点到直线的距离公式的七种推导方法.doc

点到直线的距离公式的七种推导方法 已知点 直线求点P到直线 的距离。（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线）一、 定义法证：根据定义，点P到直线 的距离是点P到直线 的垂线段的长，如图1，设点P到直线的垂线为 ，垂足为Q，由 可知 的斜率为 的方程：与联立方程组解得交点 二、 函数法证：点P到直线 上任意一点的距离的最小值就是点P到直线的距离。在上取任意点 用两点的距离公式有，为了利用条件上式变形一下，配凑系数处理得：当且仅当时取等号所以最小值就是 三、不等式法证：点P到直线 上任意一点Q的距离的最小值就是点P到直线的距离。由柯西不等式：当且仅当时取等号所以最小值就是四、转化法证：设直线 的倾斜角为 过点P作PM 轴交于M 显然所以 易得MPQ （图2）或MPQ（图3）在两种情况下都有所以 五、三角形法证：P作PM 轴交于M，过点P作PN 轴交于N（图4）由解法三知；同理得 在RtMPN中，PQ是斜边上的高六、参数方程法证：过点作直线 交直线于点Q。(如图1)由直线参数方程的几何意义知，将 代入 得整理后得 当 时，我们讨论 与 的倾斜角的关系：当 为锐角时 （）有（图2）当 为钝角时 （）有（图3）得到的结果和上述形式相同，将此结果代入得图五七、向量法证：如图五，设直线的一个法向量，Q直线上任意一点，则。从而点P到直线的距离为：附：方案一：设点P到直线的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ可知，直线PQ的斜率为（A0），根据点斜式写出直线PQ的方程，并由与PQ的方程求出点Q的坐标；由此根据两点距离公式求出PQ，得到点P到直线的距离为d 方案二：设A0，B0，这时与轴、轴都相交，过点P作轴的平行线，交于点；作轴的平行线，交于点，由得.所以，PPSS由三角形面积公式可知：SPPS所以可证明，当A=0时仍适 用