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电磁场与电磁波第三章3.7无限大导体平板分别置于x=0和x=d处，板间充满电荷，其体电荷密度为=0xd,极板间的电位分别为0和U0，如图所示，求两级板之间的电位和电场强度。解：由泊松定理得d2dx2=-100xd 解得=-0x360d+Ax+B在x=0处，=0，故B=0 在x=d处，=U0，故U0=-0x360d+Ad故A=U0d+0d60=-0x360d+U0d+0d60x E=-=-exx=ex0x220d-U0d+0d60 3.8证明：同轴线单位长度的静电储能We=ql22C。式中ql为单位长度上的电荷量，C为单位长度上的电容。解：由高斯定理可知：E=ql2故内外导体间的电压为U=abEd=abql2d=ql2lnba则电容为C=qlU=2lnbaWe=12E2dV=12abql222d=12ql22lnba=ql22C3.9有一半径为a,带电量q的导体球，其球心位于介电常数分别为1和2的两种介质的分界面上，该分界面为无限大平面。试求：（1）导体球的电容；（2）总的静电常量。解：根据边界条件则E1t=E2t,故有E1=E2=E,由于D1=1E1,D2=2E2,所以D1D2，由高斯定理可得D1S1+D2S2=q即2r21E+2r22E=qE=q2r2(1+2)导体球的电位为a=aEdr=q2(1+2)a1r2dr=q2(1+2)a电容为C=qa=21+2a(2)总的静能量为We=12qa=q24(1+2)a3.13在一块厚度为d的导电板上，由两个半径分别为r1和r2的圆弧和夹角为的两半径割出的一块扇形体，如图所示。试求：（1）沿厚度方向的电阻；（2）两圆弧面之间的电阻；（3）沿方向的两电极间的电阻。设导电板的电导率为。解：（1）设沿厚度方向的两电极的电压为U1则E1=U1d J1=E1=U1d I1= J1S1=U1d2r22-r12 故得到沿厚度方向的电阻为R1=U1I1=2dr22-r12（2）设内外两圆弧面电极之间的电流为I2,则J2=I2S2=I2rdE2=J2=I2rd U2=r1r2E2dr=I2rdlnr2r1 故两圆弧面之间的电阻为R2=U2I2=1rdlnr2r1（3）设沿方向的两电极的电压为U3,则U3=0E3rd 由于E3与无关，故得 E3=eU3r J3=E3=eU3r I3=J3edS=r1r2dU3rdr=dU3lnr2r1 沿方向的电阻为 R3=U3I3=dlnr2r13.15无限长直线电流I垂直于磁导率分别为1和2的两种磁介质的分界面，如图所示，试求：（1）两种磁介质中的磁感应强度B1和B2;（2）磁化电流分布。解：（1）由安培环路定理可知H=eI2 则 B1=0H=e0I2 B2=H=eI2（2）磁介质的磁化强度M=10B2-H=e-0I20 Jm=M=ez1ddM=ez-0I201dd1=0以z轴为中心，为半径做一个圆形回路C，由安培环路定理得I+Im=10Bdl=I0 Im=0-1I在磁介质表面，磁化电流面密度为JmS=Mezz=0=e-0I203.19同轴线的内导体是半径为a的圆柱，外导体是半径为b的薄圆柱面，其厚度可忽略不计。内外导体间填充有磁导率为1和2两种不同的磁介质，如题所示，设同轴线中通过的电流为I,试求：（1）同轴线中单位长度所存储的磁场能量；（2）单位长度的自感。解：由边界条件可知，两种磁介质中的磁感应强度B1=B2=B=eB, 但磁场强度H1H2.（1）利用安培环路定理，当a时，有2B0=0Ia22 B0=0I2a2当ab时，有H1+H2=I,即B11+B22=I,故B=e12I(1+2)同轴线中单位长度储存的磁场能量为Wm=120aB0202d+12abB21d+12abB22d=0I216+12I22(1+2)lnba（2）由Wm=12LI2，则单位长度的自感为L=2WmI2=08+12(1+2)lnba3.21一个点电荷q与无限大导体平面的距离为d，如果把它移到无穷远处，需要做多少功？解：利用镜像法求解。当点电荷q移到到距离导体平面为x的点p(x,0,0)时，其像电荷q=-q,位于点-x,0,0处，像电荷在点p处产生的电场为Ex=ex-q402x2将点电荷q移到无穷远处时，电场所做的功为We=dqExdr=d-q2402x2dx=-q2160d外力所做的功为Wo=-We=q2160d3.24一个半径为R的导体球带有的电荷量为Q,在球体外距离球心D处有一个点电荷q。（1）求点电荷q与导体球之间的静电力；（2）证明：当q与Q同号且QqRD3D2-R22-RD成立时，F表现为吸引力。解：（1）本题用点电荷对不接地导体球面的镜像来求解像电荷q和q的大小和位置为q=-RDq, d=R2D q=-q=RDq ,d=0 导体球自身所带的电荷Q用位于球心的点电荷Q等效，故点电荷q受到的静电力为 F=qq40D-d2+q(Q+q)40D2=q40Q+RDqD2-RqDD-R2D2（2）证明：当q与Q同号，且F表现为吸引力，即F0,则 Q+RDqD2-RqDD-R2D20由此可得QqRD3D2-R22-RD3.29如图所示的导体槽，地面保持电位U0，其余两面电位为零，求槽内的电位的解。解：由题可知，导体槽沿z方向为无限长，则x,y满足二维拉普拉斯方程。即：2x,y=0电位满足的边界条件为0,y=0a,y=0x,0=U0x,y0y根据条件，通解为x,y=n=1Ane-nyasinnxa由条件，有U0=n=1Ansinnxa两边同乘sinnxa，并从0到a对x积分，得到An=2U0a0asinnxadx=2U0n1-cosn=4U0n, n=1,3,50, n=2,4,6故得到槽内的电位分布为x,y=4U0n=1,3,51ne-nyasinnxa
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