高考第一轮复习数列知识精讲知识点总结.doc

高考第一轮复习数列知识精讲知识点总结知识精讲一、等差数列与前n项和1等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示数学语言表达式：an1and(nN*)，d为常数2等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列an的首项是a1，公差是d，则其通项公式为ana1(n1)d.若等差数列an的第m项为am，则其第n项an可以表示为anam(nm)d.(2)等差数列的前n项和公式Snna1d.(其中nN*，a1为首项，d为公差，an为第n项)3等差数列及前n项和的性质(1)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A.(2)若an为等差数列，当mnpq，amanapaq(m，n，p，qN*)(3)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列(4)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列(5)S2n1(2n1)an.(6)若n为偶数，则S偶S奇；若n为奇数，则S奇S偶a中(中间项)4等差数列与函数的关系(1)等差数列与一次函数的区别与联系等差数列一次函数解析式anknb(nN*)f(x)kxb(k0)不同点定义域为N*，图象是一系列孤立的点(在直线上)，k为公差定义域为R，图象是一条直线，k为斜率相同点数列的通项公式与函数解析式都是关于自变量的一次函数k0时，数列anknb(nN*)图象所表示的点均匀分布在函数f(x)kxb(k0)的图象上；k0时，数列为递增数列，函数为增函数；k0时，数列为递减数列，函数为减函数(2)等差数列前n项和公式可变形为Snn2n，当d0时，它是关于n的二次函数，它的图象是抛物线yx2x上横坐标为正整数的均匀分布的一群孤立的点二、等比数列与前n项和1等比数列的有关概念(1)等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q0)表示数学语言表达式：q(n2)，q为常数(2)等比中项如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项即：G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2ab.2等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列an的首项为a1，公比是q，则其通项公式为ana1qn1；若等比数列an的第m项为am，公比是q，则其第n项an可以表示为anamqnm.(2)等比数列的前n项和公式：当q1时，Snna1；当q1时，Sn.3等比数列及前n项和的性质(1)若an为等比数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，akm，ak2m，仍是等比数列，公比为qm.(3)当q1，或q1且n为奇数时，Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn.(4)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，a，anbn，仍是等比数列三、数列求和1公式法(1)等差数列的前n项和公式：Snna1d.(2)等比数列的前n项和公式：Sn2数列求和的几种常用方法(1)分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减(2)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的(4)倒序相加法如果一个数列an的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的(5)并项求和法在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解例如，Sn10029929829722212(1002992)(982972)(2212)(10099)(9897)(21)5 050.3常见的拆项公式(1)；(2)；(3).四、数列的综合应用1等差数列和等比数列的综合等差数列中最基本的量是其首项a1和公差d，等比数列中最基本的量是其首项a1和公比q，在等差数列和等比数列的综合问题中就是根据已知的条件建立方程组求解出这两个数列的基本量解决问题的2数列和函数、不等式的综合(1)等差数列的通项公式和前n项和公式是在公差d0的情况下关于n的一次或二次函数(2)等比数列的通项公式和前n项和公式在公比q1的情况下是公比q的指数函数模型(3)数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等，需熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题3数列的应用题(1)解决数列应用题的基本步骤是：根据实际问题的要求，识别是等差数列还是等比数列，用数列表示问题的已知；根据等差数列和等比数列的知识以及实际问题的要求建立数学模型；求出数学模型，根据求解结果对实际问题作出结论(2)数列应用题常见模型：等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量，该模型是等差数列模型，增加(或减少)的量就是公差；等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，该模型是等比数列模型，这个固定的数就是公比；递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an1的递推关系，或前n项和Sn与Sn1之间的递推关系经典题型【例1】 在等差数列an中，a11，a33.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列an的前k项和Sk35，求k的值【例2】 若数列an的前n项和为Sn，且满足an2SnSn10(n2)，a1.(1)求证：成等差数列；(2)求数列an的通项公式【例3】 (1)设Sn为等差数列an的前n项和，S84a3，a72，则a9()A6 B4 C2 D2(2)在等差数列an中，前m项的和为30，前2m项的和为100，则前3m项的和为_【例4】 (2013济宁测试)设数列an的前n项和为Sn，若对于任意的正整数n都有Sn2an3n，设bnan3.【例5】已知等比数列an满足：|a2a3|10，a1a2a3125.(1)求数列an的通项公式；(2)是否存在正整数m，使得1？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由【例6】 (1)(2012新课标全国卷)已知an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10()A7 B5 C5 D7(2) 等比数列an的首项a11，前n项和为Sn，若，则公比q_.【例7】 已知数列an的通项公式是an23n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，求其前n项和Sn.【例8】 (2014湖州质检)在等比数列an中，已知a13，公比q1，等差数列bn满足b1a1，b4a2，b13a3.(1)求数列an与bn的通项公式；(2)记cn(1)nbnan，求数列cn的前n项和Sn.【例9】 已知等差数列an的公差不为零，a125，且a1，a11，a13成等比数列(1)求an的通项公式；(2)求a1a4a7a3n2.【例10】 已知数列an是公差为2的等差数列，它的前n项和为Sn，且a11，a31，a71成等比数列(1)求an的通项公式；(2)求数列的前n项和Tn.课堂测评1记Sn为等差数列an前n项和，若1，则其公差d()A. B2 C3 D42在等差数列an中，a5a6a715，那么a3a4a9等于()A21 B30 C35 D403在等差数列an中，首项a10，公差d0，若ama1a2a9，则m的值为()A37 B36 C20 D194. (1)已知an是首项为1的等比数列，Sn是an的前n项和，且9S3S6，则数列的前5项和为_(2)设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和已知a2a41，S37，则S5_.5. (1)已知x，y，zR，若1，x，y，z，3成等比数列，则xyz的值为()A3 B3 C3 D3(2)(2014昆明模拟)在各项均为正数的等比数列an中，a31，a51，则a2a2a6a3a7()A4 B6 C8 D845.已知点(1,2)是函数f(x)ax(a0，且a1)的图象上一点，数列an的前n项和Snf(n)1.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列an前2 013项中的第3项，第6项，第3k项删去，求数列an前2 013项中剩余项的和6.正项数列an的前n项和Sn满足：S(n2n1)Sn(n2n)0.(1)求数列an的通项公式an；(2)令bn，数列bn的前n项和为Tn，证明：对于任意的nN*，都有Tn.7.已知数列an的前n项和是Sn，且Snan1(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog(1Sn1)(nN*)，令Tn，求Tn.8. 设数列an满足a12，a2a48，且对任意nN*，函数f(x)(anan1an2)xan1cos xan2sin x满足f0.(1)求数列an的通项公式；(2)若bn，求数列bn的前n项和Sn.9.已知正项数列an的首项a11，前n项和Sn满足an(n2)(1)求证：为等差数列，并求数列an的通项公式；(2)记数列的前n项和为Tn，若对任意的nN*，不等式4Tna2a恒成立，求实数a的取值范围课后作业1在等差数列an中，a1533，a2566，则a35_.2已知等差数列an的首项a11，前三项之和S39，则an的通项an_.3若等差数列an的前n项和为Sn(nN*)，若a2a352，则S3S5_.4在数列an中，已知a11，且an12an3n4(nN*)(1)求证：数列an1an3是等比数列；(2)求数列an的通项公式及前n项和Sn.5已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足a24，a3a417.(1)求an的通项公式；(2)设bn2an2，证明数列bn是等比数列并求其前n项和Tn.6.设等差数列an的前n项和为Sn，且S44S2，a2n2an1.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn的前n项和为Tn，且Tn(为常数)，令cnb2n，(nN*)，求数列cn的前n项和Rn.7.在数列an中，a12，an13an2.(1)记bnan1，求证：数列bn为等比数列；(2)求数列nan的前n项和Sn.8.已知等比数列an满足2a1a33a2，且a32是a2，a4的等差中项(1)求数列an的通项公式；(2)若bnanlog2，Snb1b2bn，求使Sn2n1470成立的n的最小值家长签名：