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第14讲函数的零点问题1.设a为实数,若函数f(x)=3-x-1+x-a存在零点,则实数a的取值范围是.2.(2018南京第一学期期末)若m0,且关于x的方程(mx-1)2-m=x在区间0,1上有且只有一个实数解,则实数m的取值范围是.3.(2018江苏泰州中学高三月考)若函数f(x)=|2x-1|,则函数g(x)=f(f(x)+lnx在(0,1)上不同的零点个数为.4.(2018江苏扬州中学模拟)已知函数f(x)=2-|x|,x2,(x-2)2,x2,函数g(x)=b-f(2-x),其中bR,若函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,则实数b的取值范围是.5.(2018淮海中学模拟)已知函数f(x)=x2-2ax-a+1,ln(-x),x0,x0,任取x1,x2t,t+2,若不等式|f(x1)-f(x2)|1对任意t19,1恒成立,求m的取值范围.7.(2018盐城伍佑中学期末考试)已知g(x)=x2-2ax+1在区间1,3上的值域是0,4.(1)求a的值;(2)若不等式g(2x)-k4x0在x1,+)上恒成立,求实数k的取值范围;(3)若函数y=g(|2x-1|)|2x-1|+k2|2x-1|-3k有三个零点,求实数k的取值范围.答案精解精析1.答案-2,2解析易知函数的定义域是-1,3,则a=3-x-1+x在-1,3上有解,且函数y=3-x-1+x,x-1,3递减,则a-2,2.2.答案(0,13,+)解析在同一坐标系中作出函数y=(mx-1)2-m,y=x的图象,在区间0,1上有且只有一个交点,又m0,则1-m0或(m-1)2-m1,解得0m1或m3.3.答案3解析作出函数f(f(x)=4x-1,0x12,4x-3,12x2,2,0x2,x2+x+2,x0有4个根,作出函数图象如图,由图可得74b2.5.答案5-12,1(1,+)解析令g(x)=t,则f(t)=0,当1-a1时,f(t)有两个零点t1=-1,t21,要使函数y=f(g(x)有4个零点,只要1-2a1;当1-a=0,a=1时,f(t)有三个零点t1=-1,t2=0,t3=2,此时函数y=f(g(x)有5个零点,不符合题意,舍去;当1-a0,a-1,要使函数y=f(g(x)有4个零点,则=4a2+4a-40,且a-a2+a-11-2a,解得5-12a0,x20,mx2+2x-1=0有且仅有一解.当m=0时,x=12,符合题意;当m0时,由=4+4m=0,得m=-1,符合题意.综上,m=0或m=-1.(2)当x0时,u=m+2x为减函数,m0,u0,y=lgu为增函数,从而f(x)在(0,+)上为减函数.任取x1,x2t,t+2,|f(x1)-f(x2)|1对任意t19,1恒成立,f(t)-f(t+2)=lgm+2t-lgm+2t+21对任意t19,1恒成立,m+2t10m+2t+2对任意t19,1恒成立,整理得,9mt2+18(m+1)t-40对任意t19,1恒成立.m0,y=9mt2+18(m+1)t-4在t19,1上为增函数,当t=19时,ymax=19m+2(m+1)-40,解得m1819.7.解析(1)g(x)=x2-2ax+1=(x-a)2+1-a2在区间1,3上值域为0,4,若1a3,则g(x)的最小值为g(a)=1-a2,令g(a)=1-a2=0,得a=1,a=1,此时g(x)=(x-1)2,满足在区间1,3上值域为0,4;若a3,则g(x)在区间1,3上单调递减,g(x)的最小值为g(3),令g(3)=0,得到10-6a=0,解得a=53,舍去;若a-1,当x0时t=|2x-1|=1-2x,t的范围为(0,1)且函数单调递减,当0x1时,t=|2x-1|=2x-1,t的范围为(1,+)且单调递增,t2-(3k+2)t+(2k+1)=0有两个不同的实数解t1,t2,函数有3个零点等价于0t11,或0t10,h(1)=-k0,h(1)=-k=0,03k+220,而不等式组无实数解,所以实数k的取值范围是(0,+).
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