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21抛物线及其标准方程学习目标1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题知识点一抛物线的定义1定义：平面内与一定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的集合叫作抛物线2焦点：定点F叫作抛物线的焦点3准线：定直线l叫作抛物线的准线知识点二抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y22px(p0)xy22px(p0)xx22py(p0)yx22py(p0)y特别提醒：(1)方程特点：焦点在x轴上，x是一次项，y是平方项；焦点在y轴上，y是一次项，x是平方项(2)一次项表明焦点所在轴，它的符号表明开口方向，有如下口诀：焦点轴一次项，符号确定开口向；若y是一次项，负时向下正向上；若x是一次项，负时向左正向右1到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线()2抛物线的标准方程只需焦点到准线的距离p就可以确定()3方程x22ay(a0)表示开口向上的抛物线()题型一求抛物线的标准方程例1分别求符合下列条件的抛物线的标准方程(1)经过点(3，1)；(2)焦点为直线3x4y120与坐标轴的交点考点抛物线的标准方程题点求抛物线的方程解(1)因为点(3，1)在第三象限，所以设所求抛物线的标准方程为y22px(p0)或x22py(p0)若抛物线的标准方程为y22px(p0)，则由(1)22p(3)，解得p；若抛物线的标准方程为x22py(p0)，则由(3)22p(1)，解得p.故所求抛物线的标准方程为y2x或x29y.(2)对于直线方程3x4y120，令x0，得y3；令y0，得x4，所以抛物线的焦点为(0，3)或(4,0)当焦点为(0，3)时，3，所以p6，此时抛物线的标准方程为x212y；当焦点为(4,0)时，4，所以p8，此时抛物线的标准方程为y216x.故所求抛物线的标准方程为x212y或y216x.反思感悟求抛物线的标准方程的方法定义法根据定义求p，最后写标准方程待定系数法设标准方程，列有关的方程组求系数直接法建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程注意：当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2ax或x2ay(a0)的形式，以简化讨论过程跟踪训练1根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：(1)准线方程为y；(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5.考点抛物线的标准方程题点求抛物线的方程解(1)易知抛物线的准线交y轴于正半轴，且，则p，故所求抛物线的标准方程为x2y.(2)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x22my(m0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|5，m5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x210y和x210y.题型二抛物线定义的应用命题角度1利用抛物线定义求轨迹(方程)例2若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大.求点M的轨迹方程考点题点解由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，所以动点M到F的距离与它到直线l：x的距离相等由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为y22px(p0)的形式，而，所以p1,2p2，故点M的轨迹方程为y22x(x0)反思感悟解决轨迹为抛物线问题的方法抛物线的轨迹问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以先将条件转化，再利用抛物线的定义求解后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件，有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件跟踪训练2已知动圆M经过点A(3,0)，且与直线l：x3相切，求动圆圆心M的轨迹方程考点抛物线的定义题点抛物线定义的直接应用解设动点M(x，y)，M与直线l：x3的切点为N，则|MA|MN|，即动点M到定点A和定直线l：x3的距离相等，点M的轨迹是抛物线，且以A(3,0)为焦点，以直线l：x3为准线，3，p6，故动圆圆心M的轨迹方程是y212x.命题角度2利用抛物线定义求最值或点的坐标例3如图，已知抛物线y22x的焦点是F，点P(x0，y0)是抛物线上一点(1)若|PF|x0，求x0；(2)已知点A(3,2)，求|PA|PF|的最小值，并求此时P点坐标考点求抛物线的最值问题题点根据抛物线定义转换求最值解(1)由题意知抛物线的准线为x，根据抛物线的定义可得，x0|PF|x0，解得x02.(2)如图，作PQl于Q，由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，由图可知，求|PA|PF|的最小值的问题可转化为求|PA|d的最小值的问题将x3代入抛物线方程y22x，得y.2，A在抛物线内部由图可知，当PAl时，|PA|d最小，最小值为.即|PA|PF|的最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y22x，得x02.点P坐标为(2,2)引申探究若将本例中的点A(3,2)改为点(0,2)，求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值解由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离由图可知，P点，(0,2)点和抛物线的焦点F三点共线时距离之和最小，所以最小距离d.反思感悟抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等跟踪训练3已知P是抛物线y24x上一动点，则点P到直线l：2xy30和y轴的距离之和的最小值是()A.B.C2D.1考点求抛物线的最值问题题点根据抛物线定义转换求最值答案D解析由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d|PF|1.易知d|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d|PF|的最小值为，所以d|PF|1的最小值为1.抛物线的实际应用问题典例河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5m时，水面宽为8m，一小船宽4m，高2m，载货后船露出水面上的部分高0.75m，问：水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少m时，小船开始不能通航？考点抛物线的标准方程题点抛物线方程的应用解如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系设抛物线方程为x22py(p0)，由题意可知，点B(4，5)在抛物线上，故p，得x2y.当船面两侧和抛物线接触时，船开始不能通航，设此时船面宽为AA，则A(2，yA)，由22yA，得yA.又知船面露出水面上的部分高为0.75m，所以h|yA|0.752(m)所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2m时，小船开始不能通航素养评析首先确定与实际问题相匹配的数学模型此问题中拱桥是抛物线型，故利用抛物线的有关知识解决此问题，操作步骤为：(1)建系：建立适当的坐标系(2)假设：设出合适的抛物线标准方程(3)计算：通过计算求出抛物线的标准方程(4)求解：求出需要求出的量(5)还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题1已知抛物线y2px2过点(1,4)，则抛物线的焦点坐标为()A(1,0) B.C.D(0,1)考点求抛物线的焦点坐标及准线方程题点求抛物线的焦点坐标答案C解析由抛物线y2px2过点(1,4)，可得p2，抛物线的标准方程为x2y，则焦点坐标为，故选C.2抛物线yx2的准线方程是()Ay1By2Cx1Dx2考点抛物线的简单性质题点与准线、焦点有关的简单几何性质答案A解析由yx2，得x24y，则抛物线的焦点在y轴正半轴上，且2p4，即p2，因此准线方程为y1.3设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A4B6C8D12考点抛物线的几何性质题点与准线、焦点有关的简单几何性质答案B解析由抛物线的定义可知，点P到抛物线焦点的距离是426.4若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x50的距离少1，则动点P的轨迹方程是_考点抛物线的定义题点由抛物线定义确定轨迹及轨迹方程答案y216x解析点P到点F(4,0)的距离比它到直线x50的距离少1，点P到直线x4的距离和它到点(4,0)的距离相等根据抛物线的定义可得点P的轨迹是以点(4,0)为焦点，以直线x4为准线的抛物线，设抛物线的标准方程为y22px(p0)，4，动点P的轨迹方程为y216x.5若抛物线y22x上的两点A，B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点的横坐标是_考点题点答案2解析设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知点A到焦点F的距离等于点A到准线的距离，即|AF|x1x1.同理|BF|x2x2.故|AF|BF|x1x215，即x1x24，得2.故线段AB的中点的横坐标是2.1利用抛物线定义可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，这一相互转化关系能给解题带来很大的方便，要注意运用定义解题2在求抛物线的标准方程时，由于其标准方程有四种形式，易于混淆，解题时一定要做到数形结合，按照“定形(抛物线焦点位置)定量(参数p的值)”的程序求解.一、选择题1已知抛物线y22px(p0)的准线经过点(1,1)，则该抛物线的焦点坐标为()A(1,0) B(1,0)C(0，1) D(0,1)考点抛物线的标准方程题点与准线、焦点有关的问题答案B解析抛物线y22px(p0)的准线方程为x，由题设知1，即p2，故焦点坐标为，故选B.2一动圆过点(0,1)且与定直线l相切，圆心在抛物线x24y上，则l的方程为()Ax1BxCy1Dy考点求抛物线的焦点坐标及准线方程题点求抛物线的准线方程答案C解析因为动圆过点(0,1)且与定直线l相切，所以动圆圆心到点(0,1)的距离与它到定直线l的距离相等，又因为动圆圆心在抛物线x24y上，且(0,1)为抛物线的焦点，所以l为抛物线的准线，所以l：y1.3抛物线x24y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为()A2B3C4D5考点题点答案D解析抛物线的准线为y1，点A到准线的距离为5，又点A到准线的距离与点A到焦点的距离相等，距离为5.4已知点A(2,3)在抛物线C：y22px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()AB1CD考点题点答案C解析点A(2,3)在抛物线C的准线上，2，p4.抛物线的方程为y28x，则焦点F的坐标为(2,0)又A(2,3)，根据斜率公式得kAF.5已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，2)到焦点的距离为4，则m的值为()A4B2C4或4D12或2考点抛物线的标准方程题点抛物线方程的应用答案C解析由题意可设抛物线的标准方程为x22py(p0)由定义知点P到准线的距离为4，故24，p4，x28y.将点P的坐标代入x28y，得m4.6O为坐标原点，F为抛物线C：y24x的焦点，P为C上一点，若|PF|4，则POF的面积为()A2B2C2D4考点抛物线的定义题点由抛物线定义求点坐标答案C解析抛物线C的准线方程为x，焦点F(，0)，由|PF|4及抛物线的定义知，P点的横坐标xP3，从而纵坐标yP2.SPOF|OF|yP|22.7设F为抛物线y22x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若0，则|等于()A.B6C.D3考点题点答案D解析F为抛物线y22x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若0，则F为ABC的重心，A，B，C三点的横坐标的和为F点横坐标的3倍，即等于，|3.二、填空题8若抛物线yax2(a0)的准线方程是y2，则a_.考点抛物线的标准方程题点与准线、焦点有关的问题答案解析抛物线方程化为标准形式为x2y.其准线方程为y2，所以a.9若抛物线y24x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是_考点抛物线的定义题点抛物线定义的直接应用答案9解析抛物线y24x的焦点F(1,0)，准线为x1.由M到焦点的距离为10，可知M到准线x1的距离也为10，故M的横坐标满足xM110，解得xM9，所以点M到y轴的距离为9.10一抛物线形拱桥，当桥顶离水面2米时，水面宽4米，若水面下降2米，则水面宽为_米考点抛物线的标准方程题点抛物线方程的应用答案4解析以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x22py(p0)由桥顶离水面2米时，水面宽4米可得图中点A的坐标为(2，2)，所以42p(2)，解得p1.所以抛物线的方程为x22y.当水面下降2米，即当y4时，可得x22(4)8，解得x2，因此水面宽为4米三、解答题11已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程(1)y26x；(2)3x25y0；(3)y2a2x(a0)考点抛物线的简单性质题点与准线、焦点有关的简单性质解(1)由方程y26x，知抛物线开口向左，2p6，p3，所以焦点坐标为，准线方程为x.(2)将3x25y0变形为x2y，知抛物线开口向下，2p，p，所以焦点坐标为，准线方程为y.(3)由方程y2a2x(a0)知抛物线开口向右，2pa2，p，所以焦点坐标为，准线方程为x.12抛物线y22px(p0)上有一点M的横坐标为9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M点的坐标考点抛物线的定义题点抛物线定义的直接应用解设焦点为F，M点到准线的距离为d，则d|MF|10，即910，p2，抛物线方程为y24x.将M(9，y)代入抛物线的方程，得y6.M点坐标为(9,6)或(9，6)13(2018潍坊联考)已知P为抛物线y24x上一个动点，Q为圆x2(y4)21上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是_考点题点答案1解析抛物线y24x的焦点为F(1,0)，圆x2(y4)21的圆心为C(0,4)，半径r1，根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，进而推断出当P，Q，F三点共线时，点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点的距离之和最小，为|FC|r1.14已知曲线C上的任意一点到定点F(1,0)的距离与到定直线x1的距离相等(1)求曲线C的方程；(2)若曲线C上有两个定点A，B分别在其对称轴的上、下两侧，且|FA|2，|FB|5，求原点O到直线AB的距离考点抛物线的标准方程题点求抛物线方程解(1)因为曲线C上任意一点到点F(1,0)的距离与到直线x1的距离相等，所以曲线C的轨迹是以F(1,0)为焦点的抛物线，且1，所以曲线C的方程为y24x.(2)由抛物线的定义结合|FA|2可得，A到准线x1的距离为2，即A的横坐标为1，代入抛物线方程可得y2，即A(1,2)，同理可得B(4，4)，故直线AB的斜率k2，故AB的方程为y22(x1)，即2xy40，由点到直线的距离公式，得原点O到直线AB的距离为.
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