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章末综合测评(二)圆锥曲线与方程(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在题中横线上)1双曲线1的两条渐近线的方程为_【解析】由双曲线方程可知a4，b3，所以两条渐近线方程为yx.【答案】yx2若双曲线x21的离心率为，则实数m_. 【导学号：95902166】【解析】a21，b2m，c21m，e，求得m2.【答案】23若方程1表示椭圆，则k的取值范围为_【解析】由题意可知解得3k5且k4.【答案】(3,4)(4,5)4以y3为准线的抛物线的标准方程为_【解析】设抛物线的标准方程为x22py(p0)，则3，p6，则抛物线方程为x212y.【答案】x212y5抛物线y22px(p0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p_. 【导学号：95902167】【解析】依题意，点Q为坐标原点，所以1，即p2.【答案】26椭圆1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若PF14，则PF2_，F1PF2的大小为_【解析】由椭圆的定义知PF1PF22a236，因为PF14，所以PF22.在PF1F2中，cosF1PF2，F1PF2120.【答案】21207已知A(0，1)、B(0,1)两点，ABC的周长为6，则ABC的顶点C的轨迹方程是_【解析】2cAB2，c1，CACB6242a，顶点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆(A、B、C不共线)因此，顶点C的轨迹方程1(y2)【答案】1(y2)8已知双曲线1(a0，b0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x2)2y23相切，则双曲线的方程为_【解析】由双曲线的渐近线bxay0与圆(x2)2y23相切得，由c2，解得a1，b.【答案】x219在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y28x的焦点恰好是双曲线1的右焦点，则双曲线的离心率为_. 【导学号：95902168】【解析】抛物线y28x的焦点为(2,0)，则双曲线1的右焦点为(2,0)，即有c2，则a1，故双曲线的离心率为e2.【答案】210已知抛物线C：x2y，过点A(0，1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是_【解析】显然t0，直线AB的方程为yx1，代入抛物线方程得2tx24xt0.由题意168t20，解得t.【答案】(，)(，)11若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为_【解析】椭圆的左焦点F为(1,0)，设P(x，y)，(x，y)(x1，y)x(x1)y2x2x3(x2)222x2，当x2时，有最大值6.【答案】612一动圆与两圆：x2y21和x2y26x50都外切，则动圆圆心的轨迹为_. 【导学号：95902169】【解析】x2y21是以原点为圆心，半径为1的圆，x2y26x50化为标准方程为(x3)2y24，是圆心为A(3,0)，半径为2的圆设所求动圆圆心为P，动圆半径为r，如图，则PAPO1AO3，符合双曲线的定义，结合图形可知，动圆圆心的轨迹为双曲线的一支【答案】双曲线的一支13.如图1，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆1(ab0)的右焦点，直线y与椭圆交于B，C两点，且BFC90，则该椭圆的离心率是 _. 【导学号：95902170】图1【解析】将y代入椭圆的标准方程，得1，所以xa，故B，C.又因为F(c,0)，所以，.因为BFC90，所以0，所以0，即c2a2b20，将b2a2c2代入并化简，得a2c2，所以e2，所以e(负值舍去)【答案】14已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x相交于A、B两点，F为C的焦点，若FA2FB，则k_. 【解析】过A、B作抛物线准线l的垂线，垂足分别为A1、B1， 由抛物线定义可知，AA1AF，BB1BF，又2FBFA，AA12BB1，即B为AC的中点从而yA2yB，联立方程组消去x得y2y160，消去yB得k.【答案】二、解答题(本大题共6小题，共90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分14分)已知抛物线C1的顶点在坐标原点，它的焦点为双曲线C2：1(a0，b0)的一个焦点F，若抛物线C1与双曲线C2的一个交点是M.(1)求抛物线C1的方程及其焦点F的坐标；(2)求双曲线C2的方程及离心率e. 【导学号：95902171】【解】设抛物线C1的方程为y22px(p0)，因为图象过点M，则有2p，所以p2，则抛物线C1的方程为y24x，焦点F的坐标为(1,0)(2)由双曲线C2过点M以及焦点为(1,0)和(1,0)，由双曲线的定义可知2a，所以a，b2 ，所以双曲线C2的方程为9x2y21，离心率e3.16(本小题满分14分)椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为2.一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的半实轴长比椭圆的半长轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为73，求椭圆和双曲线的方程【解】焦点在x轴上，椭圆为1(ab0)，且c.设双曲线为 1(m0，n0)，ma4.因为，所以，解得a7，m3.因为椭圆和双曲线的焦半距为，所以b236，n24.所以椭圆方程为1，双曲线方程为1.焦点在y轴上，椭圆方程为1，双曲线方程为1.17(本小题满分14分)如图2所示，已知斜率为1的直线l过椭圆y21的右焦点F，交椭圆于A、B两点，求弦AB的长. 【导学号：95902172】图2 【解】设A、B两点的坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)，由椭圆方程知a24，b21，c23，所以F(，0)，直线l的方程为yx.将其代入x24y24，化简整理，得5x28x80.所以x1x2，x1x2.所以AB|x1x2| .18(本小题满分16分)如图3，已知椭圆1(ab0)的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为4(1)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D.图3 (1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，求证：k1k21.【解】 (1)设椭圆的半焦距为c，由题意知，2a2c4(1)，所以a2，c2.又a2b2c2，因此b2.故椭圆的标准方程为1.由题意设等轴双曲线的标准方程为1(m0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m2，因此双曲线的标准方程为1.(2)证明：设P(x0，y0)，则k1，k2.因为点P在双曲线x2y24上，所以xy4.因此k1k21，即k1k21.19(本小题满分16分)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：y21上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x3上，且1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. 【导学号：95902173】【解】(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)，(xx0，y)，(0，y0)由得x0x，y0y.因为M(x0，y0)在椭圆C上，所以1.因此点P的轨迹方程为x2y22.(2)由题意知F(1,0)设Q(3，t)，P(m，n)，则(3，t)，(1m，n)，33mtn，(m，n)，(3m，tn)由1得3mm2tnn21，又由(1)知m2n22，故33mtn0.所以0，即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.20(本小题满分16分)设椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B.已知ABF1F2.(1)求椭圆的离心率(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过点F2的直线l与该圆相切于点M，MF22.求椭圆的方程【解】(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0)，由ABF1F2，可得a2b23c2，又b2a2c2，则.所以椭圆的离心率e.(2)由(1)知a22c2，b2c2，故椭圆方程为1.设P(x0，y0)，由F1(c,0)，B(0，c)，有(x0c，y0)，(c，c)，由已知，有0，即(x0c)cy0c0.又c0，故有x0y0c0. 因为点P在椭圆上，故1. 由和可得3x4cx00，而点P不是椭圆的顶点，故x0，代入得y0，即点P的坐标为.设圆的圆心为T(x1，y1)，则x1c，y1c，进而圆的半径rc.由已知，有TFMFr2，又MF22，故有8c2.解得c23.所以所求椭圆的方程为1.
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