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专项强化练五三角函数最值或值域的求解策略1.(2017陕西西安改编)已知f(x)=sin2019x+6+cos 2019x-3的最大值为A,若存在实数x1,x2,使得对任意实数x总有f(x1)f(x)f(x2)成立,则A|x1-x2|的最小值为() A.2019B.22019C.42019D.4038答案Bf(x)=sin2019x+6+cos2019x-3=sin2019x+6+cos2019x+6-2=2sin2019x+6.A=2,|x1-x2|T2=222019,A|x1-x2|22019,故选B.2.已知函数f(x)=asin x-3cos x关于直线x=-6对称,且f(x1)f(x2)=-4,则|x1+x2|的最小值为()A.6B.3C.56D.23答案Df(x)=asin x-3cos x=a2+3sin (x-)tan=3a,f(x)图象的对称轴为直线x=-6,=k+3(kZ),f(x1)f(x2)=-4,x1=-6+2k1(k1Z),x2=56+2k2(k2Z),|x1+x2|min=23,故选D.3.已知向量a=(sin x,cos x),b=(1,-1),函数f(x)=ab,且12,xR,若f(x)的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(3,4),则的取值范围是()A.712,15161312,1916B.712,11161112,1516C.12,7121112,1916D.12,11161112,1516答案Bf(x)=sin x-cos x=2sinx-4,由12,得T=2,121,由对称轴x-4=2+k(kZ),则x=134+k,(kZ),假设对称轴在区间(3,4)内,可知316+k414+k3,当k=1,2,3时,716712,11161112,151654,现不属于区间(3,4),上面的并集在全集121中做补集,得712,11161112,1516,故选B.4.(2018暨阳联谊学校高三联考)锐角三角形ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,B=2A,则bcosA=,b的取值范围是.答案2;(2,3)解析本题主要考查解三角形.由正弦定理得ba=sinBsinA,所以b=asinBsinA,所以bcosA=sinBsinAcosA=sin2AsinAcosA=2,则b=2cos A,由三角形ACB为锐角三角形可得0A2,0B=2A2,0C=-A-2A2,所以6A0,tan B0,tan C0,得tan Btan C=x1,所以tan A+tan B+tan C=-tanB+tanC1-tanBtanC+tan B+tan C=23xx-1+23x,再令x-1=t,则t0,得tan A+tan B+tan C=23t2+2t+1t=23t+1t+283,当且仅当tan Btan C=x=2时,取到等号,则(tan A+tan B+tan C)min=83.6.设函数f(x)=3sinxm.若存在f(x)的极值点x0满足x02+f(x0)2m2,则m的取值范围是.答案m2解析f (x)=3mcos mx,令f (x)=0,则mx=2+k(kZ),解得x=m2+km(kZ),即x0=m2+km(kZ).x02+f(x0)2=m2+km2+3sin22+k=m2+km2+3cos2k=m212+k2+3,kZ,k=0时,x02+f(x0)2取得最小值m24+3,存在f(x)的极值点x0满足x02+f(x0)2m2只需m24+34,解得m2.7.(2018杭州高三上学期期末)设向量a=(23sin x,-cos x),b=(cos x,2cos x), f(x)=ab+1.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)若方程f(x)=|t2-t|(tR)无实数解,求t的取值范围.解析(1)f(x)=ab+1=23sin xcos x-2cos2x+1=3sin 2x-cos 2x=2sin2x-6,故f(x)的最小正周期为.(2)若方程f(x)=|t2-t|无解,则|t2-t|f(x)max=2,t2-t2或t2-t2得t2或t-1,解t2-t2或t0)的最小正周期为.(1)求的值;(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)在区间-4,0上的最值.解析(1)f(x)=22sin2x+4+12,T=22=,=1.(2)g(x)=f(2x)=22sin4x+4+12.当x-4,0时,4x+4-34,4,g(x)min=g-316=1-22,g(x)max=g(0)=1.9.(2018暨阳联谊学校高三联考)已知函数f(x)=2cos x(a2sin x+bcos x)(xR)的值域为-1,3.(1)若函数y=f(x+)的图象关于直线x=2对称,求|的最小值;(2)当x0,时,方程|f(x)|=c有四个实数根,求c的取值范围.解析(1)f(x)=a2sin 2x+bcos 2x+b=a4+b2sin(2x+)+b其中tan=ba2,由题意可得b-a4+b2=-1,b+a4+b2=3,解得a2=3,b=1.f(x)=2sin2x+6+1.f(x+)=2sin2x+2+6+1.由y=f(x+)的图象关于直线x=2对称得22+2+6=2+k(kZ),=k2-3(kZ),|min=6.(2) 作出y=|f(x)|,x0,的图象,如图,故y=|f(x)|=2sin2x+6+1在0,6,2,23,56,上单调递增;在6,2,23,56上单调递减,f(0)=f()=2, f23=1, f2=f56=0, c(0,1).10.(2018嘉兴高三上学期期末)已知函数f(x)=Asin(x+)A0,0,|2的部分图象如图所示.(1)求f(x)的解析式;(2)设函数g(x)=f(x)+4sin2x,x0,2,求g(x)的值域.解析(1)由题图得A=2,最小正周期T=4712-3=,所以=2,又由23+=2+2k(kZ),得=-6+2k(kZ),又|2,所以=-6,所以f(x)=2sin2x-6.(2)g(x)=f(x)+4sin2x=3sin 2x-cos 2x+2(1-cos 2x)=3sin 2x-3cos 2x+2=23sin2x-3+2,因为x0,2,所以2x-3-3,23,所以sin2x-3-32,1,所以g(x)的值域为-1,2+23.11.(2018宁波效实中学等五校联考)在ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且(b+c)2-a2=(2+2)bc,sin Asin B=cos2C2.(1)求角A和角B的大小;(2)已知当xR时,函数f(x)=sin x(cos x+asin x)的最大值为32,求a的值.解析(1)由(b+c)2-a2=(2+2)bc得b2+c2-a2=2bc,cos A=b2+c2-a22bc=22,又A(0,),A=4.由sin Asin B=cos2C2,得22sin B=1+cosC2,即2sin B=1+cos34-B,整理得22sin B+22cos B=1,sin4+B=1,又B0,34,故B=4.(2)f(x)=sin x(cos x+asin x)=sin2x-acos2x2+a2=1+a22sin(2x-)+a21+a22+a2=32,解得a=43.12.(2018宁波高三模拟)已知函数f(x)=4cos xsinx-6-1.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若满足f(B)=0,a=2,且D是BC的中点,P是直线AB上的动点,求CP+PD的最小值.解析(1)f(x)=4cos x32sinx-12cosx-1,=3sin 2x-cos 2x-2=2sin2x-6-2,由-2+2k2x-62+2k,kZ,得-6+kx3+k,kZ,所以f(x)的增区间为k-6,k+3,kZ.(2)在ABC中,由f(B)=2sin2B-6-2=0得2B-6=2+2k,kZ,所以B=3+k,kZ.B(0,),B=3.作C关于AB的对称点C,连接CD,CC,CP,CB,CD2=BD2+BC2+BDBC=7,CP+PD=CP+PDCD=7,当C,P,D共线时,取最小值7.
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