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第22练直线与圆的综合问题明晰考情1.命题角度：求直线方程或圆的方程，直线、圆的位置关系.2.题目难度：圆的方程要求较高，试题难度中档或偏上.考点一直线与圆、圆与圆的位置关系方法技巧当直线和圆相切时，求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半径，求切线长一般要用切线、半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角形；与圆相交时，弦长的计算也要用弦心距、半径及弦长的一半构成的直角三角形.1.(2018常熟月考)已知圆C经过A(2，1)，B(5，0)两点，且圆心C在直线y2x上.(1)求圆C的方程；(2)动直线l: (m2)x(2m1)y7m80过定点M，斜率为1的直线m过点M，直线m和圆C相交于P, Q两点，求PQ的长度.解(1)设圆C的方程为x2y2DxEyF0，则解得D4, E8, F5，圆C的方程为x2y24x8y50.(2)动直线l的方程为(x2y7)m2xy80，则解得动直线l过定点M，直线m: yx1，圆心C到m的距离为，PQ的长为2.2.(2018江苏省扬州中学模拟)已知圆M的方程为x221，直线l的方程为x2y0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B.(1)若APB60，试求点P的坐标；(2)若P点的坐标为，过P作直线与圆M交于C，D两点，当CD时，求直线CD的方程.解(1)设P(2m，m)，由条件可知MP2，所以(2m)2(m2)24，解得m0, m，故所求点P的坐标为(0,0)或.(2)由题意知直线CD的斜率存在，设斜率为k，则直线CD的方程为y1k(x2)，由题意知圆心M到直线CD的距离为，所以，解得k1或.故所求直线CD的方程为xy30或x7y90.3.(2018泰州市姜堰区质检)已知圆C：(x4)2(y1)24，直线l：2mx(3m1)y20.(1)求证：直线l过定点；(2)求直线l被圆C所截得的弦长最短时m的值；(3)已知点M(4，5)，在直线MC上(C为圆心)存在定点N(异于点M)满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点N的坐标及该常数.(1)证明依题意得，m(2x3y)(2y)0.令2x3y0且2y0，得x3，y2，直线l过定点A(3,2).(2)解当ACl时，所截得弦长最短，由题意知C(4,1)，r2，kAC1，得kl1，由1，得m1.(3)解由题意知，直线MC的方程为x4，假设存在定点N(4，t)满足题意，则设P(x，y)，得PM22PN2 (0)，且(x4)24(y1)2， 4(y1)2(y5)2422(y1)22(yt)2，整理得(22t)28y(3t2)2280.上式对任意y1，3恒成立， (22t)280且(3t2)2280，即得t27t100 ，t2，t5(舍去，与M重合)，24，2.综上可知，在直线MC上存在定点N(4,2)，使得为常数2.4.已知圆M：2x22y24y23，直线l0：xy8，l0上一点A的横坐标为a，过点A作圆M的两条切线l1，l2，切点分别为B，C，D为线段BC的中点.(1)当a0时，求直线l1，l2的方程；(2)当直线l1，l2互相垂直时，求a的值；(3)是否存在点A，使得BC长为？若存在，求出点A的坐标，若不存在，请说明理由.解(1)圆M：x2(y1)2，圆心为M(0,1)，半径为，A(0,8)，设切线的方程为ykx8，圆心距d.k，所求直线l1，l2的方程为x5y400或x5y400.(2)当l1l2时，四边形MCAB为正方形，AMMB5.A(a,8a)，M(0,1)，则5，即a27a120，a3或a4.(3)若BC，则BD，MB，MD，又MB2MDMA，MA.圆心M到直线l0的距离为，点A不存在.考点二直线与圆的综合方法技巧解决直线与圆的综合问题，往往充分利用平面几何中圆的性质使问题简化.数形结合、分类讨论、函数与方程的思想在解决圆的有关问题时经常运用.5.已知圆C：x2y22x4y40.(1)直线l1过点P(2,0)，被圆C截得的弦长为4，求直线l1的方程；(2)直线l2的斜率为1，且l2被圆C截得的弦为AB，若以AB为直径的圆过原点，求直线l2的方程.解圆C：(x1)2(y2)29，圆心为C(1，2) ，半径为3，(1)直线l1过点P(2,0)，当直线斜率不存在时，l1：x2，此时l1被圆C截得的弦长为4，l1：x2；当直线斜率存在时，可设l1的方程为yk(x2) 即kxy2k0，由l1被圆C截得的弦长为4，则圆心C到l1的距离为1，1，解得k，l1的方程为y(x2)，即3x4y60，综上可知，l1的方程为x2或3x4y60.(2)设直线l2的方程为yxb，代入圆C的方程得x2(xb)22x4(xb)40.即2x2(2b2)xb24b40.(*)以AB为直径的圆过原点O，则OAOB.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2y1y20，即x1x2(x1b)(x2b)0，2x1x2b(x1x2)b20，x1,2.x1x2b1，x1x2，b24b4b(b1)b20，即b23b40，b4或b1.将b4或b1代入(*)式，对应的0.故直线l2：xy40或xy10. 6.如图，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A(3，2)的入射光线l1被直线l：yx反射.反射光线l2交y轴于B点，圆C过点A且与l1，l2都相切.(1)求l2所在直线的方程和圆C的方程；(2)设P，Q分别是直线l和圆C上的动点，求PBPQ的最小值及此时点P的坐标.解(1)直线l1：y2，设l1交l于点D，则D(2，2)，l的倾斜角为30，l2的倾斜角为60，k2.反射光线l2所在直线的方程为y2(x2)，即xy40.已知圆C与l1切于点A，设C(a，b)，圆心C在过点D且与l垂直的直线上，ba8.又圆心C在过点A且与l1垂直的直线上，a3，由得圆C的半径r3，故所求圆C的方程为(x3)2(y1)29.(2)设点B(0，4)关于l的对称点为B(x0，y0)，则，且，得B(2，2)，固定点Q可发现，当B，P，Q三点共线时，PBPQ最小，故PBPQ的最小值为BC3，设P(x，y)，由解得P.PBPQ的最小值为BC323.7.已知圆M：x2(y2)21，设点B，C是直线l：x2y0上的两点，它们的横坐标分别是t，t4(tR)，点P在线段BC上，过P点作圆M的切线PA，切点为A.(1)若t0，MP，求直线PA的方程；(2)经过A，P，M三点的圆的圆心是D，求线段DO长的最小值L(t).解(1)设P(2a，a)(0a2).M(0,2)，MP，.解得a1或a(舍去).P(2,1).由题意知切线PA的斜率存在，设斜率为k.直线PA的方程为y1k(x2)，即kxy2k10.直线PA与圆M相切，1，解得k0或k.直线PA的方程为y1或4x3y110.(2)设P(2a，a)(t2at4).PA与圆M相切于点A，PAMA.经过A，P，M三点的圆的圆心D是线段MP的中点.M(0,2)，点D的坐标是.设DO2f(a)，f(a)a22a2a12.当，即t时，f(a)minft21；当2，即t时，f(a)minf；当2，即t时，f(a)minf21t23t8，综上所述，L(t)8.(2018江苏太仓市明德高级中学月考)已知O：x2y21和点M(4，m).过O作M的两条切线，切点分别为A，B且直线AB的方程为4x2y110.(1)求M的方程；(2)设P为M上任一点，过点P向O引切线，切点为Q, 试探究：平面内是否存在一定点R，使得为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.解(1)以OM为直径的圆为xy0，设圆M的半径为R，故M的方程为22R2，直线AB的方程为4xmy16m2R20，解得R3，故M的方程为229.(2)假设存在这样的点R，点P的坐标为，相应的定值为(0)，根据题意可得PQ，即x2y212，(*)又点P为M上一点，229，即x2y28x4y11，代入(*)式得8x4y122，若系数对应相等，则等式恒成立，解得a2，b1，或a，b，可以找到这样的定点R，使得为定值.如点R的坐标为时，比值为；点R的坐标为时，比值为.例(14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3,4)，B(9,0)，C，D分别为线段OA，OB上的动点，且满足ACBD.(1)若AC4，求直线CD的方程；(2)证明：OCD的外接圆恒过定点(异于原点O).审题路线图(1)(2)规范解答评分标准(1)解因为A(3,4)，所以OA5.1分又因为AC4，所以OC1，所以C.3分由BD4，得D(5,0)，4分所以直线CD的斜率k，5分所以直线CD的方程为y(x5)，即x7y50.6分(2)证明设C(3m,4m)(0m1)，则OC5m.7分所以ACOAOC55m.因为ACBD，所以ODOBBD5m4，所以点D的坐标为(5m4,0).8分又设OCD的外接圆的方程为x2y2DxEyF0，则有10分解得D(5m4)，F0，E10m3，所以OCD的外接圆的方程为x2y2(5m4)x(10m3)y0，12分整理得x2y24x3y5m(x2y)0.令所以(舍去)或所以OCD的外接圆恒过定点(2，1).14分构建答题模板第一步设直线方程：关键是求出直线斜率，通过线段长构建方程求斜率.第二步求圆的方程：根据题意设出圆的一般式，求出圆的一般方程.第三步整理圆的方程：利用等式恒成立的思想求出定点坐标.1.已知圆C：(x3)2(y4)24，直线l1过定点A(1,0).(1)若l1与圆相切，求l1的方程；(2)若l1与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又l1与l2：x2y20的交点为N，判断AMAN是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由.解(1)若直线l1的斜率不存在，即直线是x1，符合题意，若直线l1的斜率存在，设直线l1为yk(x1)，即kxyk0.由题意知，圆心(3,4)到直线l1的距离等于半径2，即2，解得k，所求直线方程是x1,3x4y30.(2)直线与圆相交，斜率必定存在，且斜率为正数，可设直线方程为kxyk0，由得N.又直线CM与l1垂直，由得M，AMAN6为定值.故AMAN是定值，且定值为6.2.在平面直角坐标系中，已知圆C：x2(y4)24，有一动点P在直线x2y0上运动，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别为A，B.(1)求切线长PA的最小值；(2)试问：当点P运动时，弦AB所在的直线是否恒过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.解(1)因为PA是圆C的一条切线，所以CAP90，在RtCAP中，PA.因为PC的最小值为圆心C到直线x2y0的距离d，且d，所以切线长PA的最小值(PA)min.(2)设P(2b，b)，易知经过A，P，C三点的圆E以CP为直径，圆E的方程为x(x2b)(y4)(yb)0，即x2y22bx(b4)y4b0，又圆C：x2(y4)24，即x2y28y120，得圆E与圆C的相交弦AB所在直线的方程为2bx(b4)y124b0，即(2xy4)b4y120.由解得所以弦AB所在的直线恒过定点.3.(2018盐城调研)如图，在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2y24与x轴的正半轴交于点A，以点A为圆心的圆A：(x2)2y2r2(r0)与圆O交于B，C两点.(1)当r时，求BC的长；(2)当r变化时，求的最小值；(3)过点P(6，0)的直线l与圆A切于点D，与圆O分别交于点E，F，若点E是DF的中点，试求直线l的方程.解(1)当r时，由得B，C，BC.(2)由对称性，设B(x0，y0)，C(x0，y0)，则xy4，所以(x02)2y(x02)2(4x) 2(x01)22.因为2x02，所以当x01时，的最小值为2.(3)取EF的中点G，连结OG，AD，OF，则ADOG，则，从而OGr，不妨记DE2EG2GF2t，PD6t.在RtOFG中，OF2OG2FG2，即222t2，在RtADP中，AP2AD2DP2，即42r2(6t)2，由解得r.由题意可知直线l的斜率存在，可设直线l的方程为yk(x6) ，由点A到直线l的距离等于r，得，所以k，从而直线l的方程为x3y60.4.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2y212x14y600及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BCOA，求直线l的方程；(3)设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得，求实数t的取值范围.解(1)圆M的标准方程为(x6)2(y7)225，所以圆心M(6,7)，半径为5.由圆心N在直线x6上，可设N(6，y0).因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0y07，于是圆N的半径为y0，从而7y05y0，解得y01.因此，圆N的标准方程为(x6)2(y1)21.(2)因为直线lOA，所以直线l的斜率为2.设直线l的方程为y2xm，即2xym0，则圆心M到直线l的距离d.因为BCOA2，而MC2d22，所以255，解得m5或m15.故直线l的方程为2xy50或2xy150.(3)设P(x1，y1)，Q(x2，y2).因为A(2,4)，T(t,0)，所以因为点Q在圆M上，所以(x26)2(y27)225.将代入，得(x1t4)2(y13)225.于是点P(x1，y1)既在圆M上，又在圆x(t4)2(y3)225上，从而圆(x6)2(y7)225与圆x(t4)2(y3)225有公共点，所以5555，解得22t22.因此，实数t的取值范围是22，22.
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