资源描述
专题十五 排列组合问题【母题原题1】【2018浙江，16】从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成_个没有重复数字的四位数.(用数字作答)【答案】1260【解析】分析:按是否取零分类讨论，若取零，则先排首位，最后根据分类与分步计数原理计数.详解：若不取零，则排列数为若取零，则排列数为因此一共有个没有重复数字的四位数.【母题原题2】【2017浙江，16】从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有_种不同的选法(用数字作答)【答案】600 【命题意图】考查排列数、组合数公式，考查运算求解能力、分类讨论的思想及分析问题与解决问题的能力 【命题规律】纵观近几年的高考试题，排列组合问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类分步计数原理除了以选择、填空的形式考查，也往往在解答题中与古典概型概率计算相结合进行考查难度基本稳定在中等.【答题模板】求解排列组合问题，一般考虑：第一步：分清分类和分步.第二步：分清排列与组合，确定解题方向.根据问题有序和无序，确定是排列问题还是组合问题；第三步：正确应用公式运算求解.【方法总结】1. 求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径：(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数2. 解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决3. 有条件的排列问题大致分四种类型(1)某元素不在某个位置上问题，可从位置考虑用其它元素占上该位置，可考虑该元素的去向(要注意是否是全排列问题)；可间接计算即从排列总数中减去不符合条件的排列个数(2)某些元素相邻，可将这些元素排好看作一个元素(即捆绑法)然后与其它元素排列(3)某些元素互不相邻，可将其它剩余元素排列，然后用这些元素进行插空(即插空法)(4)某些元素顺序一定，可在所有排列位置中取若干个位置，先排上剩余的其它元素，这个元素也就一种排法4. 对于有条件的组合问题，可能遇到含某个(些)元素与不含某个(些)元素问题；也可能遇到“至多”或“至少”等组合问题的计算，此类问题要注意分类处理或间接计算，切记不要因为“先取再后取”产生顺序造成计算错误5.不同元素分组：将个不同元素放入个不同的盒中6、相同元素分组：将个相同元素放入个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有种.解决此类问题常用的方法是“挡板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这个元素排成一列，共有个空，使用个“挡板”进入空档处，则可将这个元素划分为个区域，刚好对应那个盒子. 7、涂色问题：涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可.1【2018届贵州省凯里市第一中学黄金卷第四套】集合A=1,2,3,4,5,B=3,4,5,6,7,8,9，从集合A、B中各取一个数，能组成（ ）个没有重复数字的两位数？A. 52 B. 58 C. 64 D. 70【答案】B【解析】分析：分别从集合A，B取一个数字，再全排列，根据分步计数原理即可得到答案详解：C21C31+C41C31+C21C41+C32A22=58故选：B2【2018届浙江省金丽衢十二校第二次联考】用0，1，2，3，4可以组成的无重复数字的能被3整除的三位数的个数是（）A. 20 B. 24 C. 36 D. 48【答案】A点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题间接法.3【2018届浙江省台州市高三上期末】有3位男生，3位女生和1位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是A. B. C. D. 【答案】D【解析】第一步，老师站中间，分别选一个男生与一个女生站在老师两边，共有 种排法；第二步剩余的学生全排列，共有种排法，所以根据分步计数乘法原理可得，符合题意的排法共有 种，故选D.4【2017届黑龙江省齐齐哈尔市一模】由1、2、3、4、5、6、7七个数字组成七位数，要求没有重复数字且6、7均不得排在首位与个位，1与6必须相邻，则这样的七位数的个数是（ ）A. 300 B. 338 C. 600 D. 768【答案】D【解析】当1在首位时，6只有一种排法，7有四种排法，余下四数共有中排法，共有种；当1在个位时，同样共有96种；当1即不再首位也不在个位时，先把1和6排好，有种排法，再排7有3种排法，余下四数共有中排法，共有种综上：共有=768故选：D点睛：本题是一道带有限制条件的排列组合题目，这种问题的常用解题策略有：相邻问题捆绳法，不邻问题插空法，特殊元素（特殊位置）优先分析法，定序问题缩倍法，多排问题单排法，相同元素隔板法等等.5【2018届浙江省台州中学高三模拟】由1,1,2,2,3,3,4,4可组成不同的四位数的个数为_【答案】204【解析】分析：此问题可以分为以下三种情况：i）选取的4个数字是1,2,3,4；ii）从四组(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)中任取两组；iii）从四组(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)中任取一组，再从剩下的3组中的不同的三个数字中任取2个不同的数字，利用排列与组合的计算公式及其乘法原理即可得出.详解：i）选取的四个数字是1,2,3,4，则可组成A44个不同的四位数；ii)从四组(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)中任取两组有C42种取法，其中每一种取法可组成C42个不同的四位数，所以此时共有C42C42个不同的四位数；iii)从四组(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)中任取一组有C41种取法，再从剩下的三组中的不同的三个数中任取2个不同的数字有C32种取法，把这两个不同的数字安排到四个数位上共有A42种方法，而剩下的两个相同数字只有一种方法，由乘法原理可得此时共有C41C32A42C22个不同的四位数；综上可知，用8个数字1,1,2,2,3,3,4,4可以组成不同的四位数个数是A44+C42C42+C41C32A42C22=204，故答案是204.6【2018届浙江省杭州市第二中学6月热身】有6张卡片分别写有数字1,1,1，2,3,4，从中任取3张，可排出不同的三位数的个数是_（用数字作答）【答案】34.点睛：对于排数问题，我们有如下策略：（1）特殊位置、特殊元素优先考虑，比如偶数、奇数等，可考虑末位数字的特点，还有零不能排首位等；（2）先选后排，比如要求所排的数字来自某个范围，我们得先选出符合要求的数字，在把它们放置在合适位置；（3）去杂法，也就是从反面考虑7【2018届浙江省金华市浦江县高考适应性考试】联合国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资，每种物资既可以全部给一个国家，也可以由其中两个或三个国家均分，若每个国家都要有物资援助，则不同的援助方案有_种【答案】25.【解析】分析：按照每个国家都要有物资援助，分类型，求解即可详解：联合国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资，每种物资既可以全部给一个国家，也可以由其中两个或三个国家均分，若每个国家都要有物资援助，需要分为：粮食和药品都有，方法1种；一个国家粮食，两个国家药品，有3种方法；一个国家药品，两个国家粮食，有3种方法；两个国家粮食，三个国家药品，有3种方法；两个国家药品，三个国家粮食，有3种方法；一个国家粮食和药品，另两个国家各一种，有3（2+2）=12种方法；方法总数是：25故答案为：258【2018年天津市十二重点中学联考（一）】用0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位偶数，要求奇数不相邻，且0不与另外两个偶数相邻，这样的五位数一共有_个.（用数字作答）【答案】【解析】若末位数字为时，则共有个五位数；若末位数字为时，则当十位数字为时，只有；当十位数字为时，只有；当十位数字为时，有和两个五位数，共有个五位数.若末位数为时，则当十位数字为时，只有,；当十位数字为时，有和两个五位数；当十位数字为时，只有，共有个五位数.综上，这样的五位数共有个.故答案为.9【腾远2018年（浙江卷）红卷】2018北京两会期间，有甲、乙、丙、丁、戊5位国家部委领导人要去3个分会场发言（每个分会场至少1人），其中甲和乙要求不再同一分会场，甲和丙必须在同一分会场，则不同的安排方案共有_种（用数字作答）.【答案】30【解析】分析：由题意甲和丙在同一分会场，甲和乙不在同一分会场，所以有“2,2,1”和“3,1,1”两种分配方案，利用分类计数原理和排列组合的知识，即可求解.详解：因为甲和丙在同一分会场，甲和乙不在同一分会场，所以有“2,2,1”和“3,1,1”两种分配方案：当“2,2,1”时，甲和丙为一组，余下3人选出2人为一组，有C32A33=18种方案；当“3,1,1”时，在丁和戊中选出1人与甲丙组成一组，有C21A33=12种方案，所以不同的安排方案共有18+12=30种.点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式10【2018届浙江省教育绿色评价联盟5月测试】有7个球，其中红色球2个（同色不加区分），白色，黄色，蓝色，紫色，灰色球各1个，将它们排成一行，要求最左边不排白色，2个红色排一起，黄色和红色不相邻，则有_种不同的排法（用数字回答）【答案】408【解析】分析：把红色球看做一个处理，利用分类计数原理结合分步计数原理，由左至右逐一排放，然后求和即可.详解：123456红色球2个（同色不加区分），2个红色排一起，把红色球看做一个，本题相当于6个球的排列，将它们排成一行，最左边不排白色，2个红色排一起，黄色和红色不相邻，左侧1号位置，放红色球，有：C41A44=96，2号位置放红色球，则放球方法有：C31C31A33=54，3,4,5号位置放红色球，则放球方法有：3A44+C31A32A22=180，6号位置放红色球，则放球方法有：A44+C31A31A33=78，排列方法有：96+54+180+78=408，故答案为408.11【2018年浙江省普通高等学校全国招生统一考试模拟】分配4名水暖工去3个不同的民居家里检查暖气管道，要求4名水暖工部分配出去，并每名水暖工只能去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有_种（用数字作答）.【答案】36.【解析】分析：根据题意，分2步分析：，将4名水暖工分成3组，将分好的三组全排列，对应3个不同的居民家，由分步计数原理计算可得答案详解：根据题意，分2步分析：将4名水暖工分成3组，有C42=6种分组方法；将分好的三组全排列，对应3个不同的居民家，有A33=6种分配方法.共有66=36种不同的分配方案故答案为36点睛：解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手；(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决12.【浙江省金华十校2018年4月高考模拟】3名男生和3名女生站成一排，要求男生互不相邻，女生也互不相邻且男生甲和女生乙必须相邻，则这样的不同站法有_种（用数字作答）【答案】40点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配在分组时，通常有三种类型：不均匀分组；均匀分组；部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法
展开阅读全文