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历年高考数学压轴题集锦1椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点（）的准线与x轴相交于点，过点的直线与椭圆相交于、两点。 （1）求椭圆的方程及离心率；（2）若，求直线的方程；（3）设（），过点且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点，证明. (14分)2 已知函数对任意实数x都有，且当时，。（1） 时，求的表达式。（2） 证明是偶函数。（3） 试问方程是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由。3（本题满分12分）如图，已知点F（0，1），直线L：y=-2，及圆C：。（1） 若动点M到点F的距离比它到直线L的距离小1，求动点M的轨迹E的方程；（2） 过点F的直线g交轨迹E于G（x1，y1）、H（x2，y2）两点，求证：x1x2 为定值；（3） 过轨迹E上一点P作圆C的切线，切点为A、B，要使四边形PACB的面积S最小，求点P的坐标及S的最小值。4.以椭圆1（a1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形.5 已知，二次函数f（x）ax2bxc及一次函数g（x）bx，其中a、b、cR，abc，abc0.（）求证：f（x）及g（x）两函数图象相交于相异两点；（）设f（x）、g（x）两图象交于A、B两点，当AB线段在x轴上射影为A1B1时，试求|A1B1|的取值范围.6 已知过函数f（x）=的图象上一点B（1，b）的切线的斜率为3。（1） 求a、b的值；（2） 求A的取值范围，使不等式f（x）A1987对于x1，4恒成立；（3） 令。是否存在一个实数t，使得当时，g（x）有最大值1？ 7 已知两点M（2，0），N（2，0），动点P在y轴上的射影为H，是2和的等比中项。（1） 求动点P的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线；（2） 若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q，求实轴最长的双曲线C的方程。8已知数列an满足 （1）求数列bn的通项公式； （2）设数列bn的前项和为Sn，试比较Sn与的大小，并证明你的结论.9已知焦点在轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线对称（）求双曲线C的方程；（）设直线与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线经过M（-2，0）及AB的中点，求直线在轴上的截距b的取值范围； （）若Q是双曲线C上的任一点，为双曲线C的左，右两个焦点，从引的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程10. 对任意都有（）求和的值（）数列满足：=+，数列是等差数列吗？请给予证明；AOBxPy（）令试比较与的大小11. ：如图，设OA、OB是过抛物线y22px顶点O的两条弦，且0，求以OA、OB为直径的两圆的另一个交点P的轨迹.(13分)12.知函数f(x)log3(x22mx2m2)的定义域为R(1)求实数m的取值集合M；(2)求证：对mM所确定的所有函数f(x)中，其函数值最小的一个是2，并求使函数值等于2的m的值和x的值.13.设关于x的方程2x2-tx-2=0的两根为函数f(x)= (1). 求f(的值。 （2）。证明：f(x)在上是增函数。 （3）。对任意正数x1、x2,求证：14已知数列an各项均为正数，Sn为其前n项的和.对于任意的，都有.I、求数列的通项公式.II、若对于任意的恒成立，求实数的最大值.15.( 12分)已知点H（3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足=0，=，（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；（2）过点T（1，0）作直线l与轨迹C交于A、B两点，若在x轴上存在一点E（x0,0），使得ABE为等边三角形，求x0的值.16.（14分）设f1(x)=,定义fn+1 (x)=f1fn(x),an=,其中nN*.(1) 求数列an的通项公式；(2)若T2n=a1+2a2+3a3+2na2n,Qn=,其中nN*,试比较9T2n与Qn的大小.17 已知=（x,0），=（1，y），（+）（）（I） 求点（x，y）的轨迹C的方程；（II） 若直线L：y=kx+m(m0)与曲线C交于A、B两点，D（0，1），且有 |AD|=|BD|，试求m的取值范围18已知函数对任意实数p、q都满足（1）当时，求的表达式；（2）设求证：（3）设试比较与6的大小19已知函数若数列：，成等差数列. （1）求数列的通项； （2）若的前n项和为Sn，求； （3）若，对任意,求实数t的取值范围.20已知OFQ的面积为 （1）设正切值的取值范围； （2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），当取得最小值时，求此双曲线的方程. （3）设F1为（2）中所求双曲线的左焦点，若A、B分别为此双曲线渐近线l1、l2上的动点，且2|AB|=5|F1F|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.21、已知函数是偶函数，是奇函数，正数数列满足 求的通项公式；若的前项和为，求.22、直角梯形ABCD中DAB90，ADBC，AB2，AD，BC椭圆C以A、B为焦点且经过点D（1）建立适当坐标系，求椭圆C的方程；（2）若点E满足，问是否存在不平行AB的直线l与椭圆C交于M、N两点且，若存在，求出直线l与AB夹角的范围，若不存在，说明理由23、设函数 （1）求证：对一切为定值； （2）记求数列的通项公式及前n项和.24. 已知函数是定义在R上的偶函数.当X0时, =.(I) 求当X0时, 的解析式;(II) 试确定函数= (X0)在的单调性，并证明你的结论.(III) 若且，证明：|0，a1=1，an+1= f()2，求数列an的通项公式an，并证明你的结论.30、已知点集其中点列在中，为与轴的交点，等差数列的公差为1，。（1）求数列，的通项公式；（2）若求；（3）若是否存在使得若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。21经过抛物线的焦点F的直线与该抛物线交于、两点. (12分)（1）若线段的中点为,直线的斜率为,试求点的坐标,并求点的轨迹方程（2）若直线的斜率,且点到直线的距离为,试确定的取值范围.1（1）解：由题意，可设椭圆的方程为。 由已知得解得所以椭圆的方程为，离心率。（2）解：由（1）可得A（3，0）。设直线PQ的方程为。由方程组得，依题意，得。设，则， 。 由直线PQ的方程得。于是。 ，。 由得，从而。所以直线PQ的方程为或（3，理工类考生做）证明：。由已知得方程组注意，解得因，故。而，所以。2 f(x)= (2kx2k+2, kZ) 略 方程在1，4上有4个实根3 x2=4y x1x2=-4 P(2,1) SMIN=4 .解：因a1，不防设短轴一端点为B（0，1）设BCykx1（k0）则AByx1 把BC方程代入椭圆，是（1a2k2）x22a2kx0|BC|，同理|AB|由|AB|BC|，得k3a2k2ka210（k1）k2（1a2）k10 k1或k2（1a2）k10当k2（1a2）k10时，（a21）24由0，得1a由0，得a，此时，k1故，由0，即1a时有一解由0即a时有三解 5 解：依题意，知a、b0abc且abc0a0且c0 （）令f（x）g（x），得ax22bxc0.（*）4（b2ac）a0，c0，ac0，0f（x）、g（x）相交于相异两点 （）设x1、x2为交点A、B之横坐标则|A1B1|2|x1x2|2，由方程（*），知|A1B1|2 ，而a0， 4（）21（3，12）|A1B1|（，2） 6、解：（1）=依题意得k=3+2a=3， a=3，把B（1，b）代入得b=a=3，b=1（2）令=3x26x=0得x=0或x=2f（0）=1，f（2）=233221=3f（1）=3，f（4）=17x1，4，3f（x）17要使f（x）A1987对于x1，4恒成立，则f（x）的最大值17A1987A2004。（1） 已知g（x）=0x1，33x20， 当t3时，t3x20，g（x）在上为增函数，g（x）的最大值g（1）=t1=1,得t=2（不合题意,舍去） 当0t3时, 令=0,得x=列表如下:x（0, ）0g（x）极大值g（x）在x=处取最大值t=1t=3x=1当t0时，0，g（x）在上为减函数，g（x）在上为增函数，存在一个a=，使g（x）在上有最大值1。7、解:（1）设动点的坐标为P（x,y）,则H（0,y）,=（2x,y）=（2x,y）=（2x,y）（2x,y）=由题意得PH2=2即即，所求点P的轨迹为椭圆（2）由已知求得N（2，0）关于直线x+y=1的对称点E（1，1），则QE=QN双曲线的C实轴长2a=（当且仅当Q、E、M共线时取“=”），此时，实轴长2a最大为所以，双曲线C的实半轴长a=又双曲线C的方程式为8.（1） （2）9解：（）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，则kx-y=0该直线与圆相切，双曲线C的两条渐近线方程为y=x2分故设双曲线C的方程为又双曲线C的一个焦点为 ，双曲线C的方程为4分（）由得令直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f(x)=0在上有两个不等实根因此 解得又AB中点为，直线l的方程为6分令x=0，得，8分（）若Q在双曲线的右支上，则延长到T，使，若Q在双曲线的左支上，则在上取一点T，使根据双曲线的定义，所以点T在以为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是 10分由于点N是线段的中点，设，则，即代入并整理得点N的轨迹方程为12分10 解：（）因为所以2分令，得，即4分（）又5分两式相加所以，7分又故数列是等差数列9分（）10分12分所以14分11设直线OA的斜率为k，显然k存在且不等于0则OA的方程为ykx由解得A()4分又由，知OAOB，所以OB的方程为yx由解得B(2pk2，2pk)4分从而OA的中点为A()，OB的中点为B(pk2，pk)6分所以，以OA、OB为直径的圆的方程分别为x2y20 x2y22pk2x2pky0 10分P(x，y)是异于O点的两圆交点，所以x0，y0由并化简得y(k)x 将代入，并化简得x(k21)2p 由消去k，有x2y22px0点P的轨迹为以(p，0)为圆心，p为半径的圆(除去原点).13分12(1)由题意，有x22mx2m20对任意的xR恒成立所以4m24(2m2)0即m200由于分子恒大于0，只需m230即可所以m或mMm|m或m4分(2)x22mx2m2(xm)2m2m2当且仅当xm时等号成立.所以，题设对数函数的真数的最小值为m27分又因为以3为底的对数函数为增函数f(x)log3(m2)当且仅当xm(mM)时，f(x)有最小值为log3(m2)10分又当mM时，m230m2m233239当且仅当m23，即m时，log3(m2)有最小值log3(6)log392当xm时，其函数有最小值2.13解析：（1）。，由根与系数的关系得， 同法得f( (2).证明：f/(x)=而当x时， 2x2-tx-2=2(x-故当x时, f/(x)0, 函数f(x)在上是增函数。 （3）。证明： , 同理. 又f(两式相加得: 即 而由（1），f( 且f(, .14(I)当时,又an各项均为正数,.数列是等差数列, (II) ,若对于任意的恒成立,则.令,.当时,.又，. 的最大值是. 15.（1）设点M的坐标为(x,y)，由=,得P(0,),Q(,0),2分由=0，得（3，）(x,)=0,又得y2=4x,5分由点Q在x轴的正半轴上，得x0,所以，动点M的轨迹C是以（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线，除去原点.6分（2）设直线l:y=k(x+1),其中k0,代入y2=4x,得k2x2+2(k22)x+k2=0,7分设A（x1,y1）,B(x2,y2),则x1,x2是方程的两个实根，x1+x2=,x1x2=1,所以，线段AB的中点坐标为(,),8分线段AB的垂直平分线方程为y=(x),9分令y=0,x0=+1,所以点E的坐标为(+1,0)因为ABE为正三角形，所以点E（+1,0）到直线AB的距离等于AB,而AB=,10分所以，=,11分解得k=,得x0=.12分16.（1）f1(0)=2,a1=,fn+1(0)=f1fn(0)=,an+1=an,4分数列an是首项为,公比为的等比数列，an=()n1.6分（2）T2n=a1+2a2+3a3+(2n1)a2n1+2na2n,T2n=(a1)+()2a2+()3a3+()(2n1)a2n1+()2na2n=a2+2a3+(2n1)a2nna2n,8分两式相减得T2n=a1+a2+a3+a2n+na2n,所以，T2n=+n()2n1=()2n+()2n1, 10分T2n=()2n+()2n1=(1). 9T2n=1,Qn=1, 12分当n=1时，22n=4,(2n+1)2=9,9T2nQn;当n=2时，22n=16,(2n+1)2=25,9T2nQn; 13分当n3时，22n=（1+1）n2=(C+C+C+C)2(2n+1)2,9T2nQn. 14分17解（I）+=（x,0）+(1,y)=(x+, y),=（x, 0）(1,y)= (x, y).(+)(), (+)()=0, (x+)( x)+y(y)=0, 故P点的轨迹方程为（分）（II）考虑方程组 消去y，得（13k2）x2-6kmx-3m2-3=0 (*)显然1-3k20, =(6km)2-4(1-3k2)( -3m2-3)=12(m2+1-3k2)0.设x1,x2为方程*的两根，则x1+x2=，x0=, y0=kx0+m=,故AB中点M的坐标为（，）,线段AB的垂直平分线方程为y=（）,将D（0，1）坐标代入，化简得 4m=3k21,故m、k满足 消去k2得 m24m0, 解得 m4.又4m=3k211, 故m(,0)(4,+)（分）18(1)解由已知得(4分)(2)证明由(1)可知设则 两式相减得+ （9分）（3）解由（1）可知则 =故有 =6 （分）19（1） （2） （3）为递增数列 中最小项为20（1） （2）设所求的双曲线方程为 又由当且仅当c=4时，最小，此时Q的坐标为所求方程为 （3）设 的方程为的方程为 则有 设由得 ，代入得 的轨迹为焦点在y轴上的椭圆.21、解：（1）为偶函数 为奇函数 是以为首项，公比为的等比数列. （2） 22、解析：（1）如图，以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴建立直角坐标系，A（-1，0），B（1，0）设椭圆方程为：令椭圆C的方程是：（2），lAB时不符，设l：ykxm（k0）由M、N存在D设M（，），N（，），MN的中点F（，）， 且l与AB的夹角的范围是，23、（1） 24、（1）当X0时, （3分）（2）函数= (X0)在是增函数；（证明略） （9分）（3）因为函数= (X0)在是增函数，由x得；又因为，所以，所以；因为，所以，且，即，所以，-2f(x1) f(x2) 2即|2. （14分）25、解：由题意易得M(-1,0)设过点M的直线方程为代入得（）再设（，），（，）则x2=，x2=yy2=k(x1+1)+k(x2+1)=k(x2)+2k=的中点坐标为（）那么线段的垂直平分线方程为，令得，即又方程（）中若ABD是正三角形，则需点D到AB的距离等于点到AB的距离d=据得：，满足ABD可以为正，此时26、解：设E（x，y），D（x0，y0）ABCD是平行四边形，（4，0）+（x0+2，y0）=2（x+2，y）（x0+6，y0）=(2x+4，2y)又即：ABCD对角线交点E的轨迹方程为设过A的直线方程为以A、B为焦点的椭圆的焦距2C=4，则C=2设椭圆方程为 ， 即（*）将代入（*）得 即 设M（x1，y1），N（x2，y2）则MN中点到Y轴的距离为，且MN过点A，而点A在Y轴的左侧，MN中点也在Y轴的左侧。， 即 ， ， ， 所求椭圆方程为由可知点E的轨迹是圆设是圆上的任一点，则过点的切线方程是当时，代入椭圆方程得： ，又=令则 ， 当t=15时， 取最大值为15 ，的最大值为。此时 ，直线l的方程为当时，容易求得故：所求的最大值为，此时l的方程为27解（理）（1）易得l的方程为1分 由，得（a2t2+4）y24aty=02分解得y=0或 即点M的纵坐标4分S=SAMN=2SAOM=|OA|yM=7分 （2）由（1）得， 令9分 由当时，10分 若1a2，则，故当时，Smax=a11分若a2，则在1，2上递增，进而S(t)为减函数. 当t=1时,13分综上可得14分28. (1) 函数f(x)= 的图象过原点，即f(0)=0，c =0，f(x)= .又函数f(x)= = b - 的图象关于点（-1，1）成中心对称，a=1，b=1，f(x)= .(2)由题意有an+1= 2，即 = ，即 = +1， - =1.数列是以1为首项，1为公差的等差数列. =1+(n-1)=n，即 = ，an= .a2= ，a3= ，a4= ，an= .29、解：（1）由，得 2分