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课时跟踪检测（十二） “数列与数学归纳法”专题提能课A组易错清零练1已知等比数列an的前n项和为Sn，S1010，S30130，则S40()A510B400C400或510 D30或40解析：选B等比数列an中，S10，S20S10，S30S20，S40S30成等比数列，且由题意知，S200，所以S10(S30S20)(S20S10)2，即10(130S20)(S2010)2，解得S2040，又(S20S10)(S40S30)(S30S20)2，即30(S40130)902，解得S40400.2在数列an中，a11，a22，an2an1(1)n，那么S100的值为()A2 500 B2 600C2 700 D2 800解析：选B当n为奇数时，an2an0an1，当n为偶数时，an2an2ann，故an于是S100502 600.3在数列an中，“an2an1，n2,3,4，”是“an是公比为2的等比数列”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B当an0时，也有an2an1，n2,3，4，但an不是等比数列，因此充分性不成立；当an是公比为2的等比数列时，有2，n2,3,4，即an2an1，n2,3,4，所以必要性成立4已知数列an的前n项和为Snn21，数列bn满足bn，则bn_.解析：当n1时，a1S12，因为Snn21，Sn1(n1)21(n2)，两式相减得anSnSn12n1(n2)，所以当n2时，an2n1，又a12不符合上式，所以an因为bn，所以bn答案：5已知一个等比数列an的前4项之积为，第2,3项的和为，则数列an的公比q_.解析：设数列an的前4项分别为a，aq，aq2，aq3，则可得所以(1q)464q2，即(1q)28q，当q0时，可得q26q10，解得q32，当q0时，可得q210q10，解得q52.综上，q32或q52.答案：32或52B组方法技巧练1已知正项数列an中，a11，且(n2)a(n1)aanan10，则它的通项公式为()Aan BanCan Dann解析：选B因为(n2)a(n1)aanan10，所以(n2)an1(n1)an(an1an)0.又an为正项数列，所以(n2)an1(n1)an0，即，则ana11.故选B.2(2019届高三豫南十校联考)设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意的x，yR，都有f(x)f(y)f(xy)若a1，anf(n)(nN*)，则数列an的前n项和Sn的取值范围是()A. B.C. D.解析：选C在f(x)f(y)f(xy)中，令xn，y1，得f(n1)f(n)f(1)，又a1，anf(n)(nN*)，则an1an，所以数列an是首项和公比都是的等比数列，其前n项和Sn1，故选C.3已知数列an中，a11，an1(nN*)，则数列an的通项公式为_解析：因为an1(nN*)，所以1，设t3，所以3tt1，解得t，所以3，又1，所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，所以3n1，所以，所以an.答案：an4(2018惠州调研)已知数列an中，点(an，an1)在直线yx2上，且首项a11.(1)求数列an的通项公式；(2)数列an的前n项和为Sn，等比数列bn中，b1a1，b2a2，数列bn的前n项和为Tn，请写出适合条件TnSn的所有n的值解：(1)根据已知a11，an1an2，即an1an2d，所以数列an是首项为1，公差为2的等差数列，ana1(n1)d2n1.(2)数列an的前n项和Snn2.等比数列bn中，b1a11，b2a23，所以q3，bn3n1.数列bn的前n项和Tn.TnSn即n2，又nN*，所以n1或2. C组创新应用练1(2018襄阳四校联考)我国古代数学名著九章算术中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：(1)构造数列1，；(2)将数列的各项乘以，得到一个新数列a1，a2，a3，a4，an.则a1a2a2a3a3a4an1an()A. B.C. D.解析：选C依题意可得新数列为，所以a1a2a2a3an1an.故选C.2已知数列an的通项公式为anlog(n1)(n2)(nN*)，我们把使乘积a1a2a3an为整数的n叫做“优数”，则在(0,2 018内的所有“优数”的和为()A1 024 B2 012C2 026 D2 036解析：选Ca1a2a3anlog23log34log45log(n1)(n2)log2(n2)k，kZ，令0n2k22 018，则22k2 020,10)的图象上，若点Bn的坐标为(n,0)(n2，nN*)，记矩形AnBnCnDn的周长为an，则a2a3a10()A208 B212C216 D220解析：选C由题意得|AnDn|BnCn|n，设点Dn的坐标为，则有xn，得x(xn舍去)，即An，则|AnBn|n，所以矩形的周长为an2(|AnBn|BnCn|)224n，则a2a3a104(23410)216.5(2018上海松江区联考)在一个有穷数列的每相邻两项之间添加一项，使其等于两相邻项的和，我们把这样的操作叫做该数列的一次“H扩展”已知数列1,2第一次“H扩展”后得到数列1,3,2，第二次“H扩展”后得到数列1,4,3,5,2，那么第10次“H扩展”后得到的数列的所有项的和为()A88 572 B88 575C29 523 D29 526解析：选B记第n次“H扩展”后得到的数列所有项的和为Hn，则H11236，H21324515，H315578742，从中发现H3H22733，H2H1932，归纳得HnHn13n(n2)，利用累加法求和得Hn，n2，所以H1088 575，故选B.6(2018河北衡水中学检测)对于数列an，定义Hn为an的“优值”，现在已知某数列an的“优值”Hn2n1，记数列ankn的前n项和为Sn，若SnS5对任意的nN*恒成立，则实数k的取值范围为_解析：由题意知Hn2n1，所以a12a22n1ann2n1，当n2时，a12a22n2an1(n1)2n，得：2n1ann2n1(n1)2n，解得an2n2，n2，当n1时，a14也满足上式，所以数列an的通项公式为an2n2，且数列an为等差数列，公差为2.令bnankn(2k)n2，则数列bn也是等差数列，由SnS5对任意的nN*恒成立，知2k0，且b5125k0，b6146k0，解得k.答案：7设函数f(x)sin x的所有正的极小值点从小到大排成的数列为xn(1)求数列xn的通项公式；(2)令bn，设数列的前n项和为Sn，求证：Sn02kx2k(kZ)，由f(x)02kx2k(kZ)，当x2k(kZ)时，f(x)取得极小值，xn2n(nN*)(2)证明：bnn，3，Sn33，Sn0，所以c11.当n2时，ccccT，ccccT.两式相减，得cTT(TnTn1)(TnTn1)cn(TnTn1)因为cn0，所以cTnTn12Tncn.显然c11适合上式，所以当n2时，c2Tn1cn1.于是cc2(TnTn1)cncn12cncncn1cncn1.因为cncn10，所以cncn11，所以数列cn是首项为1，公差为1的等差数列，所以cnn，Tn.所以不为常数，故数列cn不是“幸福数列”
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