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课时作业(六)第6讲函数的奇偶性与周期性时间 / 45分钟分值 / 100分基础热身1.下列函数中,在其定义域上是偶函数的是()A.y=2-xB.y=x-3C.y=sinxxD.y=lg(2-x)-lg(2+x)2.2018孝义一模 若函数f(x)=2-x-2,x0为奇函数,则fg(2)=() A.-2B.-1C.0D.23.2018泉州3月质检 已知函数f(x)是偶函数,且f(x)=f(x+4),f(1)=1,则f(-9)=()A.-1B.-5C.1D.54.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,又是以2为周期的周期函数,若f(x)在-1,0上是减函数,则f(x)在2,3上是()A.减函数B.增函数C.先增后减的函数D.先减后增的函数5.若函数f(x)=1x-2m+1是奇函数,则实数m=.能力提升6.2018烟台诊断 定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当x(-1,0)时,f(x)=e-x,则f92=()A.eB.-eC.1eD.-1e7.2018郑州外国语学校调研 已知函数f(x)=a23x-13x+1是定义在R上的奇函数,且函数g(x)=x+ax在(0,+)上单调递增,则实数a的值为()A.-1B.-2C.1D.28.2019广东六校一联 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(2-x),f(x)=-f(-x),且在0,1上有f(x)=x2,则f201912=()A.94B.14C.-94D.-149.若函数f(x)(xR)满足f(-1+x),f(1+x)均为奇函数,则下列四个结论正确的是()A.f(-x)为奇函数B.f(-x)为偶函数C.f(x+3)为奇函数D.f(x+3)为偶函数10.2018邯郸期末 函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且当0x1时,f(x)=2x(1-x),则f52的值为()A.12B.14C.-14D.-1211.2018天津河西区三模 设f(x)是定义在R上的偶函数,且当x0时,f(x)=-x2+1,0x1,2-2x,x1,若对任意的xm,m+1,不等式f(1-x)f(x+m)恒成立,则实数m的最大值是()A.-1B.-13C.-12D.1312.2019云南曲靖一中月考 已知函数f(x)=ln(|x|-1)-log12(x2+1),则使不等式f(x)-f(2x-1)0成立的x的取值范围是()A.(1,+)B.-,-13C.-,-13(1,+)D.(-,-1)(1,+)13.已知函数f(x)=ln(x+x2+1),若实数a,b满足f(a)+f(b-2)=0,则a+b=()A.-2B.-1C.0D.214.2018延安模拟 若函数f(x)是偶函数,当x0时,f(x)=lg(x+1),则满足f(2x+1)1的实数x的取值范围是.15.(10分)设f(x)是定义在(-,+)上的奇函数,且f(x+2)=-f(x),当0x1时,f(x)=x.(1)求f()的值;(2)当-4x4时,求f(x)的图像与x轴所围成的图形的面积;(3)写出函数f(x)在(-,+)上的单调区间.16.(10分)已知定义域为R的函数f(x)=-2x+b2x+1+a是奇函数.(1)求a,b的值;(2)若对任意tR,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)0恒成立,求k的取值范围.难点突破17.(5分)2018天津南开区模拟 设f(x)=ex,f(x)=g(x)-h(x),且g(x)为偶函数,h(x)为奇函数,若存在实数m,使得当x-1,1时,不等式mg(x)+h(x)0恒成立,则m的最小值为()A.e2-1e2+1B.2e2+1C.e2+1e2-1D.1-e21+e218.(5分)2018南充二诊 已知函数f(x)=2xx-1,函数g(x)对任意的xR,都有g(2018-x)=4-g(x-2016)成立,且y=f(x)与y=g(x)的图像有m个交点,分别记为(x1,y1),(x2,y2),(xm,ym),则i=1m(xi+yi)=.课时作业(六)1.C解析 易知y=2-x在其定义域上是非奇非偶函数,y=x-3在其定义域上是奇函数,y=sinxx在其定义域上是偶函数,y=lg(2-x)-lg(2+x)在其定义域上是奇函数,因此选C.2.D解析 函数f(x)=2-x-2,x0为奇函数,g(x)=-2x+2,g(2)=-22+2=-2,fg(2)=f(-2)=22-2=2,故选D.3.C解析 因为f(x)是偶函数且周期为4,所以f(-9)=f(9)=f(8+1)=f(1)=1,故选C.4.B解析 因为f(x)是R上以2为周期的偶函数,且在-1,0上是减函数,所以f(x)在0,1上为增函数,在1,2上为减函数,在2,3上为增函数.故选B.5.12解析 f(x)是奇函数,f(-x)=-f(x),即1-x-2m+1=-1x-2m+1, -x-2m+1=-x+2m-1,-2m+1=2m-1,m=12.6.B解析 因为函数f(x)满足f(x+2)=f(x),所以函数f(x)是以2为周期的周期函数,则f92=f92-4=f12.因为函数f(x)为奇函数,且当x(-1,0)时,f(x)=e-x,所以f12=-f-12=-e12=-e,即f92=-e,故选B.7.A解析 函数f(x)=a23x-13x+1是定义在R上的奇函数,f(0)=a2-12=0,则a=1,经检验当a=-1或a=1时函数f(x)均为奇函数.函数g(x)=x+ax=1+ax在(0,+)上单调递增,a1时,f(x)是增函数,所以f(x)-f(2x-1)0f(x)f(2x-1)|x|2x-1|,两边平方得x20,解得x1,故x1,所以不等式f(x)-f(2x-1)0的解集为(-,-1)(1,+),故选D.13.D解析 易知f(x)+f(-x)=ln(x+x2+1)+ln(-x+(-x)2+1)=0,f(a)+f(b-2)=0,f(a)=f(2-b),由f(x)=ln(x+x2+1),可得f(x)单调递增,a=2-b,a+b=2.故选D.14.(-5,4)解析 当x0时,f(x)=lg(x+1),f(9)=1,且f(x)在0,+)上单调递增.f(x)是偶函数,由f(2x+1)1得f(|2x+1|)f(9),又f(x)在0,+)上单调递增,|2x+1|9,解得-5x4,实数x的取值范围是(-5,4).15.解:(1)由f(x+2)=-f(x),得f(x+4)=f(x+2)+2=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期为4的周期函数,所以f()=f(-4)=-f(4-)=-(4-)=-4.(2)由f(x)是奇函数且f(x+2)=-f(x),得f(x-1)+2=-f(x-1)=f-(x-1),即f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图像关于直线x=1对称.又当0x1时,f(x)=x,且f(x)的图像关于原点成中心对称,f(x)的周期为4,所以f(x)在区间-4,4上的图像如图所示.当-4x4时,f(x)的图像与x轴围成的图形的面积S=4SOAB=41221=4.(3)函数f(x)的单调递增区间为4k-1,4k+1(kZ),单调递减区间为4k+1,4k+3(kZ).16.解:(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,即b-1a+2=0,解得b=1,所以f(x)=1-2xa+2x+1,又f(1)=-f(-1),所以1-2a+4=-1-12a+1,解得a=2.(2)由(1)知f(x)=1-2x2+2x+1=-12+12x+1,易知f(x)在R上为减函数.因为f(x)是奇函数,所以不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)0等价于f(t2-2t)k-2t2. 由题意知,对任意tR,3t2-2t-k0恒成立,所以=4+12k0,解得k-13.17.A解析 由f(x)=g(x)-h(x),即ex=g(x)-h(x),得e-x=g(-x)-h(-x),又g(x),h(x)分别为偶函数、奇函数,所以e-x=g(x)+h(x).联立,可以解得g(x)=12(ex+e-x),h(x)=12(e-x-ex).由mg(x)+h(x)0,即m12(ex+e-x)+12(e-x-ex)0,得mex-e-xex+e-x,即m21+e-2x-1.因为存在实数m,使得当x-1,1时,不等式mg(x)+h(x)0恒成立,且21+e-2x-1在-1,1上的最大值为e2-1e2+1,所以me2-1e2+1,所以m的最小值为e2-1e2+1,故选A.18.3m解析 对任意的xR,都有g(2018-x)=4-g(x-2016)成立,即g(2018-x)+g(x-2016)=4,故g(x)的图像关于点(1,2)中心对称,函数f(x)=2xx-1=2+2x-1的图像也关于点(1,2)中心对称,故两个函数图像有相同的对称中心,故每两个关于(1,2)对称的交点的横坐标之和为2,纵坐标之和为4,故得到x1+x2+xm=m22=m,y1+y2+ym=m24=2m,故i=1m(xi+yi)=3m.
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