资源描述
第18讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系:.(2)商数关系:.2.诱导公式公式一公式二公式三公式四公式五公式六角+2k(kZ)+-2-2+正弦sin sin cos cos 余弦cos cos sin 正切tan -tan 口诀函数名不变,符号看象限函数名改变,符号看象限记忆规律奇变偶不变,符号看象限常用结论1.sin(k+)=(-1)ksin .2.在ABC中:(1)sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C,tan(A+B)=-tan C;(2)sin A+B2=cos C2,cos A+B2=sin C2.题组一常识题1.教材改编 已知cos =1213,且是第四象限角,则sin 的值为.2.教材改编 已知sin-2cos3sin+5cos=-5,那么tan 的值为.3.教材改编 已知sin =33,则cos32+=.4.教材改编 求值:sin(-1200)cos 1290=.题组二常错题索引:平方关系没有考虑角的象限导致出错;扩大角的范围导致出错;不会运用消元的思想;k的形式没有把k按奇数和偶数进行分类讨论导致出错.5.已知ABC中,cosAsinA=-125,则cos A等于.6.已知cos32+=-35,且是第四象限角,则cos(-3+)=.7.已知sin+3cos3cos-sin=5,则sin2-sin cos =.8.已知A=sin(k+)sin+cos(k+)cos(kZ),则A的值构成的集合是.探究点一三角函数的诱导公式例1 (1)2018遵义联考 若sin2+=-35,则cos(2-)=()A.-35B.35C.-45D.45(2)2018桂林模拟 已知f()=sin(-)cos(2-)cos(-),则f-83的值为()A.12B.32C.-12D.-32总结反思 (1)已知角求值问题,关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解.转化过程中注意口诀“奇变偶不变,符号看象限”的应用.(2)对给定的式子进行化简或求值时,要注意给定的角之间存在的特定关系,充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化.特别要注意每一个角所在的象限,防止符号及三角函数名出错.变式题 (1)2018广东名校联考 若cos+6=45,则sin-3=()A.45B.35C.-35D.-45(2)2018江西六校联考 若点(a,32)在函数y=2x的图像上,则tana3的值为()A.3B.33C.-3D.-33探究点二同角三角函数的基本关系微点1切弦互化例2 (1)2018南充模拟 已知tan =2,则sin+cossin-3cos的值为()A.-3B.3C.13D.-13(2)2018贵阳模拟 已知sin(-)=-23,且-2,0,则tan(2-)=()A.255B.-255C.52D.-52总结反思 (1)同角三角函数的基本关系式的功能是根据角的一个三角函数值求其他三角函数值,主要利用商数关系sincos=tan 和平方关系1=sin2+cos2;(2)在弦切互化时,要注意判断角所在的象限,不要弄错切、弦的符号.微点2“1”的变换例3 (1)2018广东六校三联 已知sin2+3cos(-)=sin(-),则sin cos +cos2=()A.15B.25C.35D.55(2)2018武汉调研 已知sin cos =310,则tan =.总结反思 对于含有sin2x,cos2x,sin xcos x的三角函数求值问题,一般可以考虑添加分母1,再将1用“sin2x+cos2x”代替,然后用分子分母同除以角的余弦的平方的方式将其转化为关于tan 的式子,从而求解.微点3和积转换例4 2018潍坊模拟 若(0,),sin(-)+cos =23,则sin -cos 的值为()A.23B.-23C.43D.-43总结反思 对于sin +cos ,sin -cos ,sin cos 这三个式子,利用(sin cos )2=12sin cos 可以达到转换、知一求二的目的.应用演练1.【微点1】2018南昌模拟 已知sin =13,2,则tan =()A.-2B.-2C.-22D.-242.【微点1】已知tan x=-125,x2,则cos-x+32=()A.513B.-513C.1213D.-12133.【微点2】2018遵义模拟 若点(2,tan )在直线y=2x-1上,则sincos1-sin2=()A.2B.3C.4D.64.【微点3】若sin ,cos 是方程4x2+2mx+m=0的两根,则m的值为.第18讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式考试说明 1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,sinxcosx=tan x.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出2,的正弦、余弦、正切的诱导公式.【课前双基巩固】知识聚焦1.(1)sin2+cos2=1(2)sincos=tan ,k+2(kZ)2.-sin -sin -cos -cos -sin tan -tan 对点演练1.-513解析 由于是第四象限角,故sin =-1-cos2=-513.2.-2316解析 由sin-2cos3sin+5cos=-5,知cos 0,等式左边分子分母同时除以cos ,可得tan-23tan+5=-5,得tan =-2316.3.33解析 cos32+=cos+2+=-cos2+=sin =33.4.34解析 原式=-sin(120+3360)cos(210+3360)=-sin 120cos 210=-sin(180-60)cos(180+30)=sin 60cos 30=3232=34.5.-1213解析 cosAsinA=-125,sin A=-512cos A,A为ABC的内角,sin A0,cos A0.又sin2A+cos2A=1,cos A=-1213.6.-45解析 cos32+=sin =-35,且是第四象限角,所以cos =45,所以cos(-3+)=-cos =-45.7.25解析 由sin+3cos3cos-sin=5,知cos 0,等式左边分子分母同时除以cos ,得tan+33-tan=5,得tan =2,所以sin2-sin cos =sin2-sincossin2+cos2=tan2-tantan2+1=25.8.2,-2解析 当k为偶数时,A=sinsin+coscos=2;当k为奇数时,A=-sinsin-coscos=-2.【课堂考点探究】例1思路点拨 (1)利用诱导公式进行计算;(2)根据诱导公式整理函数f(),再将=-83代入求值.(1)A(2)B解析 (1)sin2+=cos =-35,cos(2-)=cos =-35.故选A.(2)由题可知,f()=sincos-cos=-sin ,则f-83=-sin-83=sin83=sin2+23=sin23=sin3=32. 变式题(1)D(2)C解析 (1)cos+6=45,sin-3=sin+6-2=-cos+6=-45,故选D.(2)点(a,32)在函数y=2x的图像上,32=2a,a=5,则tana3=tan53=tan2-3=-tan3=-3,故选C.例2思路点拨 (1)利用sincos=tan 直接将待求式转化成只含tan 的式子,再求值;(2)由题设条件可得sin ,再根据同角三角函数基本关系式可得cos ,tan ,然后根据诱导公式化简即可得解.(1)A(2)A解析 (1)tan =2,cos 0,sin+cossin-3cos=tan+1tan-3=3-1=-3.故选A.(2)sin(-)=-23,sin =-23,又-2,0,cos =1-sin2=53,则tan =sincos=-255.tan(2-)=-tan ,tan(2-)=255.故选A.例3思路点拨 (1)根据诱导公式及已知等式得出tan ,将待求式添加分母1(利用1=sin2+cos2),转化为含tan 的式子,代入求值;(2)sin cos 可变形为sincos1,利用1=sin2+cos2,从而把已知等式化为关于tan 的等式,解出tan 即可.(1)C(2)3或13解析 (1)由sin2+3cos(-)=sin(-),得cos -3cos =-sin ,所以tan =2,所以sin cos +cos2=sincos+cos2sin2+cos2=tan+1tan2+1=35.故选C.(2)由题可知,sin cos =sincossin2+cos2=tantan2+1=310,解得tan =3或tan =13.例4思路点拨 根据三角函数的诱导公式和同角三角函数的基本关系式,得2sin cos =-790,进而求得(sin -cos )2=169,从而得解.C解析 由诱导公式得sin(-)+cos =sin +cos =23,两边平方得(sin +cos )2=1+2sin cos =29,则2sin cos =-790,所以(sin -cos )2=1-2sin cos =169.又因为(0,),sin cos 0,所以sin -cos =43,故选C.应用演练1.D解析 sin =13,2,cos =-1-sin2=-223,则tan =sincos=13-223=-24,故选D.2.D解析 tan x=-125,x2,sin x=1213,cos-x+32=-sin x=-1213.3.B解析 由题意知,tan =4-1=3,sincos1-sin2=sincoscos2=tan =3,故选B.4.1-5解析 由题意知sin +cos =-m2,sin cos =m4,又(sin +cos )2=1+2sin cos ,所以m24=1+m2,解得m=15.又=4m2-16m0,所以m0或m4,所以m=1-5.【备选理由】 例1进一步考查利用诱导公式进行化简与求值;例2考查弦切互化,是平方关系及商数关系的综合应用;例3结合导数的几何意义得出tan ,再巧妙使用sin2+cos2=1代换求值;例4考查sin +cos 与sin -cos 之间的转换,对于sin +cos ,sin cos ,sin -cos 这三个式子,利用(sin cos )2=12sin cos 可以知一求二.例1配合例1使用 已知cos =45,则sin(-)-2cos2-sin(-)cos(-)的值为.答案 -154解析 因为cos =45,所以sin(-)-2cos2-sin(-)cos(-)=-sin-2sinsincos=-3sinsincos=-3cos=-154.例2配合例2使用 2018黄山一模 已知R,sin +2cos =102,则tan =.答案 3或-13解析 sin +2cos =102,sin2+cos2=1,(sin +2cos )2=sin2+4sin cos +4cos2=52,1+3cos2+4sin cos =52,即3cos2+4sin cos =32,3cos2+4sincossin2+cos2=32,3+4tantan2+1=32,解得tan =3或-13.例3配合例3使用 2018重庆调研 若曲线f(x)=ln x-1x在点(1,f(1)处的切线的倾斜角为,则1sincos-cos2=.答案 5解析 因为f(x)=ln x-1x,所以f(x)=1x+1x2,所以f(1)=2,则tan =2, 所以1sincos-cos2=sin2+cos2sincos-cos2=tan2+1tan-1=4+12-1=5.例4配合例4使用 2018衡水武邑中学月考 已知-20,sin +cos =15,则1cos2-sin2的值为()A.75B.257C.725D.2425解析 B因为-20,sin 0.因为(sin +cos )2+(cos -sin )2=2,所以(cos -sin )2=2-(sin +cos )2=2-125=4925,所以cos -sin =75,所以cos2-sin2=1575=725,所以1cos2-sin2的值为257,故选B.
展开阅读全文