Duncan-Chang模型第四章本构模型.doc

第四章 本构模型第一节 邓肯张（DuncanChang）模型（1）（2）复合地基的数值解法主要以有限元方法为主，因为有限元法可以较方便地模拟桩土之间的相互作用，较灵活的处理复杂边界条件，而且还比较容易与其他方法相耦合，因此受到学术界的青睐。（3）（4）复合地基有限元方法大致可以分为两类，一类是采用增强体单元界面单元土体单元进行计算，另一类是采用增强体复合单元土体单元进行计算。前一类又可称为“群桩”有限元，后一类又可称为复合模量分析法（5）（6）（7（8）（9）在“群桩”分析方法中，一般对桩土分别采用不同的计算模型计算，桩通常采用线弹性模型，桩间土采用非线弹性模型或弹塑性模型。采用这种方法，可较好的考虑桩土之间的相互作用和桩土之间的相对滑移，能够较好地分析桩土之间的荷载传递规律，以及桩土之间的相互影响。但由于剖分单元较多，所以计算工作量较大。采用复合模量法进行有限元分析与一般平面有限元分析没有什么区别。在分析中，将加固区视为由桩和土组成的均匀各向异性的复合材料，通过恰当的方式建立反应复合地基特性的本构方程，然后进行有限元计算。复合本构有限元法（10）的优点在于将桩均匀的“弥散”于整个加固区当中，不用单独剖分单元，计算工作量较小。其缺点是无法分析桩土之间的相互作用，此方法无法分析承载机理。邓肯张模型提出于1970年，属于非线性次弹性模型中的变模量模型。由于它假设应力应变关系为双曲线，故又称为双曲线模型。其中切线杨氏模量和比随应力水平的变化而变化。只要通过试验和计算合理的确定出不同应力水平的和，就可以按照增量广义虎克定律进行应力应变的分析和计算。4.1.1 切线弹性模量点绘曲线，如图41所示，Kondner 等人发现，可以用双曲线来拟和这些曲线。对某一，关系可表示成： （41） 图 41 关系曲线 图42 关系曲线 式中：和为试验常数。上式也可以写成： (42)以为纵坐标，为横坐标，构成新的坐标系，则双曲线转换成直线。见图42。其斜率为，截距为。有增量广义虎克定律，如果只沿某一方向，譬如方向，给土体施加应力增量,而保持其他方向的应力不变，可得： (43) （44）则 （45） （46）邓肯和张利用上述关系推导出弹性模量公式。由式（45）得： （47）由此可见虎克定律中所用的弹性模量实际上是常规三轴试验曲线的切线斜率。这样的模量叫做切线弹性模量，可用表示，见图4-1。将式（41）代入式（37），得到： （48）由式（42）可得： （49）式（49）代入式（48），得： （410）由式（42）可得：当时 （411）而双曲线的初始切线模量为： （412）见图41。因此： （413）这里表示是初始切线模量的倒数。在双对数纸上点绘和的关系，则近似的为一直线，如图43所示。这里为大气压力。于是有： （414）由式（42）还可见，当时 （415）试验破坏时的偏应力为，则： （416） 叫破坏比将式（413），式（415），式（416）代入式（410）得： （417）令，叫做应力水平，式（317）也可写成： （418） 图43 关系曲线 图44 极限莫尔圆 破坏偏应力与固结压力有关，由图44中的几何关系不难推出： （419） 将式（414）和式（419）代入式（417），得： （420）4.1.2 切线泊松比Kulhawy和邓肯认为常规三轴试验测得的与关系也可用双曲线来拟和，如图45所示，点绘与关系，为一直线，如图46所示，其截距为，斜率为，于是有： 图45 关系曲线 图46 关系曲线 （421） （422）由于侧压力为零，可由式（46）求泊松比： （423）可见，曲线的切线斜率具有增量泊松比的物理意义，称为切线泊松比，以表示。将式（322）代入式（323），并利用式（39）把所含用应力代替，可得： （424）其中 （425）由式（421），当时，可见是渐进值的倒数。当时， （426）式中为初始切线泊松比。对于不同的有不同的值，在半对数纸上点绘与关系曲线，近似为一直线，如图47所示。于是有 （427）切线泊松比公式为： （428）由式（324）和式（425）可以看出，是随应力水平而增加的。于是Daniel提出了一种较简单图47 关系曲线 的确定随应力水平直线变化公式： （429）式中为初始切线泊松比，按式（427）计算。为破坏时的切线泊松比，可按实验结果建立类似于式（327）的公式，作为近似处理，也可取为0.49。后来在实际应用中发现，采用与双曲线关系计算出来的值常常偏大。因此（Duncan）邓肯有采用切线体积模量作为计算参数代替，其表达式为： （430）由于只能在00.49之间变化，则须限制在之间。确定只需要和两个参数。4.1.3 对邓肯张模型的评价按照岩土类材料对本构特性，试验与计算等方面的要求，对邓肯张模型进行评价。1） 模型数字上比较简单，概念清楚。可以通过常规三轴试验求出试验常数。弹性切线模量矩阵对称。有利于实现数值计算；因此，在我国水利水电，交通，建筑工程等部门的岩土工程中应用广泛，积累了丰富的经验与资料。2） 模型反应了岩土材料的非线性弹性以及一定程度上的路径相关特性（为常数时）。但考虑卸载时，还考虑了岩土材料的非弹性变形性质。模型适用于正常固结以及弱超固结粘土以及砂石料等应变硬化型材料，不适于严重超固结粘土，密实砂以及应变软化特性的岩土类材料；而且当应力水平接近破坏水平时，计算不易稳定，偏差较大。3） 模型没有反映岩土类材料的剪胀性与压硬性。4） 由于采用了修正的各向同性广义虎克定律，本构关系是增量线性的和各向同性的。因此，应力与应变增量的主方向相同。这对于低应力水平来说，还是比较符合实际的；但是，但应力水平较高或是接近破坏时，就不够真实了。5） 由于模型采用了莫尔库仑破化条件及的常规三轴试验方法，因此，没有涉及中主应力对强度与变形的影响。第二节 DruckerPrager模型（1）(11)DruckerPrager模型是考虑静水压力的DruckerPrager屈服准则的基础上建立起来的理想弹塑性模型。4.2.1 模型的本构方程由DruckerPrager屈服准则有： （431）按照相关联流动法则，塑性应变增量为： （432） 因为，故由式（432）可得： （433） 弹性应变分量采用增量广义虎克定律，如下式： （434） 式（434）为型式的弹性本构关系。故完整的弹塑性本构关系为： （435）写成以应变增量表示应力增量的公式： （436）式（436）中： 弹性体积模量；弹性剪切模量； 偏应变； Kronecker Delta(单位张量)； 应力偏张量； 塑性标量因子； 应力偏张量第二不变量； Drucker-Prager准则材料常数； 体应变增量。这就是Drucker-Prager模型本构关系的张量下标表示式。4.2.2 弹塑性矩阵的推导 式（436）的增量弹塑性关系表达式为： （437）式中弹塑性矩阵岩土材料的屈服条件通常表示为： (438)式中：表示塑性应变的函数。 对式（438）微分： （439）式中：，则： （440）令 称为流动矢量则式（440）为： （441）又由（442）由式（441）和式（442）可以推得： （443）因此式（442）可写成： （444）将式（444）代入式（437），得到：（445）式（445）就是弹塑性矩阵的表达式。对于DruckerPrager模型（446）又，则由式（445）有可写成为：（447）对求微分得：（448）式中：六个应力分量；一点的平均应力；：为应力偏张量的第二不变量。4.2.3 材料参数的确定 DruckerPrager模型共有四个材料参数。为弹性常数，可由换算出来。弹性参数由MohrCoulomb准则的材料参数换算出来。4.2.4 对DruckerPrager模型的评价 DruckerPrager模型是于1952年提出的适用于岩土类材料的弹塑性本构模型，它的最大优点是采用简单方法考虑静水压力对屈服和强度的影响，而且模型参数较少，计算也比较简单。同时也考虑了岩土材料的剪胀性和扩容性，以后的许多岩土类材料的登向与非等向塑性模型，都是在它的基础上经过修正与扩充而发展起来的。但是，它没有反映材料三轴拉，压强度不同及单纯的静水压力可以引起岩土材料的屈服与破坏以及应力Lode角对塑性流动的影响。参考文献1 张学言，岩土塑性力学，人民交通出版社，1993。2 钱家欢，殷宗泽，土工数值分析，中国铁道出版社，1991。3 李云鹏，罗桂红等，旋喷桩加固路基的数值模拟，岩土工程师，1999，11（4）；1418。4 王旭东，魏道垛等，群桩土承台结构共同作用的数值分析，岩土工程学报，1996，18（4）；2733。5 杨敏，L.G.Tham Y.K.Cheng,分层土中的群桩分析，同济大学学报，1993，21（2）；211218。6 秦建设，孟杰武，考虑土的非线性的水泥土桩复合地基特性分析，岩土力学，1998，19（3）；5458。7 Chow Y K,Analysis of Vertically Loaded Pile Groups,International for Numerical and Analytical Meyhods in Geomechanics,1986,10;5972。8 Kraft L M,Ray R P,Kagawa T,Theoretical t-z Curves,Journal of the Geotechnical Engineering Division,ASCE,1978,104(GT12);14651488。9 H.Peribe,Estimation Settlement in a Graval Column Consolidated Soil,Die Bautechnik,1976,160162。10合地基沉降计算理论及反分析的应用，河海大学博士学位论文，1998。11潘昌实，隧道力学数值方法，中国铁道出版社，1995。