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贵阳市普通高中2017-2018学年度第一学期期末质量监测试卷高一数学一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】，选A.2. （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】，选A.3. 甲、乙两人在一次赛跑中，路程与时间的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）A. 甲比乙先出发 B. 乙比甲跑的路程多 C. 甲、乙两人的速度相同 D. 甲先到达终点【答案】D【解析】由路程和时间的函数图像可以得到甲和乙同时出发，甲的速度大于乙的速度，甲先于乙到达.选D.4. 若，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】，故选D.5. 若幂函数的图象经过点，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设，则，故，从而，故选C.6. 函数的零点个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】当时，令，故，符合；当时，令，故，符合，所以的零点有2个，选B.7. 在下列给出的函数中，以为周期且在区间内是减函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B8. 设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为，故，又，故，而，故，故的大小关系为，选C.点睛：注意利用函数的单调性来比较大小.9. 在中，为边上一点，且，若，则（ ）A. ， B. ， C. ， D. ，【答案】D【解析】由题设有，整理有，从而有，故，选D.点睛：在向量的线性运算中，注意利用加减法把未知的向量向已知的向量转化.10. 把函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），然后向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到的图像对应的解析式为，然后向左平移个单位长度后得到的图像对应的解析式为，再向下平移个单位长度后，得到的图像对应的解析式，其最小正周期为，故排除C、 D，又该函数的图像过，故选A.点睛：一般地，图像变换有周期变换和平移变换，要注意如下事实：（1）把函数图像上点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍（），那么所得图像对应的解析式为；（2）把函数的图像向左平移个单位长度，则所得图像对应的解析式为.二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）11. 如图，若集合，则图中阴影部分表示的集合为_【答案】【解析】图像阴影部分对应的集合为， ，故，故填.12. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，则的值为_【答案】-1【解析】因为为奇函数，故，故填.13. 设向量，则_【答案】.14. 设、为的三个内角，则下列关系式中恒成立的是_（填写序号）；【答案】、【解析】因为是的内角，故，从而，故选、.点睛：三角形中各角的三角函数关系，应注意利用 这个结论.15. 如图所示，矩形的三个顶点，分别在函数，的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标，若点的纵坐标为，则点的坐标为_【答案】【解析】因为的纵坐标为，所以令，解得的横坐标为，故令，解得，故，令，故，所以，填点睛：由于是矩形且它的边平行于坐标轴，所以，因已知，故可求，也就求得了，最后求出即得的坐标三、解答题 （本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16. 已知，且为第二象限角.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）因为为第二象限角且正弦已知，故可以利用平方关系计算其余弦，再利用二倍角公式计算（2）由（1）可以得到，故利用两角和的正切可得解析：（1）因为，且为第二象限角，所以，故（2）由（1）知，故17. 设，为两个不共线的向量，若,.（1）若与共线，求实数的值；（2）若，为互相垂直的单位向量，且，求实数的值.【答案】（1）（2）.【解析】试题分析：（1）因为与共线，故存在实数，使得，再利用平面向量基本定理可以求出（2）因为，故，再利用化简前者，可以得到，从而得到解析：（1）设为两个不共线的向量，若，由与共线可知，存在实数，使得，即,故（2）由得，即，又，故化简得，则（或由为互相垂直的单位向量，则可设.由可得，即，故）点睛：在向量数量积的计算中，注意合理利用向量垂直简化运算.18. 已知函数，其中.（1）求的定义域；（2）当时，求的最小值.【答案】（1）（2）.【解析】试题分析：（1）利用对数的真数为正数求出函数的定义域为.（2）在定义域上把化为，利用二次函数求出，从而求出函数的最小值为.解析：（1）欲使函数有意义，则有，解得，则函数的定义域为.（2）因为，所以，配方得到因为，故，所以（当时取等号），即的最小值为.点睛：求与对数有关的函数的定义域，应该考虑不变形时自变量满足的条件.19. 某市由甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中小时以内（含小时）每张球台元，超过小时的部分每张球台每小时元.某公司准备下个月从两家中的一家租一张球台开展活动，活动时间不少于小时，也不超过小时，设在甲家租一张球台开展活动小时的收费为元，在乙家租一张球台开展活动小时的收费为元.（1）试分别写出与的解析式；（2）选择哪家比较合算？请说明理由.【答案】（1）（），（2）见解析【解析】试题分析：（1）由题设，后者是分段函数.（2）令，解得，则时，分别有，从而可以确定哪家比较合算.解析：（1）由题设有， .（2）令时，解得；令，解得，所以：当时， ，选甲家比较合算；当时，两家一样合算；当时，选乙家比较合算.20. 阅读与探究人教A版普通高中课程标准实验教科书 数学4（必修）在第一章的小结中写到：将角放在直角坐标系中讨论不但使角的表示有了统一的方法，而且使我们能够借助直角坐标系中的单位圆，建立角的变化与单位圆上点的变化之间的对应关系，从而用单位圆上点的纵坐标、横坐标来表示圆心角的正弦函数、余弦函数.因此，正弦函数、余弦函数的基本性质与圆的几何性质（主要是对称性）之间存在着非常紧密的联系.例如，和单位圆相关的“勾股定理”与同角三角函数的基本关系有内在的一致性；单位圆周长为与正弦函数、余弦函数的周期为是一致的；圆的各种对称性与三角函数的奇偶性、诱导公式等也是一致的等等.因此，三角函数的研究过程能够很好地体现数形结合思想. 依据上述材料，利用正切线可以讨论研究得出正切函数的性质.比如：由图1.2-7可知，角的终边落在四个象限时均存在正切线；角的终边落在轴上时，其正切线缩为一个点，值为；角的终边落在轴上时，其正切线不存在；所以正切函数的定义域是.（1）请利用单位圆中的正切线研究得出正切函数的单调性和奇偶性；（2）根据阅读材料中途1.2-7，若角为锐角，求证：.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）在单位圆中画出角的正切线，观察随增大正切线的值得变化情况，再观察时，正切线的值随增大时的变化情况，发现正切函数在区间上单调递增.（2）当是锐角时，有，由此得到.解析：（1）当时， 增大时正切线的值越来越大；当时，正切线与区间上的情况完全一样；随着角的终边不停旋转，正切线不停重复出现，故可得出正切函数在区间上单调递增；由题意知正切函数的定义域关于原点对称，在坐标系中画出角 和，它们的终边关于轴对称，在单位圆中作出它们的正切线，可以发现它们的正切线长度相等，方向相反，即，得出正切函数为奇函数.（2）如图，当为锐角时，在单位圆中作出它的正弦线，正切线，又因为，所以，又 ，而，故即.点睛：三角函数线是研究三角函数性质（如定义域、值域、周期性、奇偶性等）的重要工具，它体现了数形结合的数学思想，是解三角不等式、三角方程等不可或缺的工具.
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