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等差数列前项和的最值问题：1、若等差数列的首项，公差，则前项和有最大值。（）若已知通项，则最大；（）若已知，则当取最靠近的非零自然数时最大；2、若等差数列的首项，公差，则前项和有最小值（）若已知通项，则最小；（）若已知，则当取最靠近的非零自然数时最小；数列通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。已知（即）求，用作差法：。已知求，用作商法：。已知条件中既有还有，有时先求，再求；有时也可直接求。若求用累加法：。已知求，用累乘法：。已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1）形如、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求；形如的递推数列都可以除以得到一个等差数列后，再求。（2）形如的递推数列都可以用倒数法求通项。（3）形如的递推数列都可以用对数法求通项。（7）（理科）数学归纳法。（8）当遇到时，分奇数项偶数项讨论，结果可能是分段一、典型题的技巧解法1、求通项公式（1）观察法。（2）由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。(1)递推式为an+1=an+d及an+1=qan（d，q为常数）例1、 已知an满足an+1=an+2，而且a1=1。求an。例1、解 an+1-an=2为常数 an是首项为1，公差为2的等差数列an=1+2（n-1） 即an=2n-1例2、已知满足，而，求=？（2）递推式为an+1=an+f（n）例3、已知中，求.解： 由已知可知令n=1，2，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a2-a1）+（a3-a2）+（an-an-1） 说明 只要和f（1）+f（2）+f（n-1）是可求的，就可以由an+1=an+f（n）以n=1，2，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求an。(3)递推式为an+1=pan+q（p，q为常数）例4、中，对于n1（nN）有，求.解法一： 由已知递推式得an+1=3an+2，an=3an-1+2。两式相减：an+1-an=3（an-an-1）因此数列an+1-an是公比为3的等比数列，其首项为a2-a1=（31+2）-1=4an+1-an=43n-1 an+1=3an+2 3an+2-an=43n-1 即 an=23n-1-1解法二： 上法得an+1-an是公比为3的等比数列，于是有：a2-a1=4，a3-a2=43，a4-a3=432，an-an-1=43n-2，把n-1个等式累加得： an=23n-1-1(4)递推式为an+1=p an+q n（p，q为常数） 由上题的解法，得： (5)递推式为思路：设,可以变形为：，想于是an+1-an是公比为的等比数列，就转化为前面的类型。求。 (6)递推式为Sn与an的关系式关系；（2）试用n表示an。 上式两边同乘以2n+1得2n+1an+1=2nan+2则2nan是公差为2的等差数列。2nan= 2+（n-1）2=2n2数列求和问题的方法（1）、应用公式法等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。 135(2n-1)=n2【例8】 求数列1，（3+5），（7+9+10），（13+15+17+19），前n项的和。解 本题实际是求各奇数的和，在数列的前n项中，共有1+2+n=个奇数，最后一个奇数为：1+n(n+1)-12=n2+n-1因此所求数列的前n项的和为（2）、分解转化法对通项进行分解、组合,转化为等差数列或等比数列求和。【例9】求和S=1（n2-1）+ 2（n2-22）+3（n2-32）+n（n2-n2）解 S=n2（1+2+3+n）-（13+23+33+n3）（3）、倒序相加法适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒着写的两个和式相加，然后求和。例10、求和：例10、解 Sn=3n2n-1（4）、错位相减法如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的，可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和例11、 求数列1，3x，5x2,(2n-1)xn-1前n项的和解 设Sn=1+3+5x2+(2n-1)xn-1 (2)x=0时，Sn=1(3)当x0且x1时，在式两边同乘以x得 xSn=x+3x2+5x3+(2n-1)xn，-，得 (1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+2xn-1-(2n-1)xn(5)裂项法：把通项公式整理成两项(式多项)差的形式，然后前后相消。常见裂项方法：例12、求和注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项一样多。 在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题时的应用。二、常用数学思想方法1函数思想运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。【例13】 等差数列an的首项a10，前n项的和为Sn，若Sl=Sk（lk）问n为何值时Sn最大？此函数以n为自变量的二次函数。a10 Sl=Sk（lk），d0故此二次函数的图像开口向下 f（l）=f（k）2方程思想【例14】设等比数列an前n项和为Sn，若S3+S6=2S9，求数列的公比q。分析 本题考查等比数列的基础知识及推理能力。解 依题意可知q1。如果q=1，则S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1。由此应推出a1=0与等比数列不符。q1整理得 q3（2q6-q3-1）=0 q0此题还可以作如下思考：S6=S3+q3S3=（1+q3）S3。S9=S3+q3S6=S3（1+q3+q6），由S3+S6=2S9可得2+q3=2（1+q3+q6），2q6+q3=03换元思想【例15】 已知a，b，c是不为1的正数，x，y，zR+，且求证：a，b，c顺次成等比数列。 证明 依题意令ax=by=cz=kx=1ogak，y=logbk，z=logckb2=ac a，b，c成等比数列（a，b，c均不为0）
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