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1. 用单位脉冲序列 及其加权和表示题1图所示的序列。7. 设线性时不变系统的单位脉冲响应 和输入序列 如题7图所示，要求画出输出输出 的波形。解：由题意可知：h(n)=2,1,0.5,0,0X(n)=-1,0,0,1,0,2,0所以：Y(n)=X(n)*h(n)由列表法求解：y(n)=2,1,0.5, 2, 1, 4.5, 2, 1; n=2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 513 有一连续信号xa(t)=cos(2ft+j)， 式中， f=20 Hz, j=/2。（1） 求出xa(t)的周期；（2） 用采样间隔T=0.02 s对xa(t)进行采样， 试写出采样信号 的表达式；（3） 画出对应 的时域离散信号（序列）x(n)的波形， 并求出x(n)的周期。解： （1） xa(t)的周期为：（2）（3） x(n)的数字频率=0.8， 故 ， 因而周期N=5， 所以 x(n)=cos(0.8n+/2)画出其波形如题13解图所示。17.已知系统的差分方程为：Y(n)=-a1y(n-1)-a2y(n-2)+bx(n)其中，a1=-0.8，a2=0.64,b=0.866。（1） 编写求解系统单位脉冲响应。（2） 。1 设X(ej)和Y(ej)分别是x(n)和y(n)的傅里叶变换， 试求下面序列的傅里叶变换： (2) x*(n)(6) nx(n)解：（2）（6）因为：对该式两边求导， 得到:所以：5. 设题5图所示的序列x(n)的FT用X(ej)表示， 不直接求出X(ej)， 完成下列运算或工作：23 设系统由下面差分方程描述： y(n)=y(n1)+y(n2)+x(n1)（1） 求系统的系统函数H(z)， 并画出极零点分布图；（2） 限定系统是因果的， 写出H(z)的收敛域， 并求出其单位脉冲响应h(n)；（3） 限定系统是稳定性的， 写出H(z)的收敛域， 并求出其单位脉冲响应h(n)。 解： （1） y(n)=y(n1)+y(n2)+x(n1)将上式进行Z变换， 得到 Y(z)=Y(z)z1+Y(z)z2+X(z)z1因此 零点为z=0。 令z2z1=0， 求出极点： 极零点分布图如题23解图所示。 （2） 式中： 令n0时， h(n)=ResF(z), z1+ResF(z), z2因为h(n)是因果序列, n0时， h(n)=0， 故（3）30.假如系统函数如下式：试用matlab语言判断系统是否因果稳定。 (9) x(n)=cos(0n)RN(N)2 已知长度为N=10的两个有限长序列：做图表示x1(n)、 x2(n)和y(n)=x1(n) * x2(n)， 循环卷积区间长度L=10。9 已知x(n)长度为N， X(k)=DFTx(n)，求Y(k)与X(k)的关系式。 解: 12 已知f(n)=x(n)+jy(n)， x(n)与y(n)均为长度为N的实序列。 设F(k)=DFTf(n)N 0kN1解: 14 两个有限长序列x(n)和y(n)的零值区间为x(n)=0 n0, 8ny(n)=0 n0, 20n对每个序列作20点DFT， 即X(k)=DFTx(n) k=0, 1, , 19Y(k)=DFTy(n) k=0, 1, , 19试问在哪些点上f(n)与x(n)*y(n)值相等, 为什么？解：只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上， 才满足f(n)=fl(n),所以 f(n)=fl(n)=x(n)*y(n) 7n1925.已知序列h(n)=R6(n),x(n)=nR8(1)计算Yc(n)=h(n) x(n);(2).(3).解：1 如果某通用单片计算机的速度为平均每次复数乘需要4 s， 每次复数加需要1 s， 用来计算N=1024点DFT， 问直接计算需要多少时间。 用FFT计算呢？照这样计算， 用FFT进行快速卷积对信号进行处理时， 估计可实现实时处理的信号最高频率。解: 当N=1024=210时， 直接计算DFT的复数乘法运算次数为N2=10241024=1 048 576次复数加法运算次数为N（N1）=10241023=1 047 552次直接计算所用计算时间TD为TD=410610242+1 047 552106=5.241 856 s用FFT计算1024点DFT所需计算时间TF为所以， 每秒钟处理的采样点数：由采样定理知， 可实时处理的信号最高频率为：3 如果将通用单片机换成数字信号处理专用单片机TMS320系列， 计算复数乘和复数加各需要10 ns。 请重复做上题。解：TD=1010910242+101091 047 552=20.961 28 ms快速卷积计算时间Tc约为：可实时处理的信号最高频率fmax为：6.按照下面的IDFT算法编写matlab语言IFFT程序，其中的FFT部分不用写出清单，可调用fft函数。并分别对单位脉冲序列、矩形序列、三角序列进行FFT和IFFT，验证所编写程序。1. 已知系统用下面差分方程描述: 试分别画出系统的直接型、 级联型和并联型结构。 式中x(n)和y(n)分别表示系统的输入和输出信号。解：将上式进行Z变换， 得到(1) 按照系统函数H(z)， 根据Masson公式， 画出直接型结构如题1解图（一）所示。(2) 将H(z)的分母进行因式分解：按照上式可以有两种级联型结构:a.b.(3) 将H(z)进行部分分式展开：9. 已知FIR滤波器的系统函数为试画出该滤波器的直接型结构和线性相位结构。 解： 画出滤波器的直接型结构、 线性相位结构分别如题9解图(a)、 (b)所示。4. 已知模拟滤波器的系统函数Ha(s)如下：式中a、 b为常数， 设Ha(s)因果稳定， 试采用脉冲响应不变法将其转换成数字滤波器H(z)。Ha(s)的极点为s1=a+jb, s2=ajb将Ha(s)部分分式展开（用待定系数法）：比较分子各项系数可知， A1、 A2应满足方程：解之得， A1=1/2， A2=1/2， 所以4 已知模拟滤波器的系统函数如下：双线性变换法将其转换为数字滤波器。 设T=2 s。8 题8图中h1(n)和h2(n)是偶对称序列， N=8， 设 H1(k)=DFTh1(n) k=0， 1， ， N1 H2(k)=DFTh2(n) k=0， 1， ， N 1（1） 试确定H1(k)与 H2(k)的具体关系式。 | H1(k)|=| H2(k)|是否成立？为什么？（2） 用h1(n)和h2(n)分别构成的低通滤波器是否具有线性相位？群延时为多少？解： （1） 由题8图可以看出h2(n)与h1(n)是循环移位关系： h2(n)=h1(n+4)8R8(n)由DFT的循环移位性质可得(2) 由题8图可知， h1(n)和h2(n)均满足线性相位条件： h1(n)=h1(N1n)h2(n)=h2(N1n)所以， 群延时为13. 用窗函数法设计一个线性相位低通FIRDF， 要求通带截止频率为/4 rad， 过渡带宽度为8/51 rad， 阻带最小衰减为45 dB。 （1） 选择合适的窗函数及其长度， 求出h(n)的表达式。 （2*） 用MATLAB画出损耗函数曲线和相频特性曲线。 解： （1） 根据教材7.2.2节所给步骤进行设计。 根据对阻带衰减及过渡带的指标要求， 选择窗函数的类型， 并估计窗口长度N。 由习题9中教材表7.2.2， 本题应选择哈明窗。 因为过渡带宽度Bt=8/51， 所以窗口长度N为N6.6/Bt=42.075， 取N=43。 窗函数表达式为 构造希望逼近的频率响应函数Hd(ej):式中 求hd(n): 加窗: （2） 调用MATLAB函数设计及绘图程序ex713.m如下： %ex713.m： 调用fir1设计线性相位低通FIR滤波器并绘图wp=pi/4； Bt=8*pi/51； wc=wp+Bt/2； N=ceil(6.6*pi/Bt)； hmn=fir1(N-1， wc/pi， hamming(N)rs=60； a=1； mpplot(hmn， a， rs) %调用自编函数mpplot绘制损耗函数和相频特性曲线程序运行结果即损耗函数和相频特性曲线如题13解图所示， 请读者运行程序查看h(n)的数据。
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