《亥姆霍兹定理》PPT课件.ppt

2020 2 24 1 1 5亥姆霍兹定理 一 亥姆霍兹定理 若矢量场在无限空间中处处单值 且其导数连续有界 而源分布在有限空间中 则矢量场由其散度 旋度和边界条件唯一确定 且可表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和 2020 2 24 2 二 亥姆霍兹定理的证明 1 证矢量场由其散度 旋度和边界条件唯一确定 设在无限空间中存在两个矢量函数 它们具有相同的散度和旋度 令 1 5 2 则 1 5 3 2020 2 24 3 对两边取旋度 1 5 2 根据矢量恒等式 则令 1 5 4 2020 2 24 4 将 1 5 4 代入 1 5 3 1 5 5 而满足拉普拉斯方程的函数不会出现极值 若给定边界条件 则满足拉普拉斯方程的函数应该是 由 1 5 4 由 1 5 2 有限的常数 唯一 2020 2 24 5 处处为零 任一物理场必有源来激发它 若这个场 设在无限空间中一个既有散度又有旋度的矢量场 可表示为一个无旋场 有散场 和一个有旋场 无散场 之和 2 证 即 1 5 6 1 对无旋场 必使其散度不会 的旋涡源和通量源都为零 则场不存在 1 5 7 两个重要的恒等式之一 2020 2 24 6 2 对有旋场 1 5 8 3 综合 1 与 2 则 证毕 两个重要的恒等式之一 2020 2 24 7 应用 静电场是无旋场 可以表示为标量场的梯度 这个标量场就是电位 用标量场的电位间接表示矢量场的电场 在数学处理上带来许多便利 已知 矢量的通量源密度矢量的旋度源密度场域边界条件 在电磁场中 电荷密度 电流密度场域边界条件 矢量唯一地确定 亥姆霍兹定理在电磁理论中的意义 研究电磁场的一条主线