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单元检测三函数概念与基本初等函数(时间：120分钟满分：150分)第卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设函数f(x)，则函数的定义域为()A.B.C.(0，) D.答案A解析由得x0.2已知函数f(x)则f(f(4)的值为()AB9C.D9答案C解析f(4)log42，f(f(4)f(2)32.3(2018湖州联考)设alog54log52，blnln3，c，则a，b，c的大小关系为()AabcBbcaCcabDbalog2e1.所以01，即0ab1，故ab0，可排除选项B.故选A.5已知函数f(x)x24x，当xm,5时，f(x)的值域是5,4，则实数m的取值范围是()A(，1) B(1,2C1,2D2,5答案C解析f(x)(x2)24，所以当x2时，f(2)4.由f(x)5，解得x5或x1.所以要使函数f(x)在区间m,5上的值域是5,4，则1m2.6已知函数f(x)的图象关于y轴对称，且f(x)在(，0上单调递减，则满足f(3x1)f的实数x的取值范围是()A.B.C.D.答案B解析由函数f(x)的图象关于y轴对称，且f(x)在(，0上单调递减，得f(x)在(0，)上单调递增又f(3x1)f，所以|3x1|，解得x.7(2017绍兴诊断)已知函数f(x)是(，)上的减函数，则实数a的取值范围是()A(0,1) B.C.D.答案B解析若函数f(x)是(，)上的减函数，则可得00，则AB的中点C.由于点C在函数g(x)x的图象上，故有|log2x|，即|log2x|x，故函数f(x)关于函数g(x)的“关联点”的个数即为函数y|log2x|和yx的图象的交点的个数在同一个坐标系中画出函数y|log2x|和yx的图象，由图象知交点个数为2，则函数f(x)关于函数g(x)的“关联点”的个数是2，故选B.10已知函数f(x)(aR)在区间1,4上的最大值为g(a)，则g(a)的最小值为()A4B5C6D7答案A解析方法一令H(x)x2a，则H(x)2x(x2)(x22x4)，故H(x)在1,2上单调递减，在(2,4上单调递增，所以g(a)minminmax|H(1)|，|H(2)|，|H(4)|，即g(a)minminmax|17a|，|12a|，|20a|，如图可知，g(a)min4.方法二令tx2，则t2x(x2)(x22x4)，所以tx2在1,2上单调递减，在(2,4上单调递增，所以t12,20，故y|ta|在t12,20上的最大值为g(a)所以g(a)min4.第卷(非选择题共110分)二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分把答案填在题中横线上)11已知f(x1)x21，则f(x)_，y的单调递增区间为_答案x22x(1,2)解析当x1t时，xt1，所以f(t)(t1)21t22t，即f(x)x22x；y，定义域为(0,2)，且f(x)对称轴为x1，所以函数在(0,1)上单调递增，(1,2)上单调递减，根据复合函数“同增异减”，函数y的单调增区间为(1,2)12(2018舟山二模)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)则g(8)_.答案2解析当x0，则f(x)log3(1x)，又f(x)f(x)，f(x)log3(1x)，即g(x)log3(1x)，xb1.若logablogba，abba，则a_，b_.答案42解析设logbat，则t1，因为t，解得t2，所以ab2，因此abbab2bbb2，解得b2，a4.14(2018台州高级中学期中)已知函数f(x)则f(f(2)_；若f(a)9，则实数a_.答案49或3解析由题意得f(f(2)f(4)4，若f(a)9，当a0时，有a29，即a3；当a0)的最大值为f(2)1，若a11，则a0.当a0时，f(x)x22ax2(x0)的最大值为f(0)2，所以a11，所以a0.16已知函数f(x)是奇函数，且在R上是减函数，若实数a，b满足则(a1)2(b1)21所表示的图形的面积是_答案1解析由得f(x)是奇函数，且在R上是减函数，作出不等式组表示的平面区域(图略)，(a1)2(b1)21所表示的图形为以(1,1)为圆心，1为半径的半圆和一个三角形，其表示的图形的面积是1.17已知函数f(x)x22axa21，g(x)2xa，对于任意的x11,1，存在x21,1，使f(x2)g(x1)，则实数a的取值范围是_答案2，1解析f(x)x22axa21(xa)21，当x1,1时，若a1，则f(x)a22a，a22a；若1a0，则f(x)1，a22a；若01，则f(x)a22a，a22a而g(x)2a，2a，从而由条件得：若a1，则解得2a1；若1a0，则不等式组无解；若01，则不等式组无解综上所述，实数a的取值范围是2，1三、解答题(本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)18(14分)若定义在2,2上的奇函数f(x)满足当x(0,2时，f(x).(1)求f(x)在2,2上的解析式；(2)判断f(x)在(0,2)上的单调性，并给予证明；(3)当为何值时，关于x的方程f(x)在x2,2上有实数解解(1)因为f(x)为奇函数，所以f(0)0.当x2,0)时，x(0,2因为f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，所以f(x)(2)f(x)在(0,2)上是减函数，证明如下，任取0x1x22，f(x1)f(x2)，因为0x1x20，所以f(x1)f(x2)0.因此，f(x)在(0,2)上单调递减(3)方程f(x)在x2,2上有实数解，即取函数f(x)的值域内的任意值由(2)可知，f(x)在x(0,2上是减函数，此时f(x).又因为f(x)是x2,2上的奇函数，所以当x0时，f(x)0.当x2,0)时，f(x).因此，函数f(x)的值域为0，因此，0.19(15分)(2018宁波九校联考)已知函数f(x)x|xa|bx.(1)当a2，且f(x)是R上的增函数时，求实数b的取值范围；(2)当b2，且对任意a(2,4)，关于x的方程f(x)tf(a)总有三个不相等的实数根时，求实数t的取值范围解(1)f(x)x|x2|bx因为f(x)连续，且f(x)在R上单调递增，等价于这两段函数分别递增，所以得b2.(2)f(x)x|xa|2xtf(a)2ta.当2a4时，a，f(x)在上单调递增，在上单调递减，在(a，)上单调递增，所以f极大(x)fa1，f极小(x)f(a)2a，所以对2a4恒成立，解得0t1.当2a2时，a，f(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以f极大(x)fa1，f极小(x)fa1，所以a12taa1对2a2恒成立，解得0t1，综上0t1.20(15分)(2018浙江91高中联盟开学考)已知函数f(x)x2axb(a，bR)，g(x)2x24x16，且|f(x)|g(x)|对xR恒成立(1)求a，b的值；(2)记h(x)f(x)4，那么当k时，是否存在m，n(mn)，使得函数h(x)在m，n上的值域恰好为km，kn？若存在，请求出m，n；若不存在，请说明理由解(1)由g(x)0得x4或x2.于是，当x4或x2时，有此时，|f(x)|g(x)|x22x8|2|x22x8|，对xR恒成立，满足条件故a2，b8.(2)h(x)(x1)2，km，kn，kn，又k，n1，m，n(，1，h(x)在m，n上是单调增函数，即即mn，且k，故当k1时，m，n22k，0；当k1时，m，n不存在21(15分)(2018杭州质检)设函数f(x)x2bxc(b，cR)若f(1x)f(1x)，f(x)的最小值为1.(1)求f(x)的解析式；(2)若函数y|f(x)|与yt相交于4个不同交点，从左到右依次为A，B，C，D.是否存在实数t，使得线段|AB|，|BC|，|CD|能构成锐角三角形，如果存在，求出t的值；如果不存在，请说明理由解(1)因为f(1x)f(1x)，所以函数的对称轴为直线x1，即1，所以b2，又因为f(x)的最小值为1，所以1，解得c0，所以f(x)x22x.(2)若函数y|f(x)|与yt相交于4个不同交点，则0t1，易知xA1，xB1，xC1，xD1，所以|AB|CD|，|CB|2，由题意知，线段|AB|，|BC|，|CD|构成的三角形为等腰锐角三角形，所以|BC|AB|，即2()，即(2)，解得t1.22(15分)(2019杭州学军中学模拟)已知函数f(x)alnx(aR)(1)若a2，求f(x)在(1，e2)上零点的个数，其中e为自然对数的底数；(2)若f(x)恰有一个零点，求a的取值集合；(3)若f(x)有两个零点x1，x2(x1x2)，求证：2x1x23ea11.(1)解a2时，f(x)2lnx，f(x)，故f(x)在(1，e2)上单调递减，所以在(1，e2)上至多只有一个零点又f(1)f(e2)11时，f(x)0，f(x)在(1，)上单调递减；当0x0，f(x)在(0,1)上单调递增，故f(x)maxf(1)a1.当f(x)max0，即a1时，因最大值点唯一，故符合题意；当f(x)max0，即a1时，f(x)0，即a1时，一方面，存在ea1，f(ea)0；另一方面，存在ea1，f(ea)2aea2aea2.依题意有alnx1lnx2，于是ln.记t，t1，则lnt，故x1，于是，x1x2x1(t1)，x1x22.记函数g(x)lnx，x1.因g(x)0，故g(x)在(1，)上单调递增于是当t1时，g(t)g(1)0，又lnt0，所以x1x22.再证x1x2p时，t(x)t(p)0；当0xp时，t(x)0.于是ax11x1lnx10，即x(3ea11)x1ea10.同理得x(3ea11)x2ea10.故x(3ea11)x2ea1x(3ea11)x1ea1，(x2x1)(x2x1)(3ea11)(x2x1)，于是x1x23ea11.综上，2x1x23ea11.
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