江苏省2019高考数学一轮复习 突破140必备 专题02 讨论含有参数的函数的单调性学案.doc

专题 02 讨论含有参数的函数的单调性 一 导数可以用来判断函数的单调性 在某个区间 D内 如果 0 xf 那么函数 xf在这个区间内单 调递增 如果 0 xf 那么函数 xf在这个区间内单调递减 注 常数的导函数 函数 xf在 D内单调递增 则 0 xf恒成立 xf在 D内单调递减 则 0 xf恒成立 0 f 是 在 内单调递增的充分不必要条件 二 求解某函数单调区间的步骤 1 确定函数定义域 对函数 xf求导 2 令导函数 xf解 根 要在定义域内 3 根据 xf零点将定义域分成若干个区间 判断每个区间导函数的符号 若0 xf 则 xf单调递增 反之 单调递减 对于求含有参数的函数的单调区间或者讨论含有参数的函数的单调性解题思路与没有参数基本一致 1 确定函数定义域 对函数 xf求导 2 令导函数 0 xf解根 此时可能解出的根含有参数或 者参数在分母上 就要对参数进行分类讨论 若在分母上 先讨论是否等于零 再讨论是否在定义域内 不在定义域内说明原函数单调 若在 分区间判定导函数符号 如果有一个根有参数另一个根没有 还要 比较两者大小 3 最后总结 写出参数范围下函数 xf的单调区间 例 1 2015 江苏高考 19 已知函数 23Rbaxf 1 试讨论 xf的单调性 解 1 a23 令 0 xf 可得 x或 3 a 时 f f 在 R上单调递增 时 02 ax时 0 xf 0 32 a 时 0 xf 函数 f在 3 上单调递增 在 上单调递减 0 a 时 x时 xf 时 xf 函数 xf在 0 32 a上单调递增 在 32 0 a 上单调递减 例 2 2017 扬州高三上期末 20 已知函数 xhgxf 其中函数 xeg axh 2 当 0 时 求函数 xf在 a 2 上的最大值 分析 要求函数 xf在 a 上的最大值即要研究函数 xf的单调性 例 3 2017 南京盐城高三一模 设函数 lnfx 1 3agx R 2 求函数 xfgx 的单调增区间 解 2 因为 1l3 0 axx 所以 2 21 axx 当 0a时 由 0 解得 当 1a 时 由 0 x 解得 1ax 当 0 时 由 解得 0 当 时 由 x 解得 x 当 a时 由 0 解得 1a 综上所述 当 时 x的增区间为 0 当 01 时 的增区间为 a 时 x 的增区间为 1 a 例 4 2016 盐城高三三模 19 已知函数 lnfxm R 2 设函数 mxfxg2 2 试求 g的单调区间 综上所述 gx的单调区间如下 当 0m 时 函数 在 0 上单调递增 当 2 时 函数 gx在 上单调递减 当 20m 时 函数 gx的增区间为 1 2m 减区间为 02m 与 1 当 时 函数 的增区间为 减区间为 与 例 5 2017 南京高三期末 20 已知函数 xbaxfln 2 Ra 2 当 1 ab时 讨论函数 的单调性 2 0 1 2 2 xxxf 当 0时 0 f解得 1 x 时 x f单调递增 1 时 xf f单调递减 当 a 12 xaf 解得 x 0 x 时 0 x f单调递增 0 xf f单调递减 当 21 a时 1 2 f恒成立 故 f在 上单调递增 当 0 时 0 xaf 解得 1x或 a2 且 1 1 x 时 0 x 单调递增 2 a 时 0 f xf单调递减 2 a 时 f f单调递增 当 时 012 xa解得 1x或 且 a21 1 0 x 时 0 f f单调递增 2 a 时 0 xf f单调递减 时 单调递增 综上所述 当 a时 函数 xf在 1 上单调递增 在 1 上单调递减 当 21 时 函数 f在 0 上单调递增 当 0 时 函数 x在 和 2a上单调递增 在 2 a上单调递减 当 a时 函数 f在 1 和 上单调递增 在 1上单调递减 注 含有参数的函数的单调性讨论是必须要熟练掌握的 因为在后面极值 最值 零点 恒成立的诸多问 题都会涉及函数单调性 零点 极值点 恒成立专题中都会含有参数的函数单调性讨论 只有在准确的得 到单调性的基础上才能进一步研究函数的零点 最值等问题 如果掌握不好分类讨论的思想 后面在做函 数与导数的大题时将会举步维艰 巩固练习 1 2015 苏北四市高三三模 20 已知函数 bxaxf 231 其中 a 为常数 讨论函数 xf在区间 a上单调性 2 2016 上饶校级二模变式 已知函数 xef 1 2axg R 记函数 xgfxF 求 F的单调增区间 3 2017 江西袁州区高三上期中 已知 a为实常数 函数 ln xf 讨论函数 xf的单调性 4 2015 南通一中高考前模拟 已知函数 1ln 1 2 axxf 讨论函数 xf的单调性 5 2015 无锡高三上期中变式 已知函数 R 讨论 的单调性 巩固练习答案解析 1 解 12 axf 对称轴为 ax 042 当 0 f 即 3时 x 在 a上恒成立 故 xf在区间 a单调递增 当 0 f 即 3 a时 0 f在 上有一解为 ax 12 当 1 2ax 时 xf f单调递减 当 0 单调递增 当 0 af 即 3 时 xf在 a上有两解为 ax 12 当 1 2x 0 f f单调递增 当 1 22aax 0 xf f单调递减 当 f 单调递增 综上所述 当 3 a时 xf在区间 a单调递增 当 时 f在 1 2 上单调递减 在 1 2 a上单调递增 当 3 a时 xf在 2a 和 2 a上单调递增 在1 22a 上单调递减 3 解 xf的定义域为 0 xaxf 1 当 0 a时 1 x恒成立 在 0 上单调递增 当 时 f恒成立 xf在 上单调递增 当 时 0 a解得 a1 1 0 ax 时 xf f单调递增 x 0 xf f单调递减 综上所述 当 时 在 上单调递增 当 时 xf在 1 0a上单调递增 在 1 a上单调递减 4 分析 f的定义域为 0 1 2 xaxf 先考虑 0a 当0 a 时 0 xf得 a21 若 0 说明 f有解 若 2 xf无 解 即 就是单调的 解 xf的定义域为 0 xaxf 1 21 当 0 a 1 xf恒成立 f在 0 上单调递增 当 2 即 0a或 时 f恒成立 f在 上单调递增 1a 时 x恒成立 x在 0 上单调递减 当 02 即 1 a f解得 ax21 ax 0 xf f单调递增 21 a f xf单调递减 综上所述 当 0 时 f在 0 上单调递增 当 1 a时 xf在 0 上单调递减 当 时 f在 21 a 上单调递增 在 21 a上单调递减 当 1 a 即 210 a 0 xf解得 1或 ax x xf 单调递减 xf单调递增1 ax 0 f 单调递减 综上所述 当 时 x在 1 上单调递减 在 1 上单调递增 当 210 a时 xf在 1 0和 a上单调递减 在 1 a 上单调递增 当 时 在 上单调递减 当 1时 xf在 和 上单调递减 在 1 上单调递增 当 a时 在 0上单调递增 在 1 上单调递减