因式分解知识点总结.doc

第一讲 因式分解一，知识梳理1. 因式分解 定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。 即：多项式几个整式的积 例： 因式分解，应注意以下几点。 1. 因式分解的对象是多项式； 2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式； 3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止； 4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式； 5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式； 6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。2.因式分解的方法： （1）提公因式法： 定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。 例：的公因式是 解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、-8、6，它们的最大公约数为2；字母部分都含有因式，故多项式的公因式是2.提公因式的步骤第一步：找出公因式；第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。多项式中第一项有负号的，要先提取符号。例1：把分解因式. 解析：本题的各项系数的最大公约数是6，相同字母的最低次幂是ab，故公因式为6ab。 解：例2：把多项式分解因式解析：由于，多项式可以变形为,我们可以发现多项式各项都含有公因式（）,所以我们可以提取公因式（）后,再将多项式写成积的形式.解：=例3：把多项式分解因式 解：= （2）运用公式法 定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。 注意：公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。 选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式可考虑平方差公式；若多项式是三项式，可考虑完全平方公式。例1：因式分解 解：=例2：因式分解 解：= （3）分组分解法（拓展） 将多项式分组后能提公因式进行因式分解；例：把多项式分解因式 解：= 将多项式分组后能运用公式进行因式分解. 例：将多项式因式分解解：= （4）十字相乘法（形如形式的多项式，可以考虑运用此种方法） 方法：常数项拆成两个因数，这两数的和为一次项系数 例：分解因式 分解因式补充点详解 补充点详解我们可以将-30分解成pq的形式， 我们可以将100分解成pq的形式，使p+q=-1, pq=-30,我们就有p=-6, 使p+q=52, pq=100,我们就有p=2,q=5或q=-6,p=5。 q=50或q=2,p=50。 所以将多项式可以分 所以将多项式可以分解为 解为52 -6503.因式分解的一般步骤： 如果多项式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑运用公式法；若是四项或四项以上的多项式，通常采用分组分解法，最后运用十字相乘法分解因式。因此，可以概括为：“一提”、“二套”、“三分组”、“四十字”。注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的因式分解，若题目没有明确指出在哪个范围内因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式的结果，必须是几个整式的积的形式。一、 例题解析提公因式法提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面.确定公因式的方法：系数取多项式各项系数的最大公约数；字母(或多项式因式)取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.【例 1】 分解因式：(为正整数)(、为大于1的自然数)【巩固】 分解因式： ，为正整数.【例 2】 先化简再求值，其中，【巩固】 求代数式的值：，其中.【例 3】 已知：，求的值.【巩固】 分解因式：.