排列组合中“重复”的产生及纠正.doc

排列组合中“重复”的产生及纠正有些类型的排列、组合应用题是较容易出现错误解法的，其中产生的错误原因之一是由于重复造成的。现举几例对排列组合问题中“重复”现象产生的原因加以剖析、纠正，以期望对于提高解排列、组合应用题及分析解决问题的能力能有较大益处。一、 “至少”问题易重复例1：在100件产品中有3件次品，从这些产品中取出4件，至少有1件次品的抽法有多少种？ 解法1：先在3件次品中抽出1件，抽法有种；然后在其余的99件产品（含未被抽出的2件次品）中任意抽出3件，抽法有种，这样抽出的4件产品至少含1件次品。根据分步计数原理，符合题意的抽法有（种）。点评：解法1 是错的，假设A、B、C分别为三件次品，D为某一合格品，“先抽出A（的一种可能），再抽B、C、D（的一种可能）”与先抽出B，再抽A、C、D是相同的抽法，所以解法1含3件次品的抽法重复而导致错误。又，假设E是另一合格品，“先抽出A，再抽出B、D、E”与“先抽出B，再抽出A、D、E”是相同的抽法，所以解法1中多出的种数还有含2件次品的抽法重复在内。正确方法：直接法或间接法种。2、均分组问题易重复例2：将8个不同的小球分成四堆，每堆2个，共有多少种不同的分堆方法？ 解法1 ：分四步完成。首先，从8个不同的小球中任意取出2个作为一堆 ，有种取法；然后，从其余的6个小球中任取2个作为一堆，有种取法；再者，从剩下的4个小球中任取2个作为一堆，有种取法；最后，留下的2个作为一堆，有种取法；根据分步计数原理，共有不同的分堆方法种数为种。点评：解法1是错误的，比如将8个不同的小球编号，对应号码分别为1，2，3，8。第一种取法：第一次取出1，2号球，第二次取出3，4号球，第三次取出5，6号球，第四次取出7，8号球，分成了四组。第二种取法：第一次取出7，8号球，第二次取出1，2号球，第三次取出3，4号球，第四次取出5，6号球，分成了四组，不难看出这两种取法是同一种分组方法，因此解法1出现重复，导致错误。正确解法：根据分步计数原理，共有种取法，再除以均分堆的重复次，所以共有不同的分堆方法有种。3、多个位置要求兼顾的排列问题易重复例3：6人任意排成一排照相，甲不排在左端，乙不排在右端，共有多少种不同的排法？ 解法1 ：6个人任意排成一排排法总数为种，其中不合题意的排法分两类。第一类：甲排在左端，其余5个人排在剩下的5个位置上，有种排法；第二类：乙排在右端，其余5人排在剩下的5个位置上，有种排法。所以适合题意的排法有种。点评：解法1是错误的。解法1中在去掉“不符合题意的”排列时产生了重复减。原因：解法1第一类，甲在左端为中有左 中 右 左 中 右 甲 含乙 无乙 与 甲 无乙 乙 两种情况,左 中 右 左 中 右 甲 含乙 无乙 与 甲 无乙 乙 两种情况,故在“全部减去不符”中，甲在左端乙在右端的情况重复被减去，因而导致错误。正确解法：在的基础上应再补上多减去的甲在左且乙在右的一类排法有种，所以适合题意的排法有种。4、环排问题易重复例46个人围圆桌而坐，一共有多少种不同的排法？解法1：6个人围坐，又无其他限制，则总共种。点评：6个人围桌坐和6个人坐成一排是不同的，原因在于坐成一个圆形没有首尾之分。不妨设6个人为，坐法与其实是相同的。为此，可把某人固定一个位，其余5人尽量变换次序，其余5人此时可全排为。故正确的解法应为种。5、顺序固定问题易重复例5、某人的电子邮箱的密码由5位数字组成，为了提高保密程度，他决定再插入两个英文字母，原来的数字及顺序不变，求可构成的新密码的个数。解法1：新密码由5个数字和两个字母这7个不同元素组成，则可构成的新密码应为种。点评：虽然新密码由5个数字和两个字母这7个不同元素组成，但题中规定原来的数字及顺序不变，也即在7个元素的排列过程中，原来5个元素的相对位置是不能改变的。故正确的方法是先把7个不同的元素全排列，则应是种方法，对其中的一类排列分析：不妨设在第一、二两位，另5位上全排，共有种方法，而这种方法中只有一种是正确的，所以正确的方法应是种。 綜上，解排列组合问题，应按元素的性质进行分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不“重”不漏。