资源描述
五解析几何(A)1.(2018黄陵高三期中)已知M为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,点Q的坐标为(-2,3).(1)若P(a,a+1)在圆C上,求线段PQ的长及直线PQ的斜率;(2)求|MQ|的最大值和最小值;(3)设M(m,n),求n-3m+2的最大值和最小值.2.(2018武侯区校级模拟)已知椭圆C的左右顶点分别为A,B,A点坐标为(-2,0),P为椭圆C上不同于A,B的任意一点,且满足kAPkBP=-12.(1)求椭圆C的方程;(2)设F为椭圆C的右焦点,直线PF与椭圆C的另一交点为Q,PQ的中点为M,若|OM|=|QM|,求直线PF的斜率k.3.(2013广东卷)已知抛物线C顶点为原点,其焦点F(0,c)(c0)到直线l:x-y-2=0的距离为322,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.(1)求抛物线C的方程;(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|BF|的最小值.4.(2018红桥区一模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,椭圆C与y轴交于A,B两点,且|AB|=2.(1)求椭圆C的方程;(2)设点P是椭圆C上的一个动点,且点P在y轴的右侧.直线PA,PB与直线x=4分别交于M,N两点.若以MN为直径的圆与x轴交于两点E,F,求点P横坐标的取值范围及|EF|的最大值.1.解:(1)由点P(a,a+1)在圆C上,可得a2+(a+1)2-4a-14(a+1)+45=0,所以a=4,即P(4,5).所以|PQ|=(4+2)2+(5-3)2=210,kPQ=3-5-2-4=13.(2)由x2+y2-4x-14y+45=0可得(x-2)2+(y-7)2=8,所以圆心C的坐标为(2,7),半径r=22.可得|QC|=(2+2)2+(7-3)2=42,因此|MQ|max=|QC|+r=42+22=62,|MQ|min=|QC|-r=42-22=22.(3)分析可知,n-3m+2表示直线MQ的斜率.设直线MQ的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0,则n-3m+3=k.由直线MQ与圆C有交点,所以|2k-7+2k+3|k2+122,可得2-3k2+3,所以n-3m+2的最大值为2+3,最小值为2-3.2.解:(1)设P(x,y)(x2),所以kAPkBP=-12,所以yx+2yx-2=-12,整理得x22+y2=1(x2),但A,B两点在椭圆上,所以椭圆C的方程为x22+y2=1.(2)由题可知,斜率一定存在且k0,设过焦点F的直线方程为x=my+1,P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),联立x22+y2=1,x=my+1,则(m2+2)y2+2my-1=0,所以y1+y2=-2mm2+2,y1y2=-1m2+2,=8(m2+1),所以x0=2m2+2,y0=-mm2+2,所以|OM|=m2+4m2+2,而|QM|=12|PQ|=12(1+m)24m2(m2+2)2+4(m2+2)(m2+2)2=12(m2+1)(8m2+8)(m2+2)2=2m2+1m2+2,因为|OM|=|QM|,所以m2+4m2+2=2m2+1m2+2,所以m2=12,所以k2=2,所以k=2.因此,直线PF的斜率为2.3.解:(1)因为抛物线C的焦点F(0,c)(c0)到直线l:x-y-2=0的距离为322,所以|-c-2|2=322,得c=1,所以F(0,1),即抛物线C的方程为x2=4y.(2)设切点A(x1,y1),B(x2,y2),由x2=4y得y=12x,所以切线PA:y-y1=12x1(x-x1),有y=12x1x-12x12+y1,而x12=4y1,即切线PA:y=12x1x-y1,同理可得切线PB:y=12x2x-y2.因为两切线均过定点P(x0,y0),所以y0=12x1x0-y1,y0=12x2x0-y2,由此两式知点A,B均在直线y0=12xx0-y上,所以直线AB的方程为y0=12xx0-y,即y=12x0x-y0.(3)设点P的坐标为(x,y),由x-y-2=0,得x=y+2,则|AF|BF|=x12+(y1-1)2x22+(y2-1)2=4y1+(y1-1)24y2+(y2-1)2=(y1+1)2(y2+1)2=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1.由x2=4y,y=12xx-y得y2+(2y-x2)y+y2=0,有y1+y2=x2-2y,y1y2=y2,所以|AF|BF|=y2+x2-2y+1=y2+(y+2)2-2y+1=2(y+12)2+92,当y=-12,x=32时,即P(32,-12)时,|AF|BF|取得最小值92.4.解:(1)由题意可得,2b=2,即b=1,e=ca=32,得a2-1a2=34,解得a2=4,椭圆C的标准方程为x24+y2=1.(2)法一设P(x0,y0)(00,解得x0(85,2.则|x1-x2|=25-8x0(85x02),所以当x0=2时,该圆被x轴截得的弦长最大值为2.法二设P(x0,y0)(0x02),A(0,-1),B(0,1),所以kPA=y0+1x0,直线PA的方程为y=y0+1x0x-1,同理,直线PB的方程为y=y0-1x0x+1,直线PA与直线x=4的交点为M(4,4(y0+1)x0-1),直线PB与直线x=4的交点为N(4,4(y0-1)x0+1),若以MN为直径的圆与x轴相交,则4(y0+1)x0-14(y0-1)x0+10,即16(y02-1)x02-4(y0-1)x0+4(y0+1)x0-10,即16(y02-1)x02+8x0-10,解得x0(85,2.该圆的直径为4(y0+1)x0-1-4(y0-1)x0+1=2-8x0,圆心到x轴的距离为124(y0+1)x0-1+4(y0-1)x0+1=4y0x0,该圆在x轴上截得的弦长为2(1-4x0)2-(4y0x0)2=25-8x0(85x02),所以该圆被x轴截得的弦长最大值为2.
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