椭圆各种类型题.doc

面积类1、已知椭圆：与正半轴、正半轴的交点分别为，动点是椭圆上任一点，求面积的最大值。【解析】试题分析：先求顶点坐标，再求直线方程，根据椭圆的参数方程表示出点的坐标，然后再求点到直线的距离，表示出面积，然后求最值 试题解析：依题意，直线：，即 设点的坐标为，则点到直线的距离是 ， 当时，所以面积的最大值是考点：椭圆的参数方程、点到直线的距离、三角函数求最值2、设点A（，0），B（，0），直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为. （）求动点M的轨迹C的方程； （）若直线过点F（1，0）且绕F旋转，与圆相交于P、Q两点，与轨迹C相交于R、S两点，若|PQ|求的面积的最大值和最小值（F为轨迹C的左焦点）.【解析】（）设，则化简轨迹的方程为（）设，的距离，将代入轨迹方程并整理得：设，则，设，则上递增，考点：椭圆，根与系数关系，基本不等式，坐标表示3、已知椭圆的右焦点为，上顶点为B，离心率为，圆与轴交于两点 （）求的值； （）若，过点与圆相切的直线与的另一交点为，求的面积 【解析】 （）由题意， 得，,则， 得，, 则 （）当时，得在圆F上， 直线，则设 由得， 又点到直线的距离， 得的面积 考点：椭圆，根与系数关系，坐标表示等，考查了学生的综合化简计算能力 4、设椭圆的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为. (1) 求椭圆方程. (2) 过点的直线与椭圆交于不同的两点，当面积最大时，求.【解析】 (1)由题意可得，又，解得，所以椭圆方程为 (2)根据题意可知，直线的斜率存在，故设直线的方程为，设，由方程组消去得关于的方程由直线与椭圆相交于两点，则有，即得 由根与系数的关系得 故又因为原点到直线的距离， 故的面积 令则，所以当且仅当时等号成立， 即时， 考点：1.椭圆方程；2.椭圆与直线综合；3.基本不等式.5、已知椭圆的左、右焦点分别为、，P为椭圆上任意一点，且的最小值为. （1）求椭圆的方程； （2）动圆与椭圆相交于A、B、C、D四点，当为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积.【解析】（1）因为P是椭圆上一点，所以. 在中，由余弦定理得 . 因为，当且仅当时等号成立. 因为，所以. 因为的最小值为，所以，解得. 又，所以.所以椭圆C的方程为. （2）设，则矩形ABCD的面积. 因为，所以. 所以. 因为且，所以当时，取得最大值24. 此时，. 所以当时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为. 考点：椭圆的定义、余弦定理、二次函数6、已知、分别是椭圆: 的左、右焦点，点在直线上，线段的垂直平分线经过点直线与椭圆交于不同的两点、，且椭圆上存在点，使，其中是坐标原点，是实数 （）求的取值范围； （）当取何值时，的面积最大？最大面积等于多少？【答案】（）;（）当时，的面积最大，最大面积为.【解析】（）设椭圆的半焦距为，根据题意得 解方程组得 椭圆的方程为 由，得 根据已知得关于的方程有两个不相等的实数根. ， 化简得： 设、，则 （1）当时，点、关于原点对称，满足题意； （2）当时，点、关于原点不对称，. 由，得即 在椭圆上， 化简得： ， ， ，即且 综合（1）、（2）两种情况，得实数的取值范围是 （）当时，此时，、三点在一条直线上，不构成. 为使的面积最大，. . 原点到直线的距离， 的面积 ， . ， “” 成立，即 当时，的面积最大，最大面积为 考点：直线和椭圆的相关问题，综合考查考生的运算求解能力.7、设椭圆的离心率，是其左右焦点，点是直线（其中）上一点，且直线的倾斜角为. （）求椭圆的方程； （）若是椭圆上两点，满足，求（为坐标原点）面积的最小值.【解析】（） 则,故 （）当直线的斜率不存在时，可设代入椭圆得 ，此时， ,当直线的斜率存在时，设代入椭圆得： ,设 则 由得： 当时，取等号，又，故的最小值为. 考点：直线与椭圆的位置关系综合应用.8、已知椭圆的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为的菱形的四个顶点. （I）求椭圆的方程； （II）直线与椭圆交于，两点，且线段的垂直平分线经过点，求（为原点）面积的最大值.【解析】 (I)因为椭圆的四个顶点恰好是一边长为2， 一内角为的菱形的四个顶点, 所以,椭圆的方程为 (II)设因为的垂直平分线通过点， 显然直线有斜率， 当直线的斜率为时,则的垂直平分线为轴,则 所以 因为， 所以，当且仅当时，取得最大值为当直线的斜率不为时,则设的方程为 所以，代入得到 当,即 方程有两个不同的解 又， 所以， 又，化简得到代入，得到 又原点到直线的距离为 所以 化简得到 因为，所以当时，即时，取得最大值 综上，面积的最大值为 考点：直线与圆锥曲线的位置关系9、如图，A,B是椭圆的两个顶点, ，直线AB的斜率为求椭圆的方程；（2）设直线平行于AB，与x,y轴分别交于点M、N，与椭圆相交于C、D， 证明：的面积等于的面积 【解析】（1）解：依题意， 整理得 解得 所以 椭圆的方程为（2）证明：由于/，设直线的方程为，将其代入，消去， 整理得 设， 所以 证法一：记的面积是，的面积是 由， 则 因为 ，所以 ，从而 证法二：记的面积是，的面积是 则线段的中点重合 因为 ，所以 ， 故线段的中点为 因为 ，所以 线段的中点坐标亦为 从而 考点：1.斜率公式；2.直线与曲线的位置关系；3.韦达定理.10、已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点. （）求椭圆的方程； （）设椭圆与曲线的交点为、，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）抛物线的焦点为， 又椭圆离心率， 所以椭圆的方程为 （2）设点，则，连交轴于点， 由对称性知： 由得： ， （当且仅当即时取等号） 面积的最大值为. 考点：椭圆标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系.11、已知椭圆：的右焦点在圆上，直线交椭圆于、两点. (1)求椭圆的方程； (2)若(为坐标原点)，求的值； (3)设点关于轴的对称点为（与不重合），且直线与轴交于点，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由【解析】 (1)由题设知，圆的圆心坐标是，半径为， 故圆与轴交与两点，. 1分 所以，在椭圆中或，又， 所以，或 (舍去，), 于是，椭圆的方程为. (2)设，；直线与椭圆方程联立, 化简并整理得. ，, ， . ，,即得 ，即为定值. (3)，, 直线的方程为 令，则 , 当且仅当即时等号成立.故的面积存在最大值考点：直线与椭圆的位置关系 点评：主要是考查了椭圆方程的求解，以及直线与椭圆位置关系的运用，属于中档题。12、已知两点F1(-1,0)及F2(1,0),点P在以F1、F2为焦点的椭圆C上,且|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列. （1）求椭圆C的方程; （2）如图,动直线l:y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点,点M,N是直线l上的两点,且F1Ml, F2Nl.求四边形F1MNF2面积S的最大值.【解析】 (1)依题意,设椭圆的方程为. 构成等差数列, , . 又,. 椭圆的方程为 (2) 将直线的方程代入椭圆的方程中, 得 由直线与椭圆仅有一个公共点知, 化简得: 设, 当时,设直线的倾斜角为, 则, , ,当时,. 当时,四边形是矩形, 所以四边形面积的最大值为 考点：直线与椭圆的位置关系 点评：主要是考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系的运用，属于中档题。13、如图，已知椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，的中垂线与轴和轴分别交于两点 （1）若点的横坐标为，求直线的斜率； （2）记的面积为，（为原点）的面积为试问：是否存在直线，使得？说明理由【解析】 （）解：依题意，直线的斜率存在，设其方程为 将其代入，整理得 设，所以 故点的横坐标为依题意，得， 解得 （）解：假设存在直线，使得 ，显然直线不能与轴垂直 由（）可得 因为 ，所以 ， 解得 ， 即 因为 ，所以 所以 ，整理得 因为此方程无解，所以不存在直线，使得 考点：直线与椭圆相交的位置关系 点评：直线与椭圆相交时常联立方程借助于方程根与系数的关系整理化简，此类题目计算量较大要求学生具有较高的数据处理能力14、已知椭圆：的离心率为，分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆的焦距为2 求椭圆的方程； 设为椭圆上任意一点，以为圆心，为半径作圆，当圆与椭圆的右准线有公共点时，求面积的最大值【解析】 因为，且，所以 2分 所以 4分 所以椭圆的方程为设点的坐标为，则 因为，所以直线的方程为由于圆与有公共点，所以到的距离小于或等于圆的半径 因为，所以， 即 又因为，所以 解得，又，当时，所以 考点：本题主要考查椭圆的标准方程，椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，不等式的解法。 点评：中档题，求椭圆的标准方程，主要运用了椭圆的几何性质，a,b,c,e的关系。曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理，简化解题过程。利用函数观点，建立三角形面积的表达式，确定其最值。15、已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点. （）求椭圆的方程； （）过点的直线与椭圆相切，直线与轴交于点，当为何值时的面积有最小值？并求出最小值.【解析】（）设方程为，抛物线的焦点为， 则. 双曲线的离心率所以，得 椭圆C的方程为.（）设直线的方程为，由对称性不妨设 由消得： 依题意，得： 由，令，得，即 当且仅当即时取等号. 因为故时，有最小值.考点：直线与椭圆的位置关系 点评：主要是考查了直线与椭圆的位置关系的运用，属于中档题。16、已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为，直线交椭圆于不同的两点。 （1）求椭圆的方程； （2）若坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值。【解析】（1）由，椭圆的方程为： （2）由已知，联立和，消去，整理可得：， 设，则 ，当且仅当时取等号 显然时，。 考点：本题考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系17、已知椭圆的离心率为,且过点 （1）求椭圆的标准方程； （2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线A C、BD过原点O，若, （i） 求的最值 （ii） 求证：四边形ABCD的面积为定值；【解析】 (1)由题意，又， 解得,椭圆的标准方程为. (2)设直线AB的方程为，设 联立，得 - = (i) 当k=0(此时满足式),即直线AB平行于x轴时，的最小值为-2. 又直线AB的斜率不存在时，所以的最大值为2. 11分 (ii)设原点到直线AB的距离为d，则 . 即,四边形ABCD的面积为定值考点：本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系 点评：对于直线与圆锥曲线的综合问题，往往要联立方程，同时结合一元二次方程根与系数的关系进行求解；而对于最值问题，则可将该表达式用直线斜率k表示，然后根据题意将其进行化简结合表达式的形式选取最值的计算方式.向量点乘类1、在直角坐标系中,点到两点的距离之和等于4,设点的轨迹为,直线与交于两点. (1)写出的方程; (2) ，求的值.【解析】 (1)设,由椭圆定义可知,点的轨迹是以为焦点, 长半轴为2的椭圆, 它的短半轴, 故曲线的方程为. (2)证明:设,其坐标满足消去并整理,得 故. 即，而， 于是， 解得 考点：椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系.2、已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）若过点C（-1，0）且斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点，试问在轴上是否存在点，使是与无关的常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）椭圆离心率为， ，. 1分 又椭圆过点（，1），代入椭圆方程，得.所以. 4分 椭圆方程为，即.（2）在x轴上存在点M，使是与K无关的常数.证明：假设在x轴上存在点M（m,0）,使是与k无关的常数， 直线L过点C（-1，0）且斜率为K,L方程为， 由得. 设，则 = = = =设常数为t，则. 整理得对任意的k恒成立， 解得， 即在x轴上存在点M（）， 使是与K无关的常数. 考点：椭圆的标准方程及几何性质，直线与椭圆的位置关系，平面向量的数量积。 点评：中档题，曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。求椭圆标准方程时，主要运用了椭圆的几何性质，建立了a,bac的方程组。3、已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，直线与椭圆C相交于A、B两点. （）求椭圆C的方程； （）求的取值范围；【解析】（）由题意知，即 又，故椭圆的方程为（）解：由得： 设A(x1，y1)，B (x2，y2)，则， 的取值范围是 考点：直线与圆锥曲线的综合问题；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程4、如图，F1，F2是离心率为的椭圆C：(ab0)的左、右焦点，直线：x将线段F1F2分成两段，其长度之比为1 :3设A，B是C上的两个动点，线段AB的中垂线与C交于P，Q两点，线段AB的中点M在直线l上 () 求椭圆C的方程； () 求的取值范围。【解析】（）设F2(c，0)，则，所以c1 因为离心率e，所以a 所以椭圆C的方程为 () 当直线AB垂直于x轴时，直线AB方程为x，此时P(，0)、Q(,0)， 当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k，M(，m) (m0)，A(x1，y1)，B(x2，y2) 由 得(x1x2)2(y1y2)0， 则14mk0，故k 此时，直线PQ斜率为，PQ的直线方程为即 联立消去y，整理得 所以， 于是(x11)(x21)y1y2 令t132m2，1t29，则 又1t29，所以 综上，的取值范围为 考点：椭圆的方程、平面向量的数量积、韦达定理5、如图，已知椭圆：的离心率为，以椭圆的左顶点为圆心作圆：，设圆与椭圆交于点与点 （1）求椭圆的方程； （2）求的最小值，并求此时圆的方程； （3）设点是椭圆上异于,的任意一点，且直线分别与轴交于点，为坐标原点， 求证：为定值。【解析】（1）依题意，得，； 故椭圆的方程为（2）点与点关于轴对称，设， 不妨设 由于点在椭圆上，所以（*）由已知，则， 所以 由于，故当时，取得最小值为 由（*）式，故，又点在圆上，代入圆的方程得到 故圆的方程为： (3) 设，则直线的方程为：， 令，得， 同理：， 故（*）又点与点在椭圆上，故， 代入（*）式，得： 所以为定值 考点：1.椭圆方程；2.配方法求最值.6、已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，直线与椭圆C相交于A、B两点. （1）求椭圆C的方程；（2）求的取值范围；【解析】（）由题意知，即 又，故椭圆的方程为 （）解：由得： 设,则， 的取值范围是 考点：1.椭圆的方程；2.椭圆的离心率；3.直线和椭圆的综合应用；4.向量的数量积.7、已知椭圆,为其右焦点，离心率为. ()求椭圆C的标准方程； ()若点，问是否存在直线，使与椭圆交于两点，且若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由【解析】（）由题意知：，离心率， 故所求椭圆C的标准方程为（）假设存在这样的直线满足题意，并设 因为， 所以： 由，得 根据题意，得， 且， 所以 即， 解得，或 当时，（），显然符合题意； 当时，代入，得，解得 综上所述，存在这样的直线，其斜率的取值范围是 考点：椭圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、一元二次方程根和系数的关系8、已知椭圆的离心率为，且经过点 ()求椭圆的方程； ()如果过点的直线与椭圆交于两点（点与点不重合）， 求的值； 当为等腰直角三角形时，求直线的方程【解析】 ()因为椭圆经过点，因为，解得， 所以椭圆的方程为 ()若过点的直线的斜率不存在，此时两点中有一个点与点重合，不满足题目条件 所以直线的斜率存在，设其斜率为，则的方程为，把代入椭圆方程得，设，则， 因为，所以 ， 由知：，如果为等腰直角三角形，设的中点为，则，且， 若，则，显然满足，此时直线的方程为； 若，则，解得，所以直线的方程为，即或 综上所述：直线的方程为或或 考点：1、求椭圆方程，2、直线与二次曲线的位置关系9、已知椭圆：的离心率为，直线:与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切. （）求椭圆的方程； （）设椭圆的左焦点为，右焦点，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点， 线段垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程； （）设与轴交于点，不同的两点在上，且满足，求的取值范围.【解析】（） 直线相切， 椭圆的方程是（）， 动点到定直线：的距离等于它到定点的距离， 动点的轨迹是为准线，为焦点的抛物线点的轨迹的方程为 （），设、 ， ，化简得 当且仅当即时等号成立 ，又 当即时，故的取值范围是 考点：1.椭圆方程；2.抛物线的定义；3.坐标法的应用.10、已知、是椭圆的左、右焦点，且离心率，点为椭圆上的一个动点，的内切圆面积的最大值为. (1) 求椭圆的方程； (2) 若是椭圆上不重合的四个点，满足向量与共线，与共 线，且，求的取值范围. 【解析】 (1)由几何性质可知：当内切圆面积取最大值时， 即取最大值，且. 由得 又为定值， 综上得； 又由，可得，即， 经计算得， 故椭圆方程为. (2) 当直线与中有一条直线垂直于轴时，. 当直线斜率存在但不为0时，设的方程为：，由消去 可得，代入弦长公式得：， 同理由消去可得， 代入弦长公式得：， 所以 令，则，所以， 由可知，的取值范围是. 考点：(1)椭圆方程；（2）直线与椭圆的位置关系；（3）函数的值域.11、在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，左、右顶点分别为，上顶点为，过三点作圆 （）若线段是圆的直径，求椭圆的离心率； （）若圆的圆心在直线上，求椭圆的方程; （）若直线交（）中椭圆于，交轴于，求的最大值 【解析】（）由椭圆的方程知，点，设F的坐标为， 是的直径，2分 解得，椭圆离心率（）过点三点， 圆心P既在FC的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上， FC的垂直平分线方程为 的中点为，的垂直平分线方程为 由得，即 在直线上，,。 由得，椭圆的方程为（）由得（*） 设，则 当且仅当,时取等号。此时方程（*）中的0, 的最大值为1 考点：直线与椭圆的位置关系 12、在平面直角坐标系中，已知定点A（2，0）、B（2，0），异于A、B两点的动点P满足，其中k1、k2分别表示直线AP、BP的斜率 （）求动点P的轨迹E的方程； （）若N是直线x=2上异于点B的任意一点，直线AN与（I）中轨迹E交予点Q，设直线QB与以NB为直径的圆的一个交点为M（异于点B），点C（1，0），求证：|CM|CN|为定值。【解析】()设,由得,其中, 整理得点的轨迹方程为. ()设点(), 设,则, 从而. 而,直线斜率, 直线与以为直径的圆的另一个交点为,. 方程为,即,过定点 定值证法一:即三点共线,又是以为直径的圆的切线,由切割线定理可知,为定值. 定值证法二:直线:,直线:, 联立得, ,为定值. 考点：椭圆的方程；直线与椭圆的位置关系 点评：关于曲线的大题，第一问一般是求出曲线的方程，第二问常与直线结合起来，当涉及到交点时，常用到根与系数的关系式13、如图，已知椭圆，是长轴的左、右端点，动点满足，联结，交椭圆于点 （1）当，时，设，求的值； （2）若为常数，探究满足的条件？并说明理由； （3）直接写出为常数的一个不同于（2）结论类型的几何条件【解析】（1）直线，解方程组，得 所以（2）设， 因为三点共线，于是，即又，即 所以 所以当时，为常数（3） “设为椭圆的焦点，为短轴的顶点，当为等腰三角形时，为常数或”或给出“当时，为常数或”考点：直线与椭圆的位置关系 点评：主要是考查了直线与椭圆的位置关系的运用，属于中档题。14、已知圆的方程为，过点作圆的两条切线，切点分别为、,直线恰好经过椭圆的右顶点和上顶点 （）求椭圆的方程； （）设是椭圆（垂直于轴的一条弦，所在直线的方程为且是椭圆上异于、的任意一点，直线、分别交定直线于两点、，求证. 【解析】（） 观察知，是圆的一条切线，切点为， 设为圆心，根据圆的切线性质， 所以，所以直线的方程为. 线与轴相交于，依题意，所求椭圆的方程为 （） 椭圆方程为，设 则有， 在直线的方程中，令，整理得 同理， ，并将代入得 =. 而= 且， 考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程 点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查椭圆的标准方程，考查数形结合思想，考查学生的运算能力、分析问题解决问题的能力，难度较大15、已知点P（4， 4），圆C：与椭圆E：有一个公共点A（3，1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切 （）求m的值与椭圆E的方程；（）设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围 。【解析】（1）代入点A(3,1)得m=1或5,得m=1 2分 设PF斜率为k， 列方程组得：解得： 所求椭圆方程为 (2)设点Q考点：本题主要考查椭圆的标准方程，椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，平面向量的坐标运算，三角函数辅助角公式。 点评：中档题，求椭圆的标准方程，主要运用了椭圆的几何性质，a,b,c,e的关系。曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理，简化解题过程。通过向量的坐标运算，得到三角函数式，应用辅助角公式“化一”后，确定数量积的范围。16、已知椭圆 （）设椭圆的半焦距，且成等差数列，求椭圆的方程； （）设（1）中的椭圆与直线相交于两点，求的取值范围【解析】（）由已知：，且，解得， 4分 所以椭圆的方程是 （）将代入椭圆方程，得，化简得， 设，则， 所以， ， 由，所以的取值范围是. 考点：椭圆方程性质及椭圆与直线的位置关系 点评：椭圆中离心率，当直线与椭圆相交时，常将直线与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理设而不求的方法将所求问题转化为交点坐标表示17、已知椭圆的两个焦点为，点在椭圆上. ()求椭圆的方程； ()已知点，设点是椭圆上任一点，求的取值范围.【解析】（1）设椭圆的方程为 由椭圆定义， . 故所求的椭圆方程为.（2）设 点在椭圆上， 有最小值；，有最大值 ，的范围是 考点：直线与椭圆的位置关系 点评：主要是考查了直线与椭圆的位置关系，以及向量的数量积的运用，属于基础题。垂直平分线类1、如图，A点在x轴上方，外接圆半径，弦在轴上且轴垂直平分边， (1)求外接圆的标准方程 (2)求过点且以为焦点的椭圆方程【答案】(1) (2)【解析】本试题主要是考查了圆与直线的位置关系，以及椭圆方程的求解。 （1）因为根据已知可知外接圆半径，那么可知外接圆的半径，然后得到方程。 （2）根据过点且以为焦点的椭圆，那么可知椭圆中的长轴长为20，焦距为10，因此可知椭圆方程。 2、在平面直角坐标系中，椭圆为 （1）若一直线与椭圆交于两不同点，且线段恰以点为中点，求直线的方程； （2）若过点的直线（非轴）与椭圆相交于两个不同点试问在轴上是否存在定点，使恒为定值？若存在，求出点的坐标及实数的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）点在椭圆内部，直线与椭圆必有公共点 设点，由已知，则有 两式相减，得 而直线的斜率为 直线的方程为 （2） 假定存在定点，使恒为定值 由于直线不可能为轴 于是可设直线的方程为且设点 将代入得 . 显然 ， 则 若存在定点使为定值（与值无关），则必有 在轴上存在定点，使恒为定值3、如图：已知椭圆是长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且. （1）求椭圆的方程； （2）若AB上的一点F满足求证：CF平分BCA； （3）对于椭圆上的两点P、Q，PCQ的平分线总是垂直于x轴时，是否存在实数，使得 【解析】(I) 又 AOC是等腰直角三角形. A（2，0），C（1，1）而点C在椭圆上， .所求椭圆方程为 （）证明C（1，1），则B（1，1） 又 即点F分所成的定比为2.设 CFx轴，ACF=FCB=45，即CF平分BCA. （）对于椭圆上两点P、Q，PCQ的平分线总是垂直于x轴 PC与CQ所在直线关于x=1对称，kpC=k，则kcQ=k， 设C（1，1），则PC的直线方程y1=k(x1)y=k(x1)+1 QC的直线方y1=k(x1) y=k(x1)+1 将代入得(1+3k2)x26k(k1)x+3k26k1=0 C（1，1）在椭圆上，x=1是方程的一个根， xp1=1同理将代入x2+3y2=4得 （1+3k2）x26k(k+1)x+3k2+6k1=0 C（1，1）在椭圆上，x=1是方程的一个根， xQ1= 存在实数，使得.4、已知椭圆的离心率为，直线:与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切. （I）求椭圆的方程； （II）设椭圆的左焦点为，右焦点，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程；【解析】（） 直线相切， 椭圆C1的方程是 （）MP=MF2， 动点M到定直线的距离等于它到定点F1（1，0）的距离， 动点M的轨迹是C为l1准线，F2为焦点的抛物线 点M的轨迹C2的方程为5、(本小题满分14分) 已知椭圆的两焦点分别为，且椭圆上的点到的最小距离为. （）求椭圆的方程； （）过点作直线交椭圆于两点，设线段的中垂线交轴于，求m的取值范围.【解析】（）由题意可设椭圆为， ，故椭圆的方程为 （）当的斜率不存在时，线段的中垂线为轴，； 8分 当的斜率存在时，设的方程为，代入得： ，由得， 设，则， ， 线段的中点为，中垂线方程为，令得. 由，易得. 综上可知，实数m的取值范围是. 6、 如图所示，已知圆，为定点，为圆上的动点，线段的垂直平分线交于点，点的轨迹为曲线E. （）求曲线的方程； （）过点作直线交曲线于两点，设线段的中垂线交轴于点，求实数m的取值范围. 【解析】（）由题意知，. 又， 动点D的轨迹是以点为焦点的椭圆，且椭圆的长轴长， 焦距. ， 曲线的方程为（）当的斜率不存在时，线段的中垂线为轴，；当的斜率存在时，设的方程为，代入 得： ，由得， 设，则， ， 线段的中点为，中垂线方程为， 令得. 由，易得. 综上可知，实数m的取值范围是. 7、已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，且椭圆E上一点到两个焦点距离之和为4；，是过点且相互垂直的两条直线，交椭圆E于，两点，交椭圆E于，两点，的中点分别为， （1）求椭圆E的标准方程； （2）求直线的斜率的取值范围； （3）求证直线与直线的斜率乘积为定值【解析】（1）设椭圆E的方程为， 由得所以所求椭圆E的标准方程为（2）由题意知，直线的斜率存在且不为零，由于，则， 由消去并化简整理，得，根据题意，解得 ，同理可得，即， 有，解得（3）设，那么， 则 ，即，同理可得，即， ，即直线与直线的斜率乘积为定值8、已知椭圆C:,点M(2,1). （1）求椭圆C的焦点坐标和离心率； （2）求通过M点且被这点平分的弦所在的直线方程.【解析】（1）由得 所以焦点坐标是离心率（2）显然直线不与x轴垂直，可设此直线方程为，且它与椭圆的交点分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则 所以： 又，所以：，直线方程为：9、如图，椭圆C：(ab0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分 ()求椭圆C的方程； () 求ABP的面积取最大时直线l的方程 【解析】()由题：； (1) 左焦点(c，0)到点P(2，1)的距离为： (2) 由(1) (2)可解得：所求椭圆C的方程为： ()易得直线OP的方程：yx，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)其中y0x0 A，B在椭圆上， 设直线AB的方程为l：y(m0)， 代入椭圆： 显然 m且m0 由上又有：m， |AB| 点P(2，1)到直线l的距离为： SABPd|AB|，其中m且m0 利用导数解：令， 则 当m时，有(SABP)max 此时直线l的方程10、已知椭圆的左右焦点为F1，F2，离心率为,以线段F1 F2为直径的圆的面积为， (1)求椭圆的方程； (2) 设直线l过椭圆的右焦点F2（l不垂直坐标轴），且与椭圆交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M（m,0），试求m的取值范围.【答案】(1)由离心率为得:= 又由线段F1 F2为直径的圆的面积为得: c2=, c2=1 由, 解得a=,c=1,b2=1,椭圆方程为 (2) 由题意，F2（1，0），设l的方程为 整理，得6分 因为l过椭圆的右焦点， 设， 则 8分 令10分 由于11、已知：椭圆C：1（ab0）的左、右焦点为F1、F2，e，过F1的直线l交椭圆C于A、B两点，AF2、AB、BF2成等差数列，且AB4。 （I）求椭圆C的方程； （II）M、N是椭画C上的两点，若线段MN被直线x1平分，证明：线段MN的中垂线过定点。【答案】 （）、成等差数列， . ，得，又，所以， 所求的椭圆方程为：. （）设， 由题意知：，.两式相减得：， ， 所以， 易证，此直线经过定点. 平行线类1、已知A1，A2，B是椭圆1（ab0）的顶点（如图），直线l与椭圆交于异于顶点的P，Q两点，且lA2B，若椭圆的离心率是，且A2B。 （1）求此椭圆的方程； （2）设直线A1P和直线BQ的倾斜角分别为，试判断是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由。 【答案】 【解析】略2、已知椭圆：（）的离心率为，直线与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切 （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左焦点为，右焦点为，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点. （i）求点的轨迹的方程； （ii）若为点的轨迹的过点的两条相互垂直的弦，求四边形面积的最小值【答案】（1），.直线与圆相切，. 椭圆的方程是. （2）（i） 动点到定直线的距离等于它到定点的距离， 动点的轨迹是以为准线，为焦点的抛物线 点的轨迹的方程为：. （ii）由题意可知：直线的斜率存在且不为零， 令：， 则： 由韦达定理知： 由抛物线定义知： 而： 同样可得： 则： （当且仅当时取“”号） 所以四边形面积的最小值是：83、已知椭圆的长轴长为，离 心率 （1）求椭圆C的标准方程； （2）若过点B（2，0）的直线（斜率不等于零）与椭圆C交于点E，F，且， 求直线的方程。【答案】 (II)由题意知的斜率存在且不为零， 设方程为 将代入，整理得8分 由得 设，则 由已知 ，即.代入得，10分 消去得 解得，满足即.12分 所以，所求直线的方程为13分【解析】略4、已知椭圆，过点作直线与椭圆交于、两点. （1）若点平分线段，试求直线的方程； 设与满足（1）中条件的直线平行的直线与椭圆交于、两点，与椭圆交于点，与椭圆交于点，求证：/【答案】（1），则有，. 得， 即， 得 故直线的方程为， 即. (2)证明：设，且. 则有， 即.将点、的坐标分别代入椭圆方程： 得 易知，故约去得 同理有 由得. 由已知，斜率为，有， 得 即，即， 所以/.5、（14分） 已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点 （1）求椭圆C的方程； （2）是否存在平行于OA的直线，使得直线与椭圆C有公共点，且直线OA与的距离等于4？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。【答案】（1）依题意，可设椭圆C的方程为，且可知左焦点为F（-2，0）， 从而有，解得， 又，所以，故椭圆C的方程为。（2）假设存在符合题意的直线，其方程为， 由得， 因为直线与椭圆有公共点，所以有， 解得， 另一方面，由直线OA与的距离4可得：，从而， 由于，所以符合题意的直线不存在。6、已知的顶点在椭圆上，在直线上，且 （）当边通过坐标原点时，求的长及的面积； （）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程【解析】（）因为，且边通过点，所以所在直线的方程为 设两点坐标分别为 由得 所以 又因为边上的高等于原点到直线的距离 所以， （）设所在直线的方程为， 由得 因为在椭圆上，所以 设两点坐标分别为，则， 所以 又因为的长等于点到直线的距离，即 所以 所以当时，边最长，（这时） 此时所在直线的方程为7、如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线 在y轴上的截距为m（m0），直线交椭圆于A、B两个不同点。 （1）求椭圆的方程； （2）求m的取值范围； 【解析】略8、（本小题满分14分）已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点。 （1）求椭圆C的方程； （2）是否存在平行于OA的直线，使得直线与椭圆C有公共点，且直线OA与的距离等于4？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。【解析】（1）设椭圆的方程F（2，0）从而有因为，所以故椭圆方程为：（2）假设存在符合题意的直线，其方程 由消得直线与椭圆有公共点， 所以，解得 另一方面，由直线OA与的距离等于4，可得 由于，所以符合题意的直线不存在