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考点规范练20正弦定理和余弦定理基础巩固组1.在ABC中,若AB=13,BC=3,C=120,则AC=()A.1B.2C.3D.4答案A解析由余弦定理得13=9+AC2+3ACAC=1.故选A.2.(2017台州二次适应性测试)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2+b2-c2=ab=3,则ABC的面积为()A.34B.34C.32D.32答案B解析依题意得cosC=a2+b2-c22ab=12,C=60,因此ABC的面积等于12absinC=12332=34,故选B.3.(2017浙江温州瑞安模拟)在ABC中,内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.asin Bcos C+csin Bcos A=12b,且ab,则B=()A.6B.3C.23D.56答案A解析利用正弦定理化简已知等式得:sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=12sinB,sinB0,sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB=12,ab,AB,即B为锐角,则B=6.故选A.4.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=1,sinBsinC=12+cosCc,则A=.答案60解析由条件sinBsinC=12+cosCc得bc=12+cosCc,则b=12c+cosC=12c+1+b2-c221c,即b2+c2=bc+1,1=b2+c2-2bccosA,可得cosA=12,A=60.5.(2018浙江高考)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=7,b=2,A=60,则sin B=,c=.答案2173解析由正弦定理asinA=bsinB,可知sinB=bsinAa=2sin607=2327=217.a=7b=2,B为锐角.cosB=1-sin2B=47=277.cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=32217-27712=37-2714=714.由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=7+4-227714=7+4-2=9.c=3.6.(2018浙江诸暨5月适应考试)在三角形ABC中,角A,B,C所对边分别是a,b,c,已知sin A+sin B=54sin C,且ABC的周长为9,则c=;若ABC的面积等于3sin C,则cos C=.答案4-14解析ABC中,角A,B,C所对边分别是a,b,c,sinA+sinB=54sinC,由正弦定理得a+b=5c4,又ABC的周长为9,则c+5c4=9,解得c=4.若ABC的面积等于3sinC,即12absinC=3sinC,整理得ab=6.又a+b=5c4=5,解得a=2,b=3,或a=3,b=2,cosC=a2+b2-c22ab=-14.能力提升组7.(2018浙江温州期末)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(a2+b2-c2)tan C=ab,则角C的大小为()A.6或56B.3或23C.6D.23答案A解析由(a2+b2-c2)tanC=ab可得,a2+b2-c22abtanC=12,由余弦定理可得cosCtanC=sinC=12,因为0C,所以角C的大小为6或56,故选A.8.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=30,ABC的面积为32,且sin A+sin C=2sin B,则b的值为()A.4+23B.4-23C.3-1D.3+1答案D解析由已知可得12acsin30=32,解得ac=6,又sinA+sinC=2sinB,由正弦定理可得a+c=2b,由余弦定理:b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac-3ac=4b2-12-63,解得b2=4+23,b=1+3.故选D.9.在锐角ABC中,若A=2B,则ab的范围是(a,b分别为角A,B的对边长)()A.(2,3)B.(3,2)C.(0,2)D.(2,2)答案A解析A=2B,根据正弦定理得ab=sinAsinB=2sinBcosBsinB=2cosB.(sinB0)A+B+C=180,3B+C=180,即C=180-3B.角C为锐角,30B60.又0A=2B90,30B45,22cosB32,即22cosB3,则ab的取值范围是(2,3),故选A.10.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=1,2b-3c=2acos C,sin C=32,则ABC的面积为()A.32B.34C.32或34D.3或32答案C解析根据正弦定理可得2sinB-3sinC=2sinAcosC,而sinB=sin(A+C),整理为2cosAsinC=3sinC,所以cosA=32,所以A=30,asinA=csinC,解得c=3,因为sinC=32,所以C=60或C=120,当C=60时,B=90,此时ABC的面积为S=12ac=32,当C=120时,B=30,此时ABC的面积为S=12acsinB=34,故选C.11.在锐角ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2bsin C,则tan A+tan B+tan C的最小值是()A.4B.33C.8D.63答案C解析a=2bsinC,sinA=2sinBsinC=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,两边同除cosBcosC,2tanBtanC=tanB+tanC,又tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC,tanB+tanC=2tanAtanA-2,tanA+tanB+tanC=tanA+2tanAtanA-2=tanA-2+4tanA-2+48,当且仅当tanA=4时取等号.12.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若角A,B,C依次成等差数列,且a=1,b=3,则SABC=.答案32解析因为角A,B,C依次成等差数列,所以B=60.由正弦定理,得1sinA=3sin60,解得sinA=12,因为0A180,所以A=30或150(舍去),此时C=90,所以SABC=12ab=32.13.在等腰ABC中,AB=AC,AC边上的中线BD长为6,则当ABC的面积取得最大值时,AB的长为.答案45解析根据题意,设AB=AC=2x,则AD=x(2x6),由余弦定理,得cosA=AB2+AD2-BD22ABAD=5x2-364x2=54-9x2,所以sinA=1-54-9x22,所以SABC=12ABACsinA=124x21-54-9x22=2-916(x2-20)2+14424,当x2=20,即x=25时等号成立,所以当ABC的面积取得最大值时,AB的长为45.14.(2017浙江温州模拟改编)在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a=2,2cos 2B+C2+sin A=45,(1)若满足条件的ABC有且只有一个,则b的取值范围为;(2)当ABC的周长取最大值时,则b的值为.答案(1)(0,2103(2)10解析(1)2cos2B+C2+sinA=451+cos(B+C)+sinA=45,即sinA-cosA=-15,又0A,且sin2A+cos2A=1,有sinA=35,cosA=45,若满足条件的ABC有且只有一个,则有a=bsinA或ab,则b的取值范围为(0,2103;(2)设ABC的周长为l,由正弦定理得l=a+b+c=a+asinA(sinB+sinC)=2+103sinB+sin(A+B)=2+103(sinB+sinAcosB+cosAsinB)=2+2(3sinB+cosB)=2+210sin(B+),其中为锐角,且sin=1010,cos=31010,lmax=2+210,当cosB=1010,sinB=31010时取到等号,此时b=asinAsinB=10.15.(2018江苏调研)已知ABC中,若角A,B,C对应的边分别为a,b,c,满足a+1a+4cos C=0,b=1.(1)若ABC的面积为32,求a;(2)若A=6,求ABC的面积.解(1)由S=12absinC=12asinC=32得asinC=3,即sinC=3a.又a+1a=-4cosC,那么a+1a2=16cos2C=16(1-sin2C)=16-48a2,即a4-14a2+49=0,得到a2=7,即有a=7.(2)由题意有a+1a=-4cosC及余弦定理cosC=a2+b2-c22ab,有a+1a=-4a2+b2-c22ab=-2(a2+1-c2)a,即a2+1=23c2,又由b2+c2-a2=2bccosA可知c2-a2+1=3c,由得到c2-33c+6=0,即(c-3)(c-23)=0,可知c=3或c=23.经检验,c=3或c=23均符合题意,则ABC的面积为S=12bcsinA=32或34.16.(2017浙江名校联考)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=2,C=3.(1)当2sin 2A+sin(2B+C)=sin C时,求ABC的面积;(2)求ABC周长的最大值.解(1)由2sin2A+sin(2B+C)=sinC,得4sinAcosA-sin(B-A)=sin(A+B),得2sinAcosA=sinBcosA,当cosA=0时,A=2,B=6,a=433,b=233,当cosA0时,sinB=2sinA,由正弦定理b=2a,联立a2+b2-ab=4,b=2a,解得a=233,b=433,故三角形的面积为SABC=12absinC=233;(2)由余弦定理及已知条件可得a2+b2-ab=4,由(a+b)2=4+3ab4+3(a+b)24得a+b4,故ABC周长的最大值为6,当且仅当三角形为正三角形取到.
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