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6.2等差数列挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.等差数列的有关概念及运算1.理解等差数列的概念2.掌握等差数列的通项公式和前n项和公式3.了解等差数列与一次函数的关系2016天津,18等差数列的定义、等差数列的通项公式等比数列的性质、用放缩法证明不等式2014天津,11等差数列的前n项和等比中项2012天津,18等差数列的通项公式数列求和、数学归纳法2.等差数列的性质及其应用1.能利用等差数列的性质解决相应的问题2.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题2011天津文,11等差数列的性质等差数列前n项和的应用分析解读从天津高考的情况来看,本节一直是高考的热点,主要考查等差数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式、等差中项等相关内容.本节内容在高考中的分值约为5分,属于中低档题,以选择题、填空题的形式出现.破考点【考点集训】考点一等差数列的有关概念及运算1.已知等差数列an满足a1=1,an+2-an=6,则a11等于()A.31B.32C.61D.62答案A2.(2013课标,7,5分)设等差数列an的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=()A.3B.4C.5D.6答案C3.已知等差数列an一共有9项,前4项和为3,最后3项和为4,则中间一项的值为()A.1720B.5960C.1D.6766答案D考点二等差数列的性质及其应用4.在等差数列an中,a1+3a8+a15=120,则a2+a14的值为()A.6B.12C.24D.48答案D5.在等差数列an中,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以Sn表示an的前n项和,则使Sn取得最大值时n的值为()A.21B.20C.19D.18答案B炼技法【方法集训】方法1等差数列的基本运算技巧1.数列an为递增的等差数列,a1=f(x+1),a2=0,a3=f(x-1),其中f(x)=x2-4x+2,则数列an的通项公式为()A.an=n-2B.an=2n-4C.an=3n-6D.an=4n-8答案B2.在等差数列an中,2(a1+a4+a7)+3(a9+a11)=24,则S13+2a7=()A.17B.26C.30D.56答案C3.(2018上海,6,4分)记等差数列an的前n项和为Sn,若a3=0,a6+a7=14,则S7=.答案14方法2等差数列的判定方法4.(2014陕西,14,5分)已知f(x)=x1+x,x0,若f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x),nN+,则f2014(x)的表达式为.答案f2014(x)=x1+2014x5.已知数列an满足a1=12,且an+1=2an2+an.(1)求证:数列1an是等差数列;(2)若bn=anan+1,求数列bn的前n项和Sn.解析(1)证明:an+1=2an2+an,1an+1=2+an2an,1an+1-1an=12,数列1an是以2为首项,12为公差的等差数列.(2)由(1)知an=2n+3,bn=4(n+3)(n+4)=41n+3-1n+4,Sn=414-15+15-16+1n+3-1n+4=414-1n+4=nn+4.方法3等差数列前n项和的最值问题的求解方法6.(2014江西,13,5分)在等差数列an中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取得最大值,则d的取值范围为.答案-1,-787.设等差数列an的前n项和为Sn,a3+a8+a13=C,a4+a14=2C,其中C0,则Sn在n等于时取到最大值.答案7过专题【五年高考】A组自主命题天津卷题组考点一等差数列的有关概念及运算1.(2014天津,11,5分)设an是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为.答案-122.(2016天津,18,13分)已知an是各项均为正数的等差数列,公差为d.对任意的nN*,bn是an和an+1的等比中项.(1)设cn=bn+12-bn2,nN*,求证:数列cn是等差数列;(2)设a1=d,Tn=k=12n(-1)kbk2,nN*,求证:k=1n1Tk12d2.证明(1)由题意得bn2=anan+1,有cn=bn+12-bn2=an+1an+2-anan+1=2dan+1,因此cn+1-cn=2d(an+2-an+1)=2d2,所以cn是等差数列.(2)Tn=(-b12+b22)+(-b32+b42)+(-b2n-12+b2n2)=2d(a2+a4+a2n)=2dn(a2+a2n)2=2d2n(n+1).所以k=1n1Tk=12d2k=1n1k(k+1)=12d2k=1n1k-1k+1=12d21-1n+10B.d0D.a1d0的等差数列an的四个命题:p1:数列an是递增数列;p2:数列nan是递增数列;p3:数列ann是递增数列;p4:数列an+3nd是递增数列.其中的真命题为()A.p1,p2B.p3,p4C.p2,p3D.p1,p4答案D3.(2015陕西,13,5分)中位数为1010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为.答案5【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2019届天津河西期中,2)在等差数列an中,a1=2,a3+a5=10,则a7=()A.5B.8C.10D.14答案B2.(2018天津一中5月月考,4)已知数列an是等差数列,m,p,q为正整数,则“p+q=2m”是“ap+aq=2am”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A3.(2017天津一中5月月考,5)在等差数列an中,a3+a6+a9=54,设数列an的前n项和为Sn,则S11=()A.18B.99C.198D.297答案C4.(2017天津实验中学模拟,5)已知等差数列an的前n项和为Sn,且2(a1+a3+a5)+3(a8+a10)=36,则S11=()A.66B.55C.44D.33答案D5.(2017天津南开三模,7)已知等差数列an的前n项和为Sn,且S2=10,S5=55,则过点P(n,an),Q(n+2,an+2)(nN*)的直线的斜率为()A.4B.14C.-4D.-14答案A6.(2018天津南开二模,7)已知Sn是数列an的前n项和,a1=2,a2=4,a3=6,数列an+an+1+an+2是公差为2的等差数列,则S25=()A.233B.282C.466D.650答案B7.(2019届天津耀华中学统练(2),7)在等差数列an中,其前n项和是Sn,若S150,S160,则在S1a1,S2a2,S3a3,S15a15中最大的是()A.S1a1B.S9a9C.S8a8D.S15a15答案C二、填空题(每小题5分,共10分)8.(2019届天津七校联考,10)在等差数列an中,S5=25,a2=3,则a5=.答案99.(2019届天津耀华中学第二次月考,10)记Sn为等差数列an的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=.答案-10三、解答题(共35分)10.(2017天津和平二模,18)已知等差数列an满足a2=5,a5+a9=30,an的前n项和为Sn.(1)求数列an的通项公式及前n项和Sn;(2)令bn=1Sn(nN*),求数列bn的前n项和Tn.解析(1)设等差数列an的公差为d,由a2=5,a5+a9=30可得a1+d=5,2a1+12d=30,解得a1=3,d=2,an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1,Sn=n(a1+an)2=n(3+2n+1)2=n(n+2)=n2+2n.(2)由(1)可得bn=1Sn=1n(n+2)=121n-1n+2,数列bn的前n项和Tn=121-13+12-14+13-15+1n-1-1n+1+1n-1n+2=121+12-1n+1-1n+2=34-12n+2-12n+4.解题分析本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式和裂项相消法求和,属于中档题.11.(2017天津和平四模,18)已知等差数列an满足a2=3,a4+a7=20.(1)求数列an的通项公式及前n项和Sn;(2)证明:k=1n1Skk2-140(kN*),1k21k2-14,kN*,1k244k2-1=212k-1-12k+1,k=1n1Sk=112+122+132+1n21+213-15+215-17+212k-1-12k+1=1+213-12k+1=53-22k+153,k=1n1Sk53.解题分析本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式,考查数列不等式的证明,涉及裂项相消法、放缩法等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想,属中档题.12.(2018天津河西三模,18)已知数列an的前n项和为Sn,数列Snn是首项为1,公差为2的等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)设数列bn满足a1b1+a2b2+anbn=5-(4n+5)12n,求数列bn的前n项和Tn.解析(1)由数列Snn是首项为1,公差为2的等差数列,得Snn=1+2(n-1)=2n-1,则有Sn=n(2n-1)=2n2-n.当n=1时,a1=S1=1,当n2时,an=Sn-Sn-1=4n-3,a1=1符合an=4n-3,故an=4n-3,nN*.(2)根据题意,数列bn满足a1b1+a2b2+anbn=5-(4n+5)12n,当n=1时,a1b1=5-(4+5)12=12,而a1=1,则b1=2,易知a1b1+a2b2+an-1bn-1=5-(4n+1)12n-1(n2),-可得anbn=(4n-3)12n,又an=4n-3,所以bn=2n(n2),又b1=2符合bn=2n,则bn=2n(nN*),故数列bn是首项为2,公比为2的等比数列,则Tn=2(1-2n)1-2=2n+1-2,nN*.
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