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直线与圆A组大题保分练1已知圆O：x2y24交y轴正半轴于点A，点B，C是圆O上异于点A的两个动点(1)若B与A关于原点O对称，直线AC和直线BC分别交直线y4于点M，N，求线段MN长度的最小值；(2)若直线AC和直线AB的斜率之积为1，求证：直线BC与x轴垂直解：(1)由题意，直线AC和直线BC的斜率一定存在且不为0，且A(0,2)，B(0，2)，ACBC.设直线AC的斜率为k，则直线BC的斜率为，所以直线AC的方程为ykx2，直线BC的方程为yx2，故它们与直线y4的交点分别为M，N(6k,4)所以MN4，当且仅当k时取等号，所以线段MN长度的最小值为4.(2)证明：易知直线AC和直线AB的斜率一定存在且不为0，设直线AC的方程为ykx2，则直线AB的方程为yx2.由解得C，同理可得B.因为B，C两点的横坐标相等，所以BCx轴2已知圆x2y24x2y30和圆外一点M(4，8)(1)过M作直线交圆于A，B两点，若|AB|4，求直线AB的方程；(2)过M作圆的切线，切点分别为C，D，求切线长及CD所在直线的方程解：(1)圆即(x2)2(y1)28，圆心为P(2，1)，半径r2.若割线斜率存在，设AB：y8k(x4)，即kxy4k80，设AB的中点为N，则|PN|，由|PN|22r2，得k，AB：45x28y440.若割线斜率不存在，AB：x4，代入圆方程得y22y30，y11，y23符合题意综上，直线AB的方程为45x28y440或x4.(2)切线长为3.以PM为直径的圆的方程为(x2)(x4)(y1)(y8)0，即x2y26x9y160.又已知圆的方程为x2y24x2y30，两式相减，得2x7y190，所以直线CD的方程为2x7y190.3已知直线l：4x3y100，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方(1)求圆C的方程；(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)设圆心C(a,0)，则2a0或a5(舍去)所以圆C的方程为x2y24.(2)当直线ABx轴时，x轴平分ANB.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为yk(x1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k21)x22k2xk240，所以x1x2，x1x2.若x轴平分ANB，则kANkBN002x1x2(t1)(x1x2)2t02t0t4，所以当点N为(4,0)时，能使得ANMBNM总成立4在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x3)2(y1)24和圆C2：(x4)2(y5)24.(1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程；(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P的坐标解：(1)由于直线x4与圆C1不相交，直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x4)，圆C1的圆心到直线l的距离为d.l被圆C1截得的弦长为2，d 1.又由点到直线的距离公式得d，k(24k7)0，解得k0或k，直线l的方程为y0或7x24y280.(2)设点P(a，b)满足条件，由题意分析可得直线l1，l2的斜率均存在且不为0，不妨设直线l1的方程为ybk(xa)，则直线l2的方程为yb(xa)圆C1和圆C2的半径相等，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，即，整理得|13kakb|5k4abk|.13kakb(5k4abk)，即(ab2)kba3或(ab8)kab5. k的取值有无穷多个，或解得或故这样的点只可能是点P1或点P2，.B组大题增分练1.如图，已知以点A(1,2)为圆心的圆与直线l1：x2y70相切过点B(2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.(1)求圆A的方程；(2)当MN2时，求直线l的方程解：(1)设圆A的半径为r.由于圆A与直线l1：x2y70相切，r2.圆A的方程为(x1)2(y2)220.(2)当直线l与x轴垂直时，易知x2符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x2)即kxy2k0.连结AQ，则AQMN.MN2，AQ1，则由AQ1，得k，直线l：3x4y60.故直线l的方程为x2或3x4y60.2已知点P(2,2)，圆C：x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点(1)求M的轨迹方程；(2)当OPOM时，求证：POM的面积为定值解：(1)圆C的方程可化为x2(y4)216，所以圆心为C(0,4)，半径为4.设M(x，y)，则(x，y4)，(2x,2y)由题设知0，故x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x1)2(y3)22.(2)证明：由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆由于OPOM，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ONPM.因为ON的斜率为3，所以PM的斜率为，故PM的方程为yx.又OMOP2，O到l的距离d为，所以PM2，所以POM的面积为SPOMPMd.3.如图，已知位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点(0,1)，且被x轴分成的两段弧长之比为21，过点H(0，t)的直线l与圆C相交于M，N两点，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O.(1)求圆C的方程；(2)当t1时，求直线l的方程；(3)求直线OM的斜率k的取值范围解：(1)因为位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点(0,1)，所以圆心C在直线y1上又圆C与x轴的交点分别为A，B，由圆C被x轴分成的两段弧长之比为21，得ACB.所以CACB2，圆心C的坐标为(2,1)所以圆C的方程为(x2)2(y1)24.(2)当t1时，由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ymx1.由消去y，得(m21)x24x0，解得或不妨令M，N(0,1)因为以MN为直径的圆恰好经过O(0,0)，所以(0,1)0，解得m2，故所求直线l的方程为y(2)x1或y(2)x1.(3)设直线OM的方程为ykx，由题意，知2，解得k.同理得，解得k或k0.由(2)知，k0也满足题意所以k的取值范围是.4已知过点A(1,0)的动直线l与圆C：x2(y3)24相交于P、Q两点，M是PQ中点，l与直线m：x3y60相交于N.(1)求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；(2)当PQ2时，求直线l的方程；(3)探索是否与直线l的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由解：(1)l与m垂直，且km，kl3，故直线l方程为y3(x1)，即3xy30.圆心坐标(0,3)满足直线l方程，当l与m垂直时，l必过圆心C.(2)当直线l与x轴垂直时， 易知x1符合题意当直线l与x轴不垂直时， 设直线l的方程为yk(x1)，即kxyk0，PQ2，CM1，则由CM1，得k， 直线l：4x3y40. 故直线l的方程为x1或4x3y40.(3)CMMN，().当l与x轴垂直时，易得N，则，又(1,3)，5.当l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)，则由得N，则，5.综上所述，与直线l的斜率无关，且5.
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