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例1 用泰勒公式，证明：当x1时， . 证 设 ，则f (x)当x1时有二阶导数，且 . 将f (x)点x=1处依泰勒公式展开，得 即 由于 ，故f (x)0，即 . 从而 例2 设f (x)在a, b上连续，在(a, b)内二阶可导，若 ，则在(a, b)内至少有一点 ，使 证 由泰勒公式，得 令 ，代入得 相减，得 设 则 例3 验证当 时，按公式 计算 的近似值，所产生的误差小于0.01；并求 的近似值，使误差小于0.01. 解 因为公式 右边是 的三阶麦克劳林公式，故误差 又已知 ，从而 ，故 误差 例4 求函数 按(x4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的三阶泰勒公式. 解 由于 ，故 因此其中 介于x与4之间. 例5 利用泰勒公式求极限 解 例6 求函数 在x = 0处的n阶导数 (n3) 解 由f (x)和 的麦克劳林公式 比较 的系数得 故 五、练习题 1、应用三阶泰勒公式求下列各数的近似值，并估计误差. (1) (2) sin18 （答：(1) ；(2) 0.3090，误差为 ） 2、设函数f (x)在(1, 1)内具有二阶连续导数，且 ，试证：对于任意非零 ，存在唯一的 ，使 成立，且 . （提示：拉格朗日中值定理、泰勒公式） 3、求函数 的带有拉格朗日型余项的三阶麦克劳林公式. （答： ） 4、利用泰勒公式求极限 （答： ） 5、求函数 的带有皮亚诺型余项的n阶麦克劳林公式 （答： ）
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