特征值特征向量的应用.doc

特征值特征向量的应用1）求方阵的高次幂一般说,求矩阵的高次幂比较困难,但若矩阵A 可以对角化,即存在可逆矩阵使.其中是的全部特征值.且，则对任意正整数有.所以可通过A 的相似对角阵来求A 。例1 作为计算矩阵高次幂的一个实例,考察如下问题:设某城市共有3 0 万人从事农、工、商工作,假定这个总人数在若干年内保持不变,而社会调查表明:(1)在这30 万就业人员中,目前约有15 万人从事农业,9 万人从事工业,6 万人经商;(2)在从农人员中,每年约有20% 改为从工,10% 改为经商;(3)在从工人员中,每年约有20% 改为从农,10% 改为经商;(4)在从商人员中,每年约有10% 改为从农, 1 0 % 改为从工。现欲预测一、二年后从事各业人员的人数,以及经过多之后,从事各业人员总数之发展趋势。解:若用3 维向量X 表示第i年后从事这三种职业的人员总数, 则已知X = ,而欲求X,X并考察在n时X 的发展趋势,引进3 阶矩阵A=a用以刻画从事这三种职业人员间的转移,例如:a =0.1 表明每年有10%的从工人员改去经商。于是有A = , 由矩阵乘法得X =AX= AX = ,X 2 = A X = AX = 所以X = A X=AX要分析X 就要计算A 的n次幂A ,可先将A 对角化即 =(1- )(0.7- )(0.5- )特征值为=1, =0.7, =0.5 分别求出对应的特征向量q,q,q 并令Q= q,q,q ,则有A= QBQ 从而有A =QBQ ,再由X =AX ，B= ,B 可知n时B将趋于,故知A 将趋于QQ,因而X 将趋于一确定常量X * , 因而X 亦必趋于X * , 由X =AX 知X* 必满足X*=AX*, 故X* 是矩阵A 属于特征值= 1 的特征向量, X * =t= ,t +t +t =3 =30,t =10,照次规律转移,多年之后,从事这三种职业的人数将趋于相等, 均为10 万人。2求方阵的多项式的行列式的值设阶方阵可对角化，即存在可逆矩阵使, 其中，是的全部特征值. 因此对方阵的多项式，有.即 .例1 设n阶实对称矩阵A 满足A =A,且A 的秩为r, 试求行列式的值。解: 设AX =X, X 0,是对应于特征值的特征向量, 因为A = A , 则X = A X =AX=X,从而有(- )X=0,因为X 0所以( -1)=0,即=1 或0,又因为A 是实对称矩阵,所以A 相似于对角矩阵,A 的秩为r, 故存在可逆矩阵P , 使得PAP= =B , 其中E 是r阶单位矩阵, 从而=23 由特征值与特征向量反求矩阵若矩阵A 可对角化,即存在可逆矩阵P 使P AP= B , 其中B 为对角矩阵,则A =PBP 例1 设3 阶实对称矩阵A 的特征值为=-1, =1,对应于 的特征向量为P =,求矩阵A。解:因为A 是实对称矩阵,所以A 可以对角化,即A 有三个线性无关的特征向量,设对应于=1的特征向量为P=,它应与特征向量P 正交, 即P,P= 0X+X+X=0,该齐次方程组的基础解系为P =,P =,它们即是对应于=1 的特征向量。取P =(P ,P ,P )=,B=则P AP= B , 于是A =PBP =4 判断矩阵是否相似例1 下述矩阵是否相似A = , A =,A = 解: 矩阵A ,A ,A 的特征值都是=2(二重), =3,其中A已是对角阵,所以只需判断A ,A 是否可对角化先考查A ,对于特征值=2 ,解齐次线性方程组(2E- A )X=0 得其基础解系为=,由于=2 是A2 的二重特征值,却只对应于一个特征向量,故A 不可对角化或者说A 与A 不相似。再考查A ,对于特征值=2,解齐次线性方程组(2E- A ,)X=0 得基础解系;对于特征值2=3 解齐次线性方程组(3E- A ,)X=0,得基础解系由于A ,有三个线性无关的特征向量,所以A , 可对角化, 即A ,与A 相似。5 求特殊矩阵的特征值例1 设A 为阶实对称矩阵,且A=2A,又r(A)= rn ,求(1)A 的全部特征值;(2)行列式的值。解:(1)设为A 的任一特征值, 为A 的对应于特征值的特征向量,所以A = ,有A=A = , 又因为A=2A,所以A=2A =2 ,所以=2 ,由此可得 =2 或0,因为A 是实对称矩阵,所以A 必能对角化即A B= ,且r(A)=r(B),故2 的个数为A 的秩数,即A 的特征值为r个2 及( n- r)个0。(2)因为由(1)可得A B,即存在可逆矩阵C ,使得C AC = B ,故有A = CBC = = =-(-1)