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泛函分析考试试卷一、选择题。 1、下列说法不正确的是（ ）A、 n维欧式空间Rn 是可分空间 B、 全体有理数集为Rn 的可数稠密子集C、 l 是不可分空间 D、若X为不可数集则离散度量空间X是可分的 答案：D 2、设T是度量空间(X,d）到度量空间（Y，d）的映射，那么T在x0X连续的充要条件是（ ）A、 当xnx0（n）时，必有TxnTx0（n）B、当xnx0（n）时，必有Tx0Txn（n）C、当x0xn（n）时，必有TxnTx0（n）D、当xnx0（n0）时，必有TxnTx0（n0） 答案：D 3、在度量空间中有（ ）A、 柯西点列一定收敛，但是每一个收敛点列不一定是柯西点列B、 柯西点列一定收敛，而且每一个收敛点列是柯西点列C、 柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列都是柯西点列D、 柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列不一定是柯西点列 答案：C 4、关于巴拿赫空间叙述不正确的是（ ）A、完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间B、Lpa，b（p1）是巴拿赫空间C、空间lp是巴拿赫空间D、赋范线性空间的共轭空间不是巴拿赫空间 答案：D 5、 下列对共轭算子性质描述错误的是（ ） A、（A+B)*=A*+B*; B、(A*)*=A* C、当X=Y时,(AB)*=B*A* D、（aA)*=A* 答案：B2、 填空题 1、度量空间X到Y中的映射T是X上的连续映射的充要条件为Y中的任意开集M为 。 答案：原像T-1M是X中的开集 2、设T是赋范线性空间X到赋范线性空间Y中的线性算子，则T为有界算子的充要条件是T是X上的 。 答案：连续算子。 3、若T为复内积空间X上有界线性算子，那么T=0的充要条件是对一切xX有 。 答案：（Tx，x）=0 4、有界线性算子T的共轭算子T也是有界线性算子，并且 。 答案：= 5、设fn是巴拿赫空间X上的一列泛函，如果fn在X的每点x处有界，那么fn 。 答案：一致有界3、 判断题 1、自伴算子一定为正常算子，正常算子不一定是自伴算子。（ ） 2、设T1和T2是希尔伯特空间X上两个自伴算子，则T1*T2自伴的充要条件是T1*T2=T2*T1。（ ） 3、强收敛必定弱收敛，弱收敛必定强收敛。（ ） 4、设X和Y都是巴拿赫空间，如果T是从X到Y上的一对一有界线性算子，则T的逆算子T-1不是有界线性算子。（ ） 5、无界算子不是闭算子。（ ）四、证明题 1. 设 X 是赋范线性空间, f 是X上连续线性泛函, 证明 f 的零空间N ( f ) 是 X 中闭子空间.证明：对任何 x, y N ( f ), 及任何 a, b f (a x + b y) = a f (x) + b f (y) = 0 所以 a x + b y N ( f ). 所以 N (f) 是线性空间. 又设 x n N ( f ), 且 x n x X, 由 f连续 f (x) = lim n f (x n) = 0 所以x N ( f ). 所以 N ( f ) 是闭集. 2. 设 X 是赋范空间, A, B B (X X) 是X上正则算子, 证明 T = A B 是X上正则算子. 证 A, B是正则算子, 所以 A - 1, B - 1 存在, 且 A - 1, B - 1 B (X X) 令 S = B - 1 A - 1 B (X X), 则S T = B - 1 A - 1 A B = I, A B B - 1 A - 1 = I 所以 S = T - 1, 所以 T是正则算子. 3. 设H是实内积空间, A是H上自伴算子, 证明A = 0 的充分必要条件是对所有x H, A x, x = 0. 证明 必要性: A x, x = 0, x = 0, x H. 充分性: 对任意 x, y H 0 = A (x + y), x + y = A x, x + A x, y + A y, x + A y, y = A x, y + A y, x 由 T是自伴算子 A y, x = y, A x = A x, y , 所以 2 A x, y = 0 x, y H 所以 A x = 0 x H 所以 A = 0. 4、证明：是可分空间。解：考虑集合，即是由至多有限个坐标不为0，且坐标都是有理数的元素构成。因此，是可数集。对于，有，所以，当时，有有理数的稠密性，可取得，使得令。且即在中稠密。依定义知是可分的。5、设是内积空间，则当，时，即内积关于两变元连续。解：是内积空间，设是由其内积导出的范数，由于，所以，使得当时均有和同时由于，故知有界，所以有限。因此可取因此故，即五、计算题 1、在实数轴上，令，当为何值时，是度量空间，为何值时，是赋范空间。解：若是度量空间，所以，必须有：成立即，取，有，所以，若是赋范空间，所以，必须有：成立，即，当时，若是度量空间，时，若是赋范空间。
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