概率的乘法公式.doc

1.5 概率的乘法公式1.5.1 条件概率【问题1】3张奖券中只有一张能抽奖，现分别由3名同学无放回的抽取，问最后一名同学抽到奖券的概率是否比其他同学小？若抽到中奖券的概率用“”表示，没有抽到的用“”表示，用表示事件A中基本事件的个数，那么所有可能抽取情况为，用B表示最后一名同学抽到中奖奖券的事件，则，由古典概型可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为【问题2】如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少？因为已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么所有可能的抽取情况变为，由古典概型可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为，不妨记为.显然,知道第一名同学的抽取结果，即知道了事件A的发生，会影响事件B发生的概率，从而导致了.【问题3】对于上面的事件A和B，计算的一般想法是什么？既然已经知道了事件A的必然发生，所以只需局限在A发生的范围内考虑问题，在事件A发生的情况下事件B发生，等价于事件A和事件B同时发生，即AB发生，对于古典概型，由于组成事件A的各个基本事件发生的概率相等，因此其条件概率为. 为了把条件概率推广到一般情形，我们对上述公式作如下变形：因此有这一式子已经不涉及古典概型，可以将它作为条件概率的推广定义.一般地，设A，B为两个事件，且，称 为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率(conditional probability).一般地，把读作A发生的条件下B的概率。条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即如果B和C是两个互斥事件，则例1 在5道题中有3道理课题和2道文科题，如果不放回的依次抽取2道题，求：(1) 第1次抽到理科题的概率；(2) 第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3) 在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率。【答案】设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB.(1) 从5道题中不放回的依次抽取2道的事件数为根据分步乘法计数原理，于是(2) 因为，所以(3) 解法1由(1)(2)可得，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为解法2 因为，所以提升：在实际应用中，解法2是一种重要的求条件概率的方法。例2. 一个家庭有两个小孩，假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，问这时另一个小孩是男孩的概率是多少？【答案】一个家庭的两个小孩只有4中可能：两个都是男孩，第一个是男孩，第二个是女孩，第一个是女孩，第二个是男孩，两个都是女孩。由题目假定可知这4个基本事件发生是等可能的，根据题意，设基本事件空间为，A=“其中一个是女孩”，B=“其中一个是男孩”。则= (男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女) A= (男，女)，(女，男)，(女，女) B= (男，男)，(男，女)，(女，男) 问题是求在A发生的情况下，事件B发生的概率，即求法一：由上面分析可知，.由公式可得因此所求的条件概率为。法二：由上面分析可知，.由公式可得因此所求的条件概率为。例3. 已知有10只产品，其中6只只正品，4只次品，不放回的抽取两次(1) 已知第一次抽到的是次品，问第二次抽到正品的概率；(2) 已知第一次抽到的是正品，问第二次仍然抽到正品的概率；(3) 二次都抽到正品的概率;(4) 已知其中一次抽到的是正品，问另一次也抽到正品的概率；【答案】根据题意得：设正品编号为,，次品编号为,，基本事件空间是，其中共有90个基本事件，设事件表示第次抽到正品，事件表示第次抽到次品，则(1) ;(2) ;(3) ;(4) .例4. 一张储蓄卡的密码共有6为数字，每位数字都可以从09中任选一个。某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字。求(1) 任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；(2) 如果他记得密码的最后一位数字是偶数，不超过2次就按对的概率；【答案】设第次按对密码为事件，则表示不超过2次就按对密码.(1) 因为事件与事件互斥，由概率的加法公式得(2) 用B表示最后一位按偶数的事件，则.【习题1.5.1 (A)】1. 下列式子成立的是( )A. B. C. D. 【答案】 C2. 在10个形状大小均相同的球中有6个红球和4个白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸出红球的概率为( )【答案】 3. 已知，则等于( )A. B. C. D. 【答案】 A4. 抛掷红、黄两颗骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两颗骰子的点数之和大于20的概率是( )A. B. C. D. 【答案】 A5. 一个盒子里有20个大小形状相同的小球，其中5个红的，5个黄的，10个绿的，从盒子中任取一球，若它不是红球，则它是绿球的概率是( )A. B. C. D. 【答案】 C6. 根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为，则在吹东风的条件下下雨的概率为( )A. B. C. D. 【答案】 D7. 某人提出一个问题，甲先答，答对的概率为0.4，如果甲打错，由乙答，答对的概率为0.5，则问题由乙答对的概率为_.【答案】 8. 100件产品中有5件次品，不放回地抽取2次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率为_.【答案】 9. 从1100这100个整数中，任取一数，已知取出的一数是不大于50的数，则它是2或3的倍数的概率为_.【答案】 10. 把一枚硬币任意掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件B=“第二次出现正面”，求.【答案】 11. 盒中有25个球，其中10个白的、5个黄的、10个黑的，从盒子中任意取出一个球，已知它不是黑球，试求它是黄球的概率.【答案】 12. 1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从二号箱随机取出一球，问：(1)从1号箱取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？(2)从2号箱取出红球的概率是多少？【答案】 (1) (2) 13. 某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人，全班分成4个小组，第一组有学生10人，共青团员4人。从该班任选一个作学生代表.(1)求选到的是第一组的学生的概率；(2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率.【答案】 (1) (2) 【习题1.5.1 (B)】1. 已知，则 = ( )A. B. C. D. 【答案】 D2. 由“0”、“1”组成的三维数码组中，若用A表示“第二位数字为0”的事件，用B表示“第一位数字为0”的事件，则= ( )A. B. C. D. 【答案】 A3. 某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮三级风的概率为，即刮风又下雨的概率为，则在下雨天里，刮风的概率为( )A. B. C. D. 【答案】 C4. 一个口袋中装有2个白球和3个黑球，则先摸出一个白球后放回，在摸出一个白球的概率是( )A. B. C. D. 【答案】 C5. 把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为( )A. 1B. C. D. 【答案】 B6. 设某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8，活到25岁以上的概率为0.4。现有一 个20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是_.【答案】 7.一个口袋内装有2个白球，3个黑球，则：(1) 先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率?(2) 先摸出1个白球后不放回，再摸出1个白球的概率?【答案】 (1) (2) 8. 某种元件用满6000小时未坏的概率是，用满10000小时未坏的概率是，现有一个 此种元件，已经用过6000小时未坏，求它能用到10000小时的概率.【答案】 9. 某个班级共有学生40人，其中团员15人，全班分成四个小组，第一组有学生10人，其中团员4人。如果要在班内任选一人当学生代表.(1) 求这个代表恰好在第一小组内的概率(2) 求这个代表恰好是团员代表的概率(3) 求这个代表恰好是第一小组内团员的概率(4) 现在要在班内任选一个团员代表，问这个代表恰好在第一小组内的概率【答案】 (1) (2) (3) (4) 10. 市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品合格率是95%，乙厂合格率是80%，求(1) 市场上灯泡的合格率是多少？(2) 市场上合格品中甲厂站百分之几？(保留两位有效数字)【答案】 (1) 90.5% (2) 73.48%11. 一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，问：这时另一个小孩也是女孩的概率？(每个小孩是男孩和女孩的概率相等)【答案】 12. 在一批电子元件中任取一件检查，是不合格品的概率为0.1，是废品的概率为0.01，已知取到了一件不合格品，它不是废品的概率是多少？【答案】 0.113.已知男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲，从100个男人和100个女人中任选一人.(1) 求此人患色盲的概率；(2) 如果此人是色盲，求此人是男人的概率.【答案】 (1) 2.625% (2)