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第五节二次函数与幂函数1幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如yx(R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数(2)常见的5种幂函数的图象排列特点：第一象限内，在直线x1右侧，其指数越大，图象越高，即“指大图高”.图象规律：幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限图象若与坐标轴有交点，一定交于坐标原点三点注意：(1)当0时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于yx1的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大；(2)当01时，函数图象倾向x轴，类似于yx的图象；(3)当1时，函数图象倾向y轴，类似于yx3的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大.(3)幂函数的性质幂函数在(0，)上都有定义；当0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，)上单调递增；当0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，)上单调递减对于形如f(x)x(其中mN*，nZ，m与n互质)的幂函数：(1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称；(2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称；(3)当m为偶数时，x0(或x0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)2二次函数(1)二次函数解析式的3种形式一般式：f(x)ax2bxc(a0)顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)，顶点坐标为(m，n)零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2为f(x)的零点(2)二次函数的图象和性质函数yax2bxc(a0)yax2bxc(a0)图象(抛物线)定义域R值域对称轴x顶点坐标奇偶性当b0时是偶函数，当b0时是非奇非偶函数单调性在上是减函数；在上是增函数在上是增函数；在上是减函数 熟记常用结论关于二次函数的几个常用结论(1)关于函数f(x)a(xh)2k(a0)，xp，q的最值问题若hp，q，则xh时有最小值k，最大值是f(p)与f(q)中较大者；若hp，q，则f(p)，f(q)中较小者为最小值，较大者为最大值(2)根的分布问题设函数yax2bxc(a0)，若对区间a，b有f(a)0，f(b)0，则曲线必与x轴相交(至少有一个交点，且交点必在a，b上)设x1，x2是实系数一元二次方程ax2bxc0(a0)的两根，根的分布对照yax2bxc(a0)的图象，知其等价不等式组的关系是：若x1x2m，则若mx1x2，则若x1mx2，则若x1，x2(m1，m2)，则若x1，x2有且仅有一个在(m1，m2)内，则小题查验基础一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)函数y2x是幂函数()(2)当n0时，幂函数yxn在(0，)上是增函数()(3)二次函数yax2bxc(xR)不可能是偶函数()(4)二次函数yax2bxc(xa，b)的最值一定是.()(5)在yax2bxc(a0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、选填题1已知幂函数yf(x)的图象经过点，则f(2)()A.B4C. D.解析：选C设f(x)x，图象过点，f(4)4，解得，f(2)2.故选C.2若四个幂函数yxa，yxb，yxc，yxd在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是()Adcba BabcdCdcab Dabdc解析：选B根据幂函数的性质及图象知选B.3已知函数f(x)ax2x5的图象在x轴上方，则a的取值范围是()A. B.C. D.解析：选C函数f(x)ax2x5的图象在x轴上方，解得a.4函数f(x)(m2m1)xm是幂函数，且在x(0，)上为增函数，则实数m的值为_解析：f(x)(m2m1)xm是幂函数，m2m11，解得m1或m2.又f(x)在(0，)上为增函数，m2.答案：25已知f(x)4x2mx5在2，)上是增函数，则实数m的取值范围是_解析：因为函数f(x)4x2mx5的单调递增区间为，所以2，即m16.答案：(，16考点一基础自学过关 幂函数的图象与性质 题组练透1已知幂函数f(x)的图象经过点(9,3)，则f(2)f(1)()A3B1C.1 D1解析：选C设幂函数f(x)x，则f(9)93，即，所以f(x)x，所以f(2)f(1)1，故选C.2当x(0，)时，幂函数y(m2m1)x5m3为减函数，则实数m的值为()A2 B1C1或2 Dm解析：选B因为函数y(m2m1)x5m3既是幂函数又是(0，)上的减函数，所以解得m1.3.幂函数yx (mZ)的图象如图所示，则m的值为()A1 B0C1 D2解析：选C从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m22m30，即1m3；又从图象看，函数是偶函数，故m22m3为负偶数，将m0,1,2分别代入，可知当m1时，m22m34，满足要求4已知a3，b4，c12，则a，b，c的大小关系为()Abac BabcCcba Dcab解析：选C因为a81，b16，c12，由幂函数yx在(0，)上为增函数，知abc，故选C.5若(a1)(32a)，则实数a的取值范围是_解析：易知函数yx的定义域为0，)，在定义域内为增函数，所以解得1a.答案：名师微点(1)幂函数yx的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”，图象都过点(1,1)它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当0时，第一象限图象是上坡递增；当0时，第一象限图象是下坡递减然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减性即可(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键考点二师生共研过关 求二次函数的解析式 典例精析已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，求二次函数f(x)的解析式解法一：(利用二次函数的一般式)设f(x)ax2bxc(a0)由题意得解得故所求二次函数为f(x)4x24x7.法二：(利用二次函数的顶点式)设f(x)a(xm)2n(a0)f(2)f(1)，抛物线对称轴为x.m，又根据题意函数有最大值8，n8，yf(x)a28.f(2)1，a281，解得a4，f(x)4284x24x7.法三：(利用二次函数的零点式)由已知f(x)10的两根为x12，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)，即f(x)ax2ax2a1.又函数有最大值ymax8，即8.解得a4或a0(舍去)，故所求函数解析式为f(x)4x24x7.解题技法求二次函数解析式的策略过关训练1已知二次函数f(x)是偶函数，且f(4)4f(2)16，则函数f(x)的解析式为_解析：由题意可设函数f(x)ax2c(a0)，则f(4)16ac16,4f(2)4(4ac)16a4c16，所以a1，c0，故f(x)x2.答案：f(x)x22已知二次函数f(x)ax2bx1(a，bR)，xR，若函数f(x)的最小值为f(1)0，则f(x)_.解析：设函数f(x)的解析式为f(x)a(x1)2ax22axa，又f(x)ax2bx1，所以a1，故f(x)x22x1.答案：x22x13已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意xR，都有f(2x)f(2x)，求f(x)的解析式解：f(2x)f(2x)对xR恒成立，f(x)的对称轴为x2.又f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，f(x)0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)a(x1)(x3)(a0)又f(x)的图象过点(4,3)，3a3，a1.所求f(x)的解析式为f(x)(x1)(x3)，即f(x)x24x3.考点三全析考法过关 二次函数的性质及应用 考法全析考法(一)二次函数的单调性问题例1(1)已知函数f(x)ax2(a3)x1在区间1，)上是递减的，则实数a的取值范围是()A3,0)B(，3C2,0 D3,0(2)函数f(x)x2bxc满足f(x1)f(1x)，且f(0)3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是()Af(bx)f(cx) Bf(bx)f(cx)Cf(bx)f(cx) D与x有关，不确定解析(1)当a0时，f(x)3x1在1，)上递减，满足题意当a0时，f(x)的对称轴为x，由f(x)在1，)上递减知解得3a0.综上，a的取值范围为3,0(2)由题意知，函数f(x)的图象关于直线x1对称，b2，又f(0)3，c3，则bx2x，cx3x.易知f(x)在(，1)上单调递减，在1，)上单调递增若x0，则3x2x1，f(3x)f(2x)；若x0，则3x2x1，f(3x)f(2x)f(3x)f(2x)，即f(bx)f(cx)故选A.答案(1)D(2)A考法(二)二次函数的最值问题例2若函数f(x)ax22ax1在1,2上有最大值4，则a的值为_解析f(x)a(x1)21a.当a0时，函数f(x)在区间1,2上的值为常数1，不符合题意，舍去；当a0时，函数f(x)在区间1,2上是增函数，最大值为f(2)8a14，解得a；当a0时，函数f(x)在区间1,2上是减函数，最大值为f(1)3a14，解得a1，不符合题意，舍去综上可知，a的值为.答案考法(三)二次函数中的恒成立问题例3已知函数f(x)x2x1，在区间1,1上，不等式f(x)2xm恒成立，则实数m的取值范围是_解析f(x)2xm等价于x2x12xm，即x23x1m0，令g(x)x23x1m，要使g(x)x23x1m0在1,1上恒成立，只需使函数g(x)x23x1m在1,1上的最小值大于0即可g(x)x23x1m在1,1上单调递减，g(x)ming(1)m1.由m10，得m1.因此满足条件的实数m的取值范围是(，1)答案(，1)规律探求看个性考法(一)是研究二次函数的单调性问题，二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论考法(二)是研究二次函数的最值问题对于含参数的二次函数最值问题，无论对称轴还是区间含有参数，都把对称轴看作静止不动的参照物，即“动兮定兮对称轴，看作静止参照物”，然后利用十字法求解即可考法(三)是考法(一)和考法(二)的逆运用，最终转化为最值问题求解找共性解决二次函数性质问题应注意的两个关键(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，要注意分类讨论(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题 过关训练1口诀第1、2、3句若二次函数ykx24x2在区间1,2上是单调递增函数，则实数k的取值范围为()A2，) B(2，)C(，0) D(，2)解析：选A二次函数ykx24x2的对称轴为x，当k0时，要使函数ykx24x2在区间1,2上是增函数，只需1，解得k2.当k0时，0，此时抛物线的对称轴在区间1,2的左侧，该函数ykx24x2在区间1,2上是减函数，不符合要求综上可得实数k的取值范围是2，)2口诀第1、2句已知yf(x)是偶函数，当x0时，f(x)(x1)2，若当x时，nf(x)m恒成立，则mn的最小值为()A. B.C. D1解析：选D设x0，则x0.有f(x)(x1)2(x1)2，又f(x)f(x)，当x0时，f(x)(x1)2，该函数在上的最大值为1，最小值为0，依题意，nf(x)m恒成立，则n0，m1，即mn1，故mn的最小值为1.3口诀第4、5句设函数f(x)x22x2，xt，t1，tR，求函数f(x)的最小值解：f(x)x22x2(x1)21，xt，t1，tR，函数图象的对称轴为x1.当t11，即t0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间t，t1上为减函数，所以最小值为f(t1)t21；当t1t1，即0t1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x1处取得最小值，最小值为f(1)1；当t1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间t，t1上为增函数，所以最小值为f(t)t22t2.综上可知，f(x)min 一、题点全面练1幂函数yf(x)经过点(3，)，则f(x)是()A偶函数，且在(0，)上是增函数B偶函数，且在(0，)上是减函数C奇函数，且在(0，)上是减函数D非奇非偶函数，且在(0，)上是增函数解析：选D设幂函数的解析式为yx，将(3，)代入解析式得3，解得，所以yx.故选D.2已知函数f(x)ax2bxc，若abc且abc0，则它的图象可能是()解析：选D由abc且abc0，得a0，c0，所以函数图象开口向上，排除A、C.又f(0)c0，所以排除B，故选D.3.二次函数f(x)的图象如图所示，则f(x1)0的解集为()A(2,1)B(0,3)C(1,2D(，0)(3，)解析：选B根据f(x)的图象可得f(x)0的解集为x|1x2，而f(x1)的图象是由f(x)的图象向右平移一个单位得到的，故f(x1)0的解集为(0,3)故选B.4若a，b，c，则a，b，c的大小关系是()AabcBcabCbca Dbac解析：选Dyx (x0)是增函数，ab.yx是减函数，ac，bac.5已知函数f(x)ax2bxc(a0)，且2是f(x)的一个零点，1是f(x)的一个极小值点，那么不等式f(x)0的解集是()A(4,2) B(2,4)C(，4)(2，) D(，2)(4，)解析：选C依题意，f(x)图象是开口向上的抛物线，对称轴为x1，方程ax2bxc0的一个根是2，另一个根是4.因此f(x)a(x4)(x2)(a0)，于是f(x)0，解得x2或x4.6已知点(m,8)在幂函数f(x)(m1)xn的图象上，设af，bf(ln )，cf，则a，b，c的大小关系为()Acab BabcCbca Dbac解析：选A根据题意，m11，m2，2n8，n3，f(x)x3.f(x)x3是定义在R上的增函数，又001ln ，cab.7已知二次函数f(x)满足f(2x)f(2x)，且f(x)在0,2上是增函数，若f(a)f(0)，则实数a的取值范围是_解析：由题意可知函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x2(如图)，若f(a)f(0)，从图象观察可知0a4.答案：0,48若函数f(x)x22x1在区间a，a2上的最小值为4，则实数a的取值集合为_解析：函数f(x)x22x1(x1)2的图象的对称轴为直线x1，且f(x)在区间a，a2上的最小值为4，当a1时，f(a)(a1)24，a1(舍去)或a3；当a21，即a1时，f(a2)(a1)24，a1(舍去)或a3；当a1a2，即1a1时，f(1)04.故a的取值集合为3,3答案：3,39已知值域为1，)的二次函数f(x)满足f(1x)f(1x)，且方程f(x)0的两个实根x1，x2满足|x1x2|2.(1)求f(x)的表达式；(2)函数g(x)f(x)kx在区间1,2上的最大值为f(2)，最小值为f(1)，求实数k的取值范围解：(1)由f(1x)f(1x)，可得f(x)的图象关于直线x1对称，设f(x)a(x1)2hax22axah(a0)，由函数f(x)的值域为1，)，可得h1，a0，根据根与系数的关系可得x1x22，x1x21，|x1x2| 2，解得a1，f(x)x22x.(2)由题意得函数g(x)在区间1,2上单调递增，又g(x)f(x)kxx2(k2)x.g(x)图象的对称轴方程为x，则1，即k0，故k的取值范围为(，010已知函数f(x)ax2bxc(a0，bR，cR)(1)若函数f(x)的最小值是f(1)0，且c1，F(x)求F(2)F(2)的值；(2)若a1，c0，且|f(x)|1在区间(0,1上恒成立，试求b的取值范围解：(1)由已知c1，abc0，且1，解得a1，b2，f(x)(x1)2，F(x)F(2)F(2)(21)2(21)28.(2)由题可知，f(x)x2bx，原命题等价于1x2bx1在(0,1上恒成立，即bx且bx在(0,1上恒成立又x的最小值为0，x的最大值为2，2b0，故b的取值范围是2,0二、专项培优练(一)易错专练不丢怨枉分1已知函数f(x)x2xc，若f(0)0，f(p)0，则必有()Af(p1)0 Bf(p1)0Cf(p1)0 Df(p1)的符号不能确定解析：选A由题意知，f(0)c0，函数图象的对称轴为直线x，则f(1)f(0)0，设f(x)0的两根分别为x1，x2(x1x2)，则1x1x20，根据图象知，x1px2，故p10，则f(p1)0.2已知幂函数f(x)(n22n2)x(nZ)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，则n的值为()A3 B1C2 D1或2解析：选B由于f(x)为幂函数，所以n22n21，解得n1或n3，当n1时，函数f(x)x2为偶函数，其图象关于y轴对称，且f(x)在(0，)上是减函数，所以n1满足题意；当n3时，函数f(x)x18为偶函数，其图象关于y轴对称，而f(x)在(0，)上是增函数，所以n3不满足题意，舍去故选B.3已知在(，1上递减的函数f(x)x22tx1，且对任意的x1，x20，t1，总有|f(x1)f(x2)|2，则实数t的取值范围为()A， B1，C2,3 D1,2解析：选B由于函数f(x)x22tx1的图象的对称轴为xt，函数f(x)x22tx1在区间(，1上单调递减，所以t1.则在区间0，t1上，0距对称轴xt最远，故要使对任意的x1，x20，t1，都有|f(x1)f(x2)|2，只要f(0)f(t)2即可，即1(t22t21)2，求得t.再结合t1，可得1t.故选B.4若函数f(x)x22ax2在区间5,5上是单调函数，则实数a的取值范围为_解析：函数f(x)(xa)22a2的图象的对称轴为直线xa，因为yf(x)在区间5,5上是单调函数，所以a5或a5，即a5或a5.故实数a的取值范围是(，55，)答案：(，55，)5已知对于任意的x(，1)(5，)，都有x22(a2)xa0，则实数a的取值范围是_解析：4(a2)24a4a220a164(a1)(a4)(1)若0，即1a4时，x22(a2)xa0在R上恒成立，符合题意；(2)若0，即a1或a4时，方程x22(a2)xa0的解为xa2，显然当a1时，不符合题意，当a4时，符合题意；(3)当0，即a1或a4时，因为x22(a2)xa0在(，1)(5，)上恒成立，所以解得3a5，又a1或a4，所以4a5.综上，a的取值范围是(1,5答案：(1,5(二)技法专练活用快得分6更换主元法对于任意a1,1，函数f(x)x2(a4)x42a的值总大于0，则x的取值范围是()A(1,3) B(，1)(3，)C(1,2) D(，1)(2，)解析：选B原题可转化为关于a的一次函数ya(x2)x24x40在1,1上恒成立，只需x1或x3.故选B.7分离参数法方程x2ax20在区间1,5上有解，则实数a的取值范围为()A. B(1，)C. D.解析：选C方程x2ax20在区间1,5上有解转化为方程a在区间1,5上有解，即ya与y的图象有交点，又因为yx在1,5上是减函数，所以其值域为，故选C.(三)难点专练适情自主选8函数f(x)x23xa，g(x)2xx2，若f(g(x)0对x0,1恒成立，则实数a的取值范围是()Ae，) Bln 2，)C2，) D.解析：选C如图所示，在同一坐标系中画出yx21，y2x，yx2的图象，由图象可知，在0,1上，x212xx2恒成立，即12xx2，当且仅当x0或x1时等号成立，1g(x)，f(g(x)0f(1)013a0a2，即实数a的取值范围是2，)，故选C.9定义：如果在函数yf(x)定义域内的给定区间a，b上存在x0(ax0b)，满足f(x0)，则称函数yf(x)是a，b上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，如yx4是1,1上的平均值函数，0就是它的均值点现有函数f(x)x2mx1是1,1上的平均值函数，则实数m的取值范围是_解析：因为函数f(x)x2mx1是1,1上的平均值函数，设x0为均值点，所以mf(x0)，即关于x0的方程xmx01m在(1,1)内有实数根，解方程得x01或x0m1.所以必有1m11，即0m2，所以实数m的取值范围是(0,2)答案：(0,2)
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