1 事件A B互不相容 2 事件A B有包含关系解 2 由已知条件和性质3 推得必定有对任意两个随机事件有加法定理加法定理甲乙两人同时向目标射击一次设甲击中的概率为0 85 乙击中的概率为0 8 两人都击中的概率为0 68 求目标被击中的概率解设表示甲击中目标表示乙击中目标表示目标被击中则 0 85 0 8 0 68 0 97 考察甲乙两个城市6月逐日降雨情况已知甲城出现雨天的概率是0 3 乙城出现雨天的概率是0 4 甲乙两城至少有一个出现雨天的概率为0 52 试计算甲乙两城同一天出现雨天的概率解设A表示甲城下雨 B表示乙城下雨则所以解 1 由于A与B互不相容即AB 所以 2 则有 3 则有证明由于与其对立事件互不相容由性质2有而所以逆事件的概率证 3 古典概型定义4 设随机试验E满足如下条件试验的样本空间只有有限个样本点即 2 每个样本点的发生是等可能的即则称试验为古典概型也称为等可能概型古典概型中事件A的概率计算公式为上一页下一页返回例抛掷一颗匀质骰子观察出现的点数求出现的点数是不小于3的偶数的概率解设A表示出现的点数是不小于3的偶数则基本事件总数n 6 A包含的基本事件是出现4点和出现6点即 2 故例一个古老的问题一对骰子连掷25次问出现双6与不出现双6的概率哪个大上一页下一页返回例设有同类产品6件其中有4件合格品 2件不合格品从6件产品中任意抽取2件求抽得合格品和不合格品各一件的概率解设A 抽得合格品和不合格品各一件因为基本事件总数等于从6件可以区别的产品中任取2件的组合数目故有基本事件总数且每一基本事件发生是等可能的事件A发生是指从4件合格品和2件不合格品中各抽出一件抽取方法数即使事件A发生的基本事件数为所以事件A发生的概率为袋中有20个球其中15个白球 5个黑球从中任取3个求至少取到一个白球的概率设表示至少取到一个白球 i表示刚好取到i个白球 i 0 1 2 3 则方法用互不相容事件和的概率等于概率之和 A A1 2 3 1 2 3 解方法利用对立事件的概率关系练习设有k个不同的球每个球等可能地落入N个盒子中设每个盒子容球数无限求下列事件的概率 1 某指定的k个盒子中各有一球 4 恰有k个盒子中各有一球 3 某指定的一个盒子没有球 2 某指定的一个盒子恰有m个球 5 至少有两个球在同一盒子中 6 每个盒子至多有一个球分房模型例4 课堂练习解设 1 6 的各事件分别为则 4 几何概型若试验具有如下特征上一页下一页返回例约会问题甲乙两人相约在某一段时间T内在预定地点会面先到者等候另一人经过时间t t T 后即离去求甲乙两人能会面的概率假定他们在T内任一时刻到达预定地点是等可能的上一页下一页返回上一页下一页返回例 Buffon投针问题 1777年法国科学家蒲丰提出了下列著名问题这是几何概率的一个早期例子平面上画着一些平行线它们之间的距离都等于a 向此平面任投一长度为l l a 的针试求此针与任一平行线相交的概率解以x表示针的中点与最近一条平行线间的距离又以表示针与此直线间的交角易知样本空间满足满足这个不等式的区域为图中用阴影部分g 它是平面上一个矩形针与平行线相交的充要条件是所求的概率为引例抛掷一颗骰子观察出现的点数 A 出现的点数是奇数 B 出现的点数不超过3 若已知出现的点数不超过3 求出现的点数是奇数的概率即事件B已发生求事件A的概率 AB都发生但样本空间缩小到只包含的样本点 P A 3 10 又如 10件产品中有7件正品 3件次品 7件正品中有3件一等品 4件二等品现从这10件中任取一件记 B 取到正品 A 取到一等品 P A B 则这些例子给了我们一个情报使我们得以在某个新的条件下来考虑概率问题设为同一个随机试验中的两个随机事件且则称为在事件发生的条件下事件发生的条件概率定义第三节条件概率ConditionalProbability 概率P A B 与P AB 的区别与联系联系事件A B都发生了区别 1 在P A B 中事件A B发生有时间上的差异 B先A后在P AB 中事件A B同时发生 2 样本空间不同在P A B 中事件B成为样本空间在P AB 中样本空间仍为因而有上一页下一页返回条件概率的性质自行验证 2 缩减样本空间去计算 4 条件概率的计算 1 用定义计算 P B 0 P A B B发生后的缩减样本空间所含样本点总数在缩减样本空间中A所含样本点个数例设100件产品中有70件一等品 25件二等品规定一二等品为合格品从中任取1件求 1 取得一等品的概率 2 已知取得的是合格品求它是一等品的概率解设表示取得一等品表示取得合格品则 1 因为100件产品中有70件一等品所以 2 方法1 方法2 因为95件合格品中有70件一等品所以 2 在原样本空间中计算由于 1 在缩减的样本空间中计算因第一次已经取得了次品剩下的产品共19件其中3件次品从而P B A 3 19 例1 某批产品共20件其中4件为次品其余为正品不放回地从中任取两次一次取一件若第一次取到的是次品问第二次再取到次品的概率是多少解令A 第一次取到次品 B 第二次取到次品需求P B A 上一页下一页返回由条件概率的定义即若P B 0 则P AB P B P A B 2 而P AB P BA 2 乘法公式若已知P B P A B 时可以反求P AB 将A B的位置对调有故P A 0 则P AB P A P B A 3 若P A 0 则P BA P A P B A 2 和 3 式都称为乘法公式利用它们可计算两个事件同时发生的概率例袋中装有两个红球和三个白球从中依次取出两个求两个都是红球的概率解设A1 第一次取得红球 A2 第二次取得红球 1 若用不放回抽样则P A1A2 P A1 P A2 A1 2 5 1 4 0 1 2 若用有放回抽样则P A1A2 P A1 P A2 A1 2 5 2 5 0 16 例2 设袋中有a只白球 b只黑球任意取出一球后放回并再放入与取出的球同色的球c只再取第二次如此继续共取了n次问前n1次取出黑球后n2 n n1次取白球的概率是多少上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回当c 0时由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率这是一个传染病模型每次发现一个传染病患者都会增加再传染的概率到底谁说的对呢让我们用概率论的知识来计算一下每个人抽到入场券的概率到底有多大大家不必争先恐后你们一个一个按次序来谁抽到入场券的机会都一样大我们用Ai表示第i个人抽到入场券 i 1 2 3 4 5 显然 P A1 1 5 P 4 5 第1个人抽到入场券的概率是1 5 也就是说则表示第i个人未抽到入场券因为若第2个人抽到了入场券第1个人肯定没抽到也就是要想第2个人抽到入场券必须第1个人未抽到由于由乘法公式 P A2 4 5 1 4 1 5 计算得这就是有关抽签顺序问题的正确解答同理第3个人要抽到入场券必须第1 第2个人都没有抽到因此 4 5 3 4 1 3 1 5 继续做下去就会发现每个人抽到入场券的概率都是1 5 抽签不必争先恐后也就是说有三个箱子分别编号为1 2 3 1号箱装有1个红球4个白球 2号箱装有2红3白球 3号箱装有3红球某人从三箱中任取一箱从中任意摸出一球求取得红球的概率解记Ai 球取自i号箱 i 1 2 3 B 取得红球 B发生总是伴随着A1 A2 A3之一同时发生其中A1 A2 A3两两互斥另一个例子将此例中所用的方法推广到一般的情形就得到在概率计算中常用的全概率公式对求和中的每一项运用乘法公式得 P B P A1B P A2B P A3B 代入数据计算得 P B 8 15 运用加法公式得到即B A1B A2B A3B 且A1B A2B A3B两两互斥 3 全概率公式与贝叶斯公式上一页下一页返回一个事件发生全概率公式上一页下一页返回解设事件Bi是一批产品中有i个次品 i 0 1 2 3 4 设事件A是这批产品通过检查即抽样检查的10个产品都是合格品则有P A B0 1 所求的概率某一事件A的发生有各种可能的原因如果A是由原因Bi i 1 2 n 所引起则A发生的概率是每一原因都可能导致A发生故A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和即全概率公式 P ABi P Bi P A Bi 全概率公式我们还可以从另一个角度去理解由此可以形象地把全概率公式看成为由原因推结果每个原因对结果的发生有一定的作用即结果发生的可能性与各种原因的作用大小有关全概率公式表达了它们之间的关系诸Bi是原因A是结果例甲乙丙三人同时对飞机进行射击三人击中的概率分别为0 4 0 5 0 7 飞机被一人击中而击落的概率为0 2 被两人击中而击落的概率为0 6 若三人都击中飞机必定被击落求飞机被击落的概率设A 飞机被击落 Bi 飞机被i人击中 i 1 2 3 由全概率公式则A B1A B2A B3A 解 P A P B1 P A B1 P B2 P A B2 P B3 P A B3 可求得为求P Bi 设Hi 飞机被第i人击中 i 1 2 3 将数据代入计算得 P B1 0 36 P B2 0 41 P B3 0 14 P A P B1 P A B1 P B2 P A B2 P B3 P A B3 0 458 0 36 0 2 0 41 0 6 0 14 1 即飞机被击落的概率为0 458 于是该球取自哪号箱的可能性最大这一类问题是已知结果求原因在实际中更为常见它所求的是条件概率是已知某结果发生条件下探求各原因发生可能性大小某人从任一箱中任意摸出一球发现是红球求该球是取自1号箱的概率或者问另一个引例贝叶斯公式有三个箱子分别编号为1 2 3 1号箱装有1个红球4个白球 2号箱装有2红球3白球 3号箱装有3红球某人从三箱中任取一箱从中任意摸出一球发现是红球求该球是取自1号箱的概率 1 1红4白某人从任一箱中任意摸出一球发现是红球求该球是取自1号箱的概率记Ai 球取自i号箱 i 1 2 3 B 取得红球求P A1 B 运用全概率公式计算P B 将这里得到的公式一般化就得到贝叶斯公式贝叶斯公式上一页下一页返回该公式于1763年由贝叶斯 Bayes 给出它是在观察到事件B已发生的条件下寻找导致B发生的每个原因的概率例3 某工厂由甲乙丙三台机器生产同一型号的产品它们的产量各占30 35 35 废品率分别为5 4 3 产品混在一起 1 从该厂的产品任取一件求它是废品的概率 2 若取出产品是废品求它是由甲乙丙三台机器生产的概率各是多少上一页下一页返回上一页下一页返回例4 对以往的数据分析结果表明当机器调整良好时产品的合格率为90 而机器未调整良好时其合格率为30 每天机器开动时机器调整良好的概率为75 试求已知某日生产的第一件产品是合格品机器调整良好的概率是多少解设A 机器调整良好 B 生产的第一件产品为合格品已知上一页下一页返回练习甲乙丙三人独立地向同一飞机射击设三人射中飞机的概率分别为0 4 0 5 0 7 一人射中飞机被击落的概率为0 2 两人射中飞机被击落的概率为0 6 三人射中则飞机被击落求飞机被击落的概率解设Bi 有i人射中 i 1 2 3 A 飞机被击落则P B1 0 4 1 0 5 1 0 7 1 0 4 0 5 1 0 7 1 0 4 1 0 5 0 7 0 36P B2 0 4 0 5 1 0 7 0 4 1 0 5 0 7 1 0 4 0 5 0 7 0 41P B3 0 4 0 5 0 7 0 14P A B1 0 2P A B2 0 6P A B3 1且B1 B2 B3两两互不相容故有由全概率公式得P A P B1 P A B1 P B2 P A B2 P B3 P A B3 0 36 0 2 0 41 0 6 0 14 1 0 458 贝叶斯公式在实际中有很多应用它可以帮助人们确定某结果事件B 发生的最可能原因例某一地区患有癌症的人占0 005 患者对一种试验反应是阳性的概率为0 95 正常人对这种试验反应是阳性的概率为0 04 现抽查了一个人试验反应是阳性问此人是癌症患者的概率有多大则表示抽查的人不患癌症已知P C 0 005 P 0 995 P A C 0 95 P A 0 04 求解如下设C 抽查的人患有癌症 A 试验结果是阳性求P C A 现在来分析一下结果的意义由贝叶斯公式可得代入数据计算得P C A 0 1066 2 检出阳性是否一定患有癌症 1 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义如果不做试验抽查一人他是患者的概率患者阳性反应的概率是0 95 若试验后得阳性反应则根据试验得来的信息此人是患者的概率为从0 005增加到0 1066 将近增加约21倍 1 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义 P C A 0 1066 P C 0 005 试验结果为阳性此人确患癌症的概率为P C A 0 1066 2 即使你检出阳性尚可不必过早下结论你有癌症这种可能性只有10 66 平均来说 1000个人中大约只有107人确患癌症此时医生常要通过再试验来确认 P Ai i 1 2 n 是在没有进一步信息不知道事件B是否发生的情况下人们对诸事件发生可能性大小的认识当有了新的信息知道B发生人们对诸事件发生可能性大小P Ai B 有了新的估计贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化在贝叶斯公式中 P Ai 和P Ai B 分别称为原因的验前概率和验后概率解一事件的独立性引例一个盒子中有只黑球只白球从中有放回地摸球求 1 第一次摸到黑球的条件下第二次摸到黑球的概率 2 第二次摸到黑球的概率例 A 第一次摸到黑球 B 第二次摸到黑球则设为任意两个随机事件如果即事件发生的可能性不受事件的影响则称事件对于事件独立显然对于独立则对于也独立故称与相互独立事件的独立性independence 定义事件的独立性判别定义事件与事件独立的充分必要条件是证明实际问题中事件的独立性可根据问题的实际意义来判断如甲乙两人射击甲击中与乙击中可以认为相互之间没有影响即可以认为相互独立定理下列四组事件有相同的独立性证明若A B独立则所以独立定理定义8 上一页下一页返回定义设A B C是三事件如果具有等式P AB P A P B P BC P B P C P CA P C P A 则称三事件A B C两两独立定义9 上一页下一页返回定义设A1 A2 An是n个事件如果对于任意的1 i j n有P AiAj P Ai P Aj 则称这n个事件A1 A2 An是两两独立的注意一组事件两两独立并不能保证它们相互独立概念辨析事件与事件独立事件与事件互不相容事件与事件为对立事件例1 假设我们掷两次骰子并定义事件A 第一次掷得偶数 B 第二次掷得奇数 C 两次都掷得奇数或偶数证明A B C两两独立但A B C不相互独立证明容易算出上一页下一页返回例2 甲乙两射手射击同一目标他们击中目标的概率分别为0 9与0 8 求在一次射击中每人各射一次目标被击中的概率上一页下一页返回 2 伯努利试验模型定义10 上一页下一页返回定理1 上一页下一页返回例有一批棉花种子其出苗率为0 67 现每穴种4粒种子 1 求恰有粒出苗的概率 0 k 4 2 求至少有两粒出苗的概率 1 该试验为4重伯努利试验解 2 设表示至少有2粒出苗的事件则例设某人打靶命中率为0 7 重复射击5次求恰好命中3次的概率解该试验为5重伯努利试验且所求概率为 n 5 p 0 7 q 0 3 k 3 练习设有8门大炮独立地同时向一目标各射击一次若有不少于2发炮弹命中目标时目标就被击毁如果每门炮命中目标的概率为0 6 求目标被击毁的概率解 8门大炮独立地同时向一目标各射击一次相当于8重贝努里试验所求概率为 p p8 2 p8 3 p8 8 1 p8 0 p8 1 1 C800 60 0 48 C810 61 0 47 0 991

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