空间点线面的位置关系(优质课).ppt

空间图形是丰富的 它由一些基本的图形 点 线 面组成 认识清楚它们的位置关系 对于我们认识空间图形是很重要的 4空间图形的基本关系与公理 观察长方体 你能发现长方体的顶点 棱所在的直线 以及侧面 地面之间的关系吗 长方体由上下 前后 左右六个面围成 有些面是平行的 有些面是相交的 有些棱所在的直线与面平行 有些棱所在的直线与面相交 每条棱所在的直线都可以看作是某个面内的直线等等 空间中的点 直线 平面之间有什么位置关系 是我们接下来要讨论的问题 常常把水平的平面画成锐角为450 横边长等于其邻边长2倍的平行四边形 如果一个平面被另一个平面挡住 则这遮挡的部分用虚线画出来也可以不画 平面的概念与画法 几何里的平面是无限延展的 表示 平面 平面 平面 用表示平行四边形的四个顶点或两个相对顶点的字母来表示 如平面ABCD或平面AC 平面BD 1 空间点与直线的位置关系有两种 点A在直线上 点B在直线外 2 空间点与平面的位置关系有两种 点B在平面内 点A在平面外 记作 记作 记作 记作 3 空间直线与平面的位置关系有三种 1 直线在平面内 直线与平面只有一个公共点 2 直线与平面相交 记作 直线a 平面 点A 直线与平面没有公共点 3 直线与平面平行 记作 2 两个平面相交 两个平面不重合 并且有公共点 4 空间平面与平面的位置关系有两种 1 两个平面平行 没有公共点的两个平面 记作 记作 5 空间两条直线的位置关系 平行直线 相交直线 异面直线 在同一个平面内 没有公共点的两条直线 在同一个平面内 有且只有一个公共点的两条直线 不在任何一个平面内 没有公共点的两条直线 记作 a b 记作 点 线 面之间的位置关系及语言表达 点A在直线a上 A a 点A不在直线a上 点A在平面 上 A 点A不在平面 上 直线a在平面 内 直线a在平面 外 b A a 小结 1 如图 用符号表示下列图形中点 直线 平面之间的位置关系 1 2 2 观察长方体中点 直线 平面之间的位置关系 1 过一点可以做几条直线 两点呢 2 过平面内一点可以做几个平面 两点呢 三点呢 思考 back 公理1 经过不在同一直线上的三点 有且只有一个平面 图形语言 符号语言 3 平面的基本性质 推论1经过一条直线和这条直线外一点 有且只有一个平面 已知点A a 求证过点A和直线a可以确定一个平面 3 平面的基本性质 推论2经过两条相交直线 有且只有一个平面 推论3经过两条平行直线 有且只有一个平面 推论1经过一条直线和这条直线外一点 有且只有一个平面 注3 公理2及其三个推论是确定平面以及判断两个平面重合的依据 是证明点 线共面的依据 也是作截面 辅助平面的依据 公理2 经过不在同一直线上的三点 有且只有一个平面 3 平面的基本性质 思考 1 不共面的四点可以确定多少个平面 2 共点的三条直线可以确定多少个平面 4个 1个或3个 图形语言 公理2 若一条直线上的两点在一个平面内 则这条直线在此平面内 符号语言 3 平面的基本性质 思考 两个平面会不会只有一个公共点呢 不会 因为平面是无限延展的 因此 两个平面有一个公共点 必然有无数个公共点 并且这些公共点在一条直线上 3 平面的基本性质 P 公理3 若两个不重合的平面有一个公共点 则它们有且只有一条过该点的公共直线 图形语言 符号语言 该公理反映了平面与平面的位置关系 3 平面的基本性质 3 填空 的三点确定一个平面 两条或直线确定一个平面 有一个公共点的两个平面交于的一条直线 不在同一直线上 平行 相交 唯一 4 下列命题正确的是 A 经过三点确定一个平面B 经过一条直线和一个点确定一个平面C 四边形确定一个平面D 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 D 5 判断下列命题是否正确 1 平面 与平面 相交 它们只有有限个公共点 2 经过一条直线和这条直线外的一点 有且只有一个平面 3 经过两条相交直线 有且只有一个平面 4 如果两个平面有三个不共线的公共点 那么这两个平面重合 练习 back 我们知道 在同一平面内 如果两条直线都和第三条直线平行 那么这两条直线互相平行 在空间这一规律是否还成立呢 观察 将一张纸如图进行折叠 则各折痕及边a b c d e 之间有何关系 a b c d e 3 平面的基本性质 符号表示 4 公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行 平行具有传递性 注4 该公理是判断空间两条直线平行的方法之一 即要证明两条直线平行 一般利用第三条直线作为联系两直线的中间环节 3 平面的基本性质 例在正方体ABCD A1B1C1D1中 直线AB与C1D1 AD1与BC1是什么位置关系 为什么 解 1 AB A1B1 C1D1 A1B1 AB C1D1 2 AB C1D1 且AB C1D1 ABC1D1为平行四边形 故AD1 BC1 练习 上例中 AA1与CC1 AC与A1C1的位置是什么关系 例已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形 E F G H分别是AB BC CD DA的中点 连结EF FG GH HE 求证 EFGH是一个平行四边形 问1 若上例加上条件AC BD 则四边形EFGH是一个什么图形 见中点找中点 构造三角形的中位线是证明平行的常用方法 EH是 ABD的中位线 EH FG且EH FG EFGH是一个平行四边形 证明 连结BD 同理 FG BD且FG BD EH BD且EH BD 菱形 见中点找中点 构造三角形的中位线是证明平行的常用方法 G back 4 点线共面问题 1 证明的主要依据 公理1 公理2及其三个推论 2 证明的常用方法 纳入平面法 先由部分元素确定一个平面 再证明其余有关的点 线在此平面内 辅助平面法 先证明有关的点 线确定平面 再证明其余元素确定平面 最后证明平面 重合 例证明两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内 已知 AB AC A AB BC B AC BC C 求证 直线AB BC AC共面 证明 因为AB AC A 所以直线AB AC确定一个平面 推论2 因为B AB C AC 所以B C 故BC 公理1 因此直线AB BC CA共面 确定一个面 再证明其余线在该面内 4 点线共面问题 4 点线共面问题 证明 一条直线与两条平行直线都相交 则这三条直线共面 已知 a b a c A b c B 求证 直线a b c共面 证明 因为a b 所以直线a b确定一个平面 推论3 因为A a B b 所以A B 又因为A c B c 故AB 公理1 因此直线a b c共面 4 点线共面问题 思考已知一条直线与三条平行直线都相交 证明这四条直线共面 已知 a b c a l A b l B c l C 求证 直线l与a b c共面 证明 a b 直线a b确定一个平面 推论3 l a A l b B A B 又A l B l 故l 同理 直线b c确定一个平面 且l 平面 与 都过两相交直线b l 又 两相交直线确定一个唯一的平面 与 重合 故l与a b c共面 证明两个平面重合是证明直线在平面内问题的重要方法 4 点线共面问题 练已知a b a b A P b PQ a 求证 PQ 4 点线共面问题 1 证明的主要依据是公理3 如果两个平面相交 则这两个平面的公共点共线 如果两个平面相交 那么一个平面内的直线和另一平面的交点必在这两个平面的交线上 2 证明的常用方法 首先找出两个平面 再证这三个点都是这两个平面的公共点 选择其中两点确定一条直线 然后证明另一个点也在其上 一般地 这条直线看作某两个平面的交线 往证第三个点也是两个面的公共点 证明三线共点问题 先证明两条直线交于一个点 再证明第三条直线经过这个点 转化为证明点在线上的问题 5 证明三点共线 三线共点的问题 例1已知三角形ABC的三条边AB BC AC与平面 分别交于P Q R 求证 P Q R共线 B A Q R C P 证明 同理Q R也为公共点 所以P Q R共线 要证明各点共线 只要证明他们是两个相交平面的公共点 5 证明三点共线 三线共点的问题 空间四边形ABCD中 E F分别是AB和CB上的点 G H分别是CD和AD上的点 且EH与FG相交于K 求证 EH BD FG三条直线相交于同一点 分析 已知EH FG K 要证EH BD FG共点 即要证明B D K三点共线 而BD是面ABD和面CBD的交线 所以往证K 面ABD 面CBD 而显然 由EH 面ABD K EH 可得K 面ABD 同理 由FG 面CBD K FG 可得K 面CBD 5 证明三点共线 三线共点的问题 F E O E F 例几何体中的截面问题 两平面的交线问题 Q 即交线为QN 例几何体中的截面问题 两平面的交线问题 拓展 正方体截面形状小结 例几何体中的截面问题 两平面的交线问题 正方体中 试画出过其中三条棱的中点P Q R的平面截得正方体的截面形状 back 正方体中 试画出过其中三条棱的中点P Q R的平面截得正方体的截面形状 S 即交线为RS交AA1于中点G K G H S T 即交线为QT交CC1于中点H T 例几何体中的截面问题 两平面的交线问题 back 例几何体中的截面问题 两平面的交线问题 正方体中 试画出过其中三条棱的中点P Q R的平面截得正方体的截面形状 back 画出四面体ABCD中过E F G三点的截面与四面体各面的交线 P 即交线为GP D H 即交线为FH 例几何体中的截面问题 两平面的交线问题 back 小结 空间点 线 面的位置关系平面的基本性质 四个公理 证明直线平行的常用方法点线共面 三线共点 三点共线问题的证明