锐角三角函数与圆例题.doc

锐角三角函数与圆综合训练题例题一 2013泸州）如图，D为O上一点，点C在直径BA的延长线上，CDA=CBD（1）求证：CD2=CACB；（2）求证：CD是O的切线；（3）过点B作O的切线交CD的延长线于点E，若BC=12，tanCDA=，求BE的长 分析：（1）通过相似三角形（ADCDBC）的对应边成比例来证得结论；（2）如图，连接OD欲证明CD是O的切线，只需证明CDOA即可；（3）通过相似三角形EBCODC的对应边成比例列出关于BE的方程，通过解方程来求线段BE的长度即可解答：（1）证明：CDA=CBD，C=C，ADCDBC，=，即CD2=CACB；（2）证明：如图，连接ODAB是O的直径，ADB=90，1+3=90OA=OD，2=3，1+2=90又CDA=CBD，即4=1，4+2=90，即CDO=90，ODOA又OA是O的半径，CD是O的切线；（3）解：如图，连接OEEB、CD均为O的切线，ED=EB，OEDB，ABD+DBE=90，OEB+DBE=90，ABD=OEB，CDA=OEB而tanCDA=，tanOEB=，RtCDORtCBE，=，CD=8，在RtCBE中，设BE=x，（x+8）2=x2+122，解得x=5即BE的长为5例题二 如图，AD是ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且B=CAE，EF：FD=4：3（1）求证：点F是AD的中点；（2）求cosAED的值；（3）如果BD=10，求半径CD的长 （1）由AD是ABC的角平分线，B=CAE，易证得ADE=DAE，即可得ED=EA，又由ED是直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得EFAD，由三线合一的知识，即可判定点F是AD的中点；（2）首先连接DM，设EF=4k，df=3k，然后由勾股定理求得ED的长，继而求得DM与ME的长，由余弦的定义，即可求得答案；（3）易证得AECBEA，然后由相似三角形的对应边成比例，可得方程：（5k）2=k（10+5k），解此方程即可求得答案解答：（1）证明：AD是ABC的角平分线，1=2，ADE=1+B，DAE=2+3，且B=3，ADE=DAE，ED=EA，ED为O直径，DFE=90，EFAD，点F是AD的中点；（2）解：连接DM，设EF=4k，df=3k，则ED=5k，ADEF=AEDM，DM=k，ME=k，cosAED=；（3）解：B=3，AEC为公共角，AECBEA，AE：BE=CE：AE，AE2=CEBE，（5k）2=k（10+5k），k0，k=2，CD=k=5例题三 2014 烟台 例题四 如图，O是ABC的外接圆，AB为直径，ODBC交O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD（1）求证：AD=CD；（2）若AB=10，cosABC=，求tanDBC的值圆周角定理；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；解直角三角形.（1）由AB为直径，ODBC，易得ODAC，然后由垂径定理证得，=，继而证得结论；（2）由AB=10，cosABC=，可求得OE的长，继而求得DE，AE的长，则可求得tanDAE，然后由圆周角定理，证得DBC=DAE，则可求得答案（1）证明：AB为O的直径，ACB=90，ODBC，AEO=ACB=90，ODAC，=，AD=CD；（2）解：AB=10，OA=OD=AB=5，ODBC，AOE=ABC，在RtAEO中，OE=OAcosAOE=OAcosABC=5=3，DE=OD=OE=53=2，AE=4，在RtAED中，tanDAE=，DBC=DAE，tanDBC=综合练习1、如图，AB是O的直径，PA，PC分别与O 相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DEPO交PO的延长线于点E.（1）求证：EPD=EDO.（2）若PC=6，tanPDA=，求OE的长.中国教育出&版*#网2、如图，AB是0的直径，C是0上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为点D，且BAC=DAC（1）猜想直线MN与0的位置关系，并说明理由；（2）若CD=6，cos=ACD=，求0的半径3、已知：如图，是的直径，是上一点，于点，过点作的切线，交 的延长线于点，连结（1）求证：与相切；（2）连结并延长交于点，若，求的长4、如图，已知O的直径AB与弦CD相交于点E， ABCD，O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F （1）求证：CD BF； （2）若O的半径为5， cosBCD=，求线段AD的长图11ACBDEFOP5、如图11，PB为O的切线，B为切点，直线PO交O于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交O于点A，延长AO与O交于点C，连接BC，AF（1）求证：直线PA为O的切线；（2）试探究线段EF，OD，OP之间的等量关系，并加以证明；（3）若BC6，tanF，求cosACB的值和线段PE的长6、如图，AB是O的直径，弦CDAB于H，过CD延长线上一点E作O的切线交AB的延长线于F切点为G，连接AG交CD于K（1）求证：KE=GE；（2）若=KDGE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；（3） 在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长7、如图11，AB是O的弦，D是半径OA的中点，过D作CDOA交弦AB于点E，交O于F，且CE=CB。（1）求证：BCO是的切线；（2）连接AF、BF，求ABF的度数；（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求O的半径。8、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点0，过点O作OEAC交AB于E,若BC=4，AOE的面积为5，求sinBOE的值参考答案：11、3、【解析】圆与直线的位置关系；相似和三角函数【答案】（1）证明：连结OCODBC所以EOC=EOB在EOC和EOB中EOCEOB（SAS）OBE=OCE=90BE与O相切（2）解：过点D作DHABODHOBDOD：OB=OH：OD=DH：BD又sinABC=OD=6OH=4，OH=5，DH=2又ADHAFBAH：AB=DH：PB13:18=2:FBFB=【点评】（1）利用全等三角形求出角度为90，即得到相切的结论。（2）利用三角形相似和三角函数求出三角形各线段的长。4 分析】（1）由BF是圆O的切线，AB是圆O的直径，根据切线的性质，可得到BFAB，然后利用平行线的判定得出CDBF（2）由AB是圆O的直径，得到ADB=90 ，由圆周角定理得出BAD=BCD，再根据三角函数cosBAD= cosBCD=即可求出AD的长【解析】（1）证明：BF是圆O的切线，AB是圆O的直径 BFAB CDAB CDBF （2）解：AB是圆O的直径 ADB=90 圆O的半径5 AB=10 BAD=BCDcosBAD= cosBCD=8 AD=85【解析】（1）要证PA是O的切线，只要连接OB，再证PAOPBO90即可（2）OD，OP分别是RtOAD，RtOPA的边，而这两个三角形相似且这两边不是对应边，所以可证得OA2ODOP，再将EF2OA代入即可得出EF，OD，OP之间的等量关系（3）利用tanF，得出AD，OD之间的关系，据此设未知数后，根据ADBD，ODBC3，AOOCOFFDOF，将AB，AC也表达成含未知数的代数式，再在RtABC中运用勾股定理构建方程求解【答案】解：（1）证明：如下图，连接OB，PB是O的切线，PBO90OAOB，BAPO于D，ADBD，POAPOB又POPO，PAOPBOPAOPBO90直线PA为O的切线ACBDEFOP（2）EF24ODOP证明：PAOPDA90，OADAOD90，OPAAOP90OADOPAOADOPA，即OA2ODOP又EF2OA，EF24ODOP（3）OAOC，ADBD，BC6，ODBC3设ADx，tanF，FD2x，OAOF2x3在RtAOD中，由勾股定理 ，得(2x3)2x232解之得，x14，x20（不合题意，舍去）AD4，OA2x35AC是O的直径，ABC90而AC2OA10，BC6，cosACBOA2ODOP，3(PE5)25PE6、解析：利用切线的性质和等边对等角可以证明EGK=EKG，然后根据等角对等边，即可证明第（1）小题；对于第（2）小题，可以先由等积式得到比例式，然后得到三角形相似，根据角的关系可以判断两条直线的位置关系；对于第（3）小题，可以先利用方程的思想求出相关线段的长，然后利用三角函数求FG的长。答案：（1）如下图，连接OG，EG是O的切线OGGEOGK+EGK90CDABOAG+AKH90OG=OAOGK=OAGEGK=AKH=EKGKE=GE；（2）ACEF理由如下：=KDGE，GE=KEKGDKGEKGDEKGDCECACEF（3）在（2）的条件下，ACEFCAFF，ECsinE=sinC=,sinF=,tanE=tanC=连接BG，过G作GNAB于N，交O于Q则弧BQ=弧BGBGNBAG设AH=3k，则CH=4k于是BH=，OG=EG是切线，CDABOGF90FOG+F=E+FFOG=ENG=OGsinFOG=BN=OB-ON=OG-OGcosFOG=BG=QN7、【解析】（1）连接OB，证OBBC，即证OBE+EBC=90。通过OA=OB，CE=CB，AED=BEC，可将OBE、EBC分别转化为A、AED，结合CDOA可证OBE+EBC=90；（2）连接OF，由CD垂直平分OA得AF=OF=OA，再结合圆心角与圆周角关系易求ABF的度数；，（3）作CGBE于G，得A=ECG，CG是BE垂直平分线，由CD=15，BE=10，sinA=，可求EG、CE、CG、DE长度，通过ADECGE可求AD，从而计算半径OA。【答案】（1）证明：连接OB。OA=OB，A=OBE。CE=CB，CEB=EBC，AED =EBC，AED = EBC，又CDOA A+AED=OBA+EBC=90，BCO是的切线；（2）CD垂直平分OA，OF=AF，又OA=OF，OA=OF=AF，O=60，ABF=30； （3）作CGBE于G，则A=ECG。CE=CB，BD=10，EG=BG=5，sinECG=sinA=，CE=13，CG=12.又CD=15，DE=2。ADECGE，即，AD=，OA=，即O的半径是。